2024-2025学年重庆七中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆七中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系Oxyz中，点3,−1,−4关于平面Oxy的对称点为(

)A.−3,−1,−4 B.−3,1,−4 C.3,−1,4 D.−3,1,42.设x，y∈R，向量a=(x,−1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，bA.−2 B.0 C.1 D.23.在同一平面直角坐标系中，表示l1：y=ax+b与l2：y=bx−a的直线可能正确的是(

)A. B.

C. D.4.柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体.如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF，P，Q，M，N分别为DE，AB，AD，BF的中点，则PQ⋅MN=(

)A.12

B.14

C.−15.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为A(0,0)，B(5,0)，C(2,4)，则该三角形的欧拉线方程为(

)A.y=−12x+52 B.y=16.在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0,y0,z0)，且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，经过点P(x0,A.457 B.27 C.7.如图，直线y=34x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线y=34x+3上，若点N在第二象限内，则A.17 B.16 C.158.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−A1A.[−8,0] B.[−4,0] C.[−2,0] D.[−1,0]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下面四个结论正确的是(

)A.已知空间向量a,b(a,b≠0)，若a⊥b，则a⋅b=0

B.若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，10.下列说法错误的是(

)A.“a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件

B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)

C.过(x1,y1)，(x211.如图，四边形ABCD中，AB=BC=AC=2，DA=DC=2，将四边形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是(

)A.两条异面直线AB与CD所成角的范围是[π12,π2]

B.P为线段CD上一点(包括端点)，当CD⊥AB时，∠APB≤π2

C.三棱锥D−ABC的体积最大值为33

D.当二面角D−AC−B的大小为π6时，三棱锥12.已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，向量p=a−2b−413.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为14.已知P，Q分别在直线l1：x−y+1=0与直线l2：x−y−1=0上，且PQ⊥l1，点A(−4,6)，B(5,−1)，则四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧棱AA′的长为3，且∠ABC=∠A′AB=∠A′AD=120°．

(1)AC′的长；

(2)直线BD′与AC所成角的余弦值．16.(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c2(1)求角A;(2)设边BC的中点为D，若a=7，且△ABC的面积为3317.(本小题12分)已知ΔABC的顶点A(4,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为x−2y+2=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y−2=0．(1)求点C的坐标；(2)求BC所在直线的方程．18.(本小题12分)

图①是直角梯形ABCD，AB//CD，∠D=90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE=60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=6．

(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；

(2)在棱DC1上是否存在点P，使得点19.(本小题12分)

《瀑布》(图1)是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”(图2)

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形AnBnCnDn，n=1，2，3的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为Pn，Qn，将极点P1，Q1，分别与正方形A2B2C2D2的顶点连线，取其中点记为Em，Fm，m=1，2，3，4，如(图3).埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥A1−P1E1P2参考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.A

6.B

7.A

8.A

9.ABC

10.AC

11.BCD

12.−113.214.10+15.解：(1)在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，

底面ABCD是边长为2的菱形，侧棱AA′=3，

∠ABC=∠A′AB=∠A′AD=120°，

则AB2=AD2=4，AA′2=9，

AB⋅AD=|AB||AD|cos60°=2，

AD⋅AA′=AB⋅AA′=|AB||AA′|cos120°=−3，

而AC′=AB+AD+AA′，

则|AC′|=AB2+AD2+AA′2+2AB⋅AD+216.解：(1)由c2b2+c2−a2=sinCsinB，结合正弦定理bsinB=csinC得c2b2+c2−a217.解：(1)因为AC⊥BH，BH的方程为2x+3y−2=0，不妨设直线AC的方程为3x−2y+m=0，将A(4,1)代入得12−2+m=0，解得m=−10，所以直线AC的方程为3x−2y−10=0，联立直线AC，CM的方程，即3x−2y−10=0x−2y+2=0，解得点C的坐标为(6,4)(2)设B(x0,因为点B在BH上，点M在CM上，所以2x0+3所以kBC=4−26−(−2)=整理得x−4y+10=0．

18.解：(1)证明：如图所示，

在图①中，连接AC，交BE于O，因为四边形ABCE是边长为2的菱形，且∠BCE=60°，

所以AC⊥BE，且OA=OC=3，

在图②中，相交直线OA，OC1均与BE垂直，

所以∠AOC1是二面角A−BE−C1的平面角，

因为AC1=6，

所以OA2+OC12=AC12，

所以OA⊥OC1，

所以平面BC1E⊥平面ABED．

(2)由(1)知，分别以直线OA，OB，OC1为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，

则D(32,−32,0)，C1(0,0,3)，A(3,0,0)，B(0,1,0)，E(0,−1,0)，

所以DC1=(−32,32,3)，AD=(−32,−32,0)，AB=(−3,1,0)，AC1=(−3,0,3)，AE=(−3,−1,0)，

19.解：(1)由题意可知，OP2，OQ2，OP1两两垂直，且OP2=OQ2=OP1=1，

分别以OP2,OQ2,OP1的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则由题意可得：O(0,0,0)，P2(1,0,0)，Q2(0,1,0)，P1(0,0,1)，

B2(1,1,0)，A1(1,0,1)，A2(1,−1,0)，Q1(0,0,−1)，

又E1，E2分别是P1A2，P1B2的中点，∴E1(12,−12,12)，E2(12,