沪科版八年级数学上册专项素养综合练(五)与三角形有关的四大模型课件

专项素养综合练(五)与三角形有关的四大模型类型一“8”字模型模型解读类型“8”字模型模型特征

结论∠A+∠D=∠B+∠C1.如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,我们把这样

的图形称为“8字型”.(M8113003)(1)如图1,求证:∠A+∠C=∠B+∠D;(2)如图2,若∠1=130°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

;(3)如图3,AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC,AP与CD交于点

M,DP与AB交于点N.若∠B=110°,∠C=120°,求∠P的度数.260°解析(1)证明:∵∠A+∠C=180°-∠AOC,∠B+∠D=180°-∠BOD,∠AOC=∠BOD,∴∠A+∠C=∠B+∠D.(2)260°.详解:如图所示,∵∠DME=∠A+∠E,∠3=∠DME+∠D,∴∠A+∠E+∠D=∠3.∵∠2=∠3+∠F,∠1=130°,∴∠3+∠F=∠2=∠1=130°,∴∠A+∠E+∠D+∠F=130°.∵∠B+∠C=∠1=130°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°.(3)由(1)可知,以点M为交点的“8字型”中,有∠P+∠CDP=

∠C+∠CAP,以点N为交点的“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠

B+∠BDP,∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠

BDP,∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC,∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,∴2∠P=∠B+∠C.∵∠B=110°,∠C=120°,∴

∠P=

(∠B+∠C)=

×(110°+120°)=115°.类型二“燕尾”模型模型解读类型“燕尾”模型模型特征

结论∠D=∠A+∠B+∠C2.(一题多解)一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°.数学组长梁香同学量得∠BCD

=142°,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?解析解法一:如图,连接AC并延长,

∵∠1是△ADC的外角,∠2是△ABC的外角,∴∠1=∠D+∠

DAC,∠2=∠B+∠BAC,∴∠BCD=∠1+∠2=∠D+∠B+∠

BAC+∠DAC=∠D+∠B+∠BAD,∵∠BAD=90°,∠B=20°,∠D

=30°,∴∠BCD=90°+20°+30°=140°,∴梁香同学量得∠BCD=142°,就可以断定这个零件不合格.解法二:如图,延长DC交AB于点M,

∵∠A=90°,∠D=30°,∠CMB是△ADM的外角,∴∠CMB=∠A

+∠D=90°+30°=120°,又∵∠B=20°,∠BCD是△BCM的外角,∴∠BCD=∠B+∠CMB=20°+120°=140°,∴梁香同学量得∠BCD=142°,就可以断定这个零件不合格.解法三:如图,连接BD,

∵∠A=90°,∠ABC=20°,∠ADC=30°,∴∠CDB+∠CBD=180°-∠A-∠ADC-∠ABC=180°-90°-30°-20°=40°,∴∠BCD=180°-(∠CDB+∠CBD)=180°-40°=140°,∴梁香同学量得∠BCD=142°,就可以断定这个零件不合格.模型解读

因为“燕尾”模型和燕子尾巴的形状很像,所以叫“燕

尾”模型.在数学中,有时需要添加辅助线构造三角形,利用

三角形外角关系转化为角度和,导出角之间的关系.类型三“星星”模型模型解读类型“星星”模型模型特征

结论∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°3.(1)图1是一个五角星,你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的

度数吗?(2)如图2,把图1中的点A向下移动到线段BE上时,五个角的和

(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化?请说明理由.(3)如图3,把图2中的点C向上移动到线段BD上时,五个角的

和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化?请说明理由.解析(1)如图,连接CD.

在△ACD中,根据三角形内角和定理,得∠A+∠2+∠3+∠

ACE+∠ADB=180°.∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3,∴∠A+∠B+

∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.(2)无变化.理由:∵∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°,∠BAC=∠C+∠E,∠EAD=∠B+∠D,∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CAD+∠

BAC+∠EAD=180°.(3)无变化.理由:∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°,∠ACB=∠CAD+∠D,

∠ECD=∠B+∠E,∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB

+∠ACE+∠ECD=180°.类型四双角平分线模型模型解读类型双角平分线模型模型特征

结论图1:∠BDC=90°+

∠A;图2:∠D=

∠A;图3:∠BDC=90°-

∠A4.如图1,BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE,

BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB,BM、CN分别是∠PBD、

∠PCE的平分线.(1)当∠BAC=40°时,∠BPC=

;(2)当BM∥CN时,求∠BAC的度数;(3)如图2,当∠BAC=120°时,BM,CN所在直线交于点O,直接写

出∠BOC的度数.70°解析(1)70°.详解:∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=180°+40°=220°.∵BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE,∴∠CBP+∠BCP=

(∠DBC+∠BCE)=

×220°=110°,∴∠BPC=180°-110°=70°.(2)∵BM∥CN,∴∠MBC+∠NCB=180°.∵BM、CN分别是∠

PBD、∠PCE的平分线,BP、CP分别平分∠CBD、∠BCE,BQ,CQ分别平分∠CBP、∠BCP,∴

(∠DBC+∠BCE)=180°,即

(180°+∠BAC)=180°,∴∠BAC=60°.(3)∠BOC=45°.详解:∵∠BAC=120°