沪科版八年级数学上册专项素养综合练(十)等腰三角形中作辅助线的六种常用方法课件

专项素养综合练(十)等腰三角形中作辅助线的六种常用方法1.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=8,△ABC的面积为32,DE垂直

平分AC,分别交边AB、AC于点D、E,F为直线DE上一动点,

点G为BC的中点,连接CF,FG,求CF+FG的最小值.类型一等腰三角形中有底边中点时,常作底边上的中线解析如图,连接AG,AF,∵DE是AC的垂直平分线,∴AF=FC,∴CF+FG=AF+FG.当A,F,G三点共线且AG⊥BC

时,AF+FG的值最小,∴CF+FG的最小值为AG的长.∵AB=

AC,点G为BC的中点,∴AG⊥BC.∵BC=8,△ABC的面积为32,∴

×8×AG=32,∴AG=8,∴CF+FG的最小值为8.类型二等腰三角形中证与腰有关的线段时,作腰的平行线2.如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于

点F,交BC于点D,且BE=CF,求证:DE=DF.证明如图,过点E作EG∥AC交BC于点G,则∠EGD=∠FCD,∠ACB=∠EGB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,

∴∠ABC=∠EGB,∴EB=EG.∵EB=CF,∴EG=CF.在△EGD和△FCD中,

∴△EGD≌△FCD(AAS),∴DE=DF.类型三等腰三角形中证与底有关的线段时,常作底的平行线3.在等边△ABC中,点E是AB上的动点,点E与点A、B不重合,

点D在CB的延长线上,且EC=ED.(1)如图1,若点E是AB的中点,求证:BD=AE;(2)如图2,若点E不是AB的中点时,(1)中的结论“BD=AE”是

否成立?若不成立,请直接写出BD与AE的数量关系;若成立,

请写出证明过程.解析(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵点E是AB的中点,∴CE平分∠ACB,AE=BE,∴∠BCE=30°.

∵ED=EC,∴∠D=∠BCE=30°.∵∠ABC=∠D+∠BED,∴∠

BED=60°-30°=30°,∴∠D=∠BED,∴BD=BE.∴AE=DB.(2)成立.证明:过点E作EF∥BC交AC于点F,如图.∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB.∵△ABC是等边三角形,∴

∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,

∠AFE=∠ACB=60°.∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∠DBE=∠

EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.∴△AEF是等

边三角形.∵DE=EC,∴∠D=∠ECD,∴∠BED=∠ECF.在△DEB和△ECF中,

∴△DEB≌△ECF(AAS),∴DB=EF,∴AE=BD.类型四补形法4.如图,在四边形ABCD中,AB=AC,∠ABD=60°,∠ADB=78°,∠

BDC=24°,求∠DBC的度数.解析如图,延长BD到点M使得DM=DC,连接AM,∵∠ADB=78°,∴∠ADM=180°-∠ADB=102°.∵∠ADB=78°,∠BDC=24°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°,∴∠ADM=∠ADC.在△ADM和△ADC中,

∴△ADM≌△ADC(SAS),∴AM=AC=AB.∵∠ABD=60°,∴△AMB是等边三

角形,∴∠DCA=∠M=60°.∵∠DOC=∠AOB,∠DCO=∠ABO

=60°,∴∠BAO=∠ODC=24°.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∵

∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°,∴24°+2×(60°+∠CBD)=180°,∴∠CBD=18°.类型五倍长类中线法5.(一题多解)如图,△ABC中,AD为中线,E为AB上一点,AD、

CE相交于点F,且AE=EF,求证:AB=CF.证明证法一:延长FD至点H,使FD=DH,连接BH,如图1.∵AD为△ABC中线,∴BD=CD,∵在△BDH与△CDF中,BD=

CD,∠BDH=∠CDF,DH=DF,∴△BDH≌△CDF(SAS),∴∠H

=∠CFD,CF=BH.∵AE=EF,∴∠EAF=∠AFE.∵∠AFE=∠

CFD,∴∠EAF=∠H,∴AB=BH,∴AB=CF.证法二:过点B作BH∥CF,交AD的延长线于H,如图2.∵BH∥CF,∴∠H=∠DFC.∵AD为△ABC中线,∴BD=CD,∵∠H=∠DFC,∠BDH=∠

CDF,∴△BDH≌△CDF(AAS),∴CF=BH.∵AE=EF,∴∠EAF

=∠AFE.∵∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠H,∴AB=BH,∴AB=

CF.6.如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB

=CD.证明如图,延长DE到点F,使EF=ED,连接BF,∵E是BC的中点,∴BE=CE.在△BEF和△CED中,

∴△BEF≌△CED(SAS).∴∠F=∠CDE,BF=CD.∵∠BAE=∠CDE,∴∠BAE=∠F.∴AB=BF.又∵BF=CD,∴AB=CD.类型六截长补短法7.如图,在△ABC中,∠A=60°.BE与CF交于点P,且分别平分∠

ABC,∠ACB.(1)求∠BPC的度数;(2)连接EF,求证:△EFP是等腰三角形.解析(1)∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°.∵

BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴∠ABE=∠CBE=

∠ABC,∠BCF=∠ACF=

∠ACB,∴∠CBE+∠BCF=

∠ABC+

∠ACB=

(∠ABC+∠ACB)=

×120°=60°,∴∠BPC=180°-(∠CBE+∠BCF)=180°-60°=120°.(2)证明:在BC上截取BQ=BF,连接PQ,如图,

在△FBP和△QBP中,

∴△FBP≌△QBP(SAS),∴FP=QP,∠BFP=∠BQP.∵∠BPC=120°,∴∠FPE=∠BPC=120°,∵∠A=60°,∴∠AFP+∠AEP