2024-2025学年山东省聊城市聊城二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省聊城二中高二（上）第一次月考数学试卷✥一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(2,3,−1)关于平面yOz对称的点的坐标是(

)A.(−2,3,−1) B.(2,−3,−1) C.(2,3,1) D.(−2,−3,1)2.已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,−2)，且ka+b与2aA.1 B.15 C.35 3.已知a=(2,−1,4)，b=(−1,1,−2)，c=(7,5,m)，若a，b，c共面，则实数m的值为A.607 B.14 C.12 D.4.已知直线l的方向向量e=(1,−2,−2)，平面α的法向量n=(2,λ,−1)，若l//α，则λ=(

)A.12 B.−12 C.25.在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为A.12a−23b+126.已知平面α的一个法向量为n=(−1,0,−1)，点A(3,3,0)在平面α内，则平面外一点P(−2,1,4)到平面α的距离为(

)A.103 B.22 C.7.如图，已知二面角α−l−β的大小为60°，A∈α，B∈β，C，D∈l，AC⊥l，BD⊥l且AC=BD=3，CD=5，则AB=(

)A.34 B.6 C.2138.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段

A.[2,3] B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题是真命题的有(

)A.A，B，M，N是空间四点，若BA,BM,BN能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面

B.直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=(2,1,−12)，则l与m垂直

C.直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则10.在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,0,0)，B(1,1,−2)，C(2,3,1)，则(

)A.AB⋅BC=−5

B.|AC|=23

C.异面直线OB与AC所成角的余弦值为1511.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，PA.存在点P，使D1P⊥AC1

B.存在点P，使PE=D1E

C.四面体EPC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(1,1,−2)，b=(2,−2,3)，则b在a方向上的投影向量为

．13.点O为△ABC所在平面外一点，点G为△ABC所在平面内一点，点M为BC的中点，若OG=λAM+1314.如图，四棱锥P−ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PBC是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为______．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知向量a=(2,−1,2)，b(1)求2a−(2)求向量a+2b与a16.(本小题12分)

如图，四棱锥P−ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=120°，F为CD的中点，PB=2，以B为坐标原点，BA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)写出B，D，P，F四点的坐标；

(2)求cos〈PD,17.(本小题12分)

已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N是B1C1的中点，M是D18.(本小题12分)

如图，在△AOP中，OA⊥OP，OA=2，OP=3.将△AOP绕OP旋转60°得到△BOP，D，E分别为线段OP，AP的中点．

(1)求点D到平面ABP的距离；

(2)求平面OBE与平面19.(本小题12分)

如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC= 2AB=4，AB⊥AC，PB⊥AC.请用空间向量的知识解答下列问题：

(1)求PD与平面PAB所成角的大小;(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC/​/平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为3535?若存在，求DQDP的值参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.B

7.A

8.C

9.BD

10.AC

11.AB

12.(−1,−1,2)；

13.4314.315.解：(1)∵a=(2,−1,2)，b=(1,4,1)，

∴2a=(4,−2,4)，2a−b=(3,−6,3)，

∴|2a−b|=9+36+9=36；

(2)设a+2b与a−b的夹角为θ，则

cosθ=16.解：(1)由题意知，△BCD是等边三角形，∠ABD=60°，BD=2，所以BF=3，

所以B(0,0,0)，D(1,3,0)，P(0,0,2)，F(0,3,0)；

(2)PD=(1,17.(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP，

因为N是B1C1的中点，所以NP//CC1，且NP=12CC1，

因为M是DD1的中点，所以D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，

所以D1M//NP，D1M=NP，

所以四边形D1MPN是平行四边形，

所以D1N//MP，

又MP⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，

所以D1N//平面CB1M.

(2)解：在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，

所以AB，AD，AA1两两垂直，

以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，18.解：(1)取AB的中点C，连接PC，OC，作DF⊥PC，垂足为F．

因为PA=PB，OA=OB，C为AB的中点，所以AB⊥PC，AB⊥OC．

又PC∩OC=C，所以AB⊥平面POC．

因为DF⊂平面POC，所以AB⊥DF.又DF⊥PC，PC∩AB=C，

所以DF⊥平面PAB，即点D到平面ABP的距离为DF的长度．

易证PO⊥平面OAB，所以PO⊥OC．

因为△AOB是边长为2的等边三角形，所以OC=3，又OP=3，

所以∠OPC=45°，所以DF=DPsin45°=64．

(2)以C为坐标原点，CB，CO的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，P(0,3,3)，A(−1,0,0)，B(1,0,0)，

O(0,3,0)，E(−12,32,32)，

所以OE=(−12,−32,32)，OB=(1,−3,0)，

设平面OBE的法向量为n=(x,y,z)，

可得n⋅OB=x−19.解：(1)因为PB⊥AC，AB⊥AC，PB∩AB=B，PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以AC⊥平面PAB，

又AC⊂平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面PAB，

如图，

以A为原点，分别以AB，AC为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，D(−2,23,0)，P(1,0,3)，

AC=(0,23,0)，DP=(3,−23,3)，

设PD与平面PAB所成角为θ，

则AC=(0,23,0)是平面PAB的一个法向量，

所以sinθ=|cos<AC，DP>|=|AC⋅DP||AC|⋅|DP|=