湘教版九年级数学下册《4.2正切》同步测试题（附答案）

湘教版九年级数学下册《4.2正切》同步测试题（附答案）知识点1正切1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5)，则∠A的正切值为()A．eq\f(4,3)B．eq\f(4,5)C．eq\f(5,4)D．eq\f(3,4)2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝eq\f(3,4)，则BC的长为()A．2eq\r(7) B．6 C．8 D．103．(2024·永州质检)如图，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2) C．2 D．34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则tanA＝____．5.已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．知识点2锐角三角函数的计算6．(2024·常德期中)下面结论中正确的是()A．sin60°＝eq\f(1,2) B．tan60°＝eq\r(3)C．sin45°＝eq\f(\r(3),2) D．cos30°＝eq\f(1,2)7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(\r(3),3)，则∠B的度数是()A．30° B．45° C．60° D．75°8．在Rt△ABC中，∠α为锐角，且sin(α－15°)＝eq\f(1,2)，则tanα的值为()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),3)C．1D．eq\r(3)9．计算：2sin60°－tan60°＋eq\f(1,2)cos45°＝____．10．求下列各式的值．(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan245°＋eq\f(3,4)tan230°－cos60°.11．在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，则下列结论正确的是()A．sinA＝eq\f(3,5)B．cosA＝eq\f(4,5)C．tanA＝eq\f(4,3)D．tanB＝eq\f(4,3)12．(2024·娄底质检)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(\r(10),5)C．2D．eq\f(1,2)【加固训练】如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(2,3)13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，BC＝3eq\r(6)，则AC的长为____．(用科学计算器计算，结果精确到0.01)14．在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(2),2)))＋(eq\r(3)－tanB)2＝0，则∠C的度数是____．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB长为5，S△ABC＝6，则tanA＋tanB的值为__．16．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三角函数值．17．(2023·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.(1)若AE＝1，求△ABD的周长；(2)若AD＝eq\f(1,3)BD，求tan∠ABC的值．18．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝eq\f(1,8).(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1，参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7，eq\r(5)≈2.2)参考答案知识点1正切1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5)，则∠A的正切值为(D)A．eq\f(4,3)B．eq\f(4,5)C．eq\f(5,4)D．eq\f(3,4)【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5)＝eq\f(BC,AB)，∴设BC＝3x，AB＝5x，由勾股定理得：AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4x，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3x,4x)＝eq\f(3,4)，即∠A的正切值为eq\f(3,4).2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝eq\f(3,4)，则BC的长为(B)A．2eq\r(7) B．6 C．8 D．10【解析】设BC＝3x，∵tanA＝eq\f(3,4)，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,4)，∴AC＝4x，由勾股定理得，BC2＋AC2＝AB2，即(3x)2＋(4x)2＝102，解得x＝2，∴BC＝3x＝6.3．(2024·永州质检)如图，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2) C．2 D．3【解析】∵每个小正方形的边长都是1，∴AB＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(10)，BC＝eq\r(2)，则AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝2.4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则tanA＝__2__．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝2.5.已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．【解析】根据题意可得，AC＝BC＝eq\r(5)，CD＝CE＝eq\r(10)，AD＝BE＝5，∴△ACD≌△BCE.∴∠ADC＝∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝eq\f(1,3).知识点2锐角三角函数的计算6．(2024·常德期中)下面结论中正确的是(B)A．sin60°＝eq\f(1,2) B．tan60°＝eq\r(3)C．sin45°＝eq\f(\r(3),2) D．cos30°＝eq\f(1,2)【解析】A.sin60°＝eq\f(\r(3),2)；C.sin45°＝eq\f(\r(2),2)；D.cos30°＝eq\f(\r(3),2)，选项A，C，D错误．7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(\r(3),3)，则∠B的度数是(C)A．30° B．45° C．60° D．75°【解析】∵tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°.8．在Rt△ABC中，∠α为锐角，且sin(α－15°)＝eq\f(1,2)，则tanα的值为(C)A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),3)C．1D．eq\r(3)【解析】∵sin(α－15°)＝eq\f(1,2)，∴α－15°＝30°，∴α＝45°，∴tanα＝1.9．计算：2sin60°－tan60°＋eq\f(1,2)cos45°＝____．【解析】原式＝2×eq\f(\r(3),2)－eq\r(3)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(3)－eq\r(3)＋eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),4).10．求下列各式的值．(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan245°＋eq\f(3,4)tan230°－cos60°.【解析】(1)原式＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＝2；(2)原式＝eq\f(1,2)－12＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,4)－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,4).11．在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，则下列结论正确的是(C)A．sinA＝eq\f(3,5)B．cosA＝eq\f(4,5)C．tanA＝eq\f(4,3)D．tanB＝eq\f(4,3)【解析】在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，所以eq\f(BC,AC)＝eq\f(4,3)＝tanA，设BC＝4k，则AC＝3k，AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝5k，所以sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,4).12．(2024·娄底质检)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是(D)A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(\r(10),5)C．2D．eq\f(1,2)【解析】如图所示，连接BD.则BD＝eq\r(2)，AD＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(10)，∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ADB为直角三角形，∴tanA＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2).【加固训练】如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(B)A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(2,3)【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为点D.根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.在Rt△BCD中，tanB＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(1,3)，∴tanB′＝tanB＝eq\f(1,3).13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，BC＝3eq\r(6)，则AC的长为__8.16__．(用科学计算器计算，结果精确到0.01)【解析】tan42°≈0.9004，eq\f(3\r(6),AC)≈0.9004，AC≈8.16.14．在△ABC中，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(2),2)))＋(eq\r(3)－tanB)2＝0，则∠C的度数是__75°__．【解析】∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(\r(2),2)))＋(eq\r(3)－tanB)2＝0，∴sinA－eq\f(\r(2),2)＝0，eq\r(3)－tanB＝0，则sinA＝eq\f(\r(2),2)，tanB＝eq\r(3)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB长为5，S△ABC＝6，则tanA＋tanB的值为____．【解析】在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2＝25，tanA＝eq\f(BC,AC)，tanB＝eq\f(AC,BC)，∵S△ABC＝6，即eq\f(1,2)BC×AC＝6，∴BC×AC＝12.∴tanA＋tanB＝eq\f(BC,AC)＋eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC2＋AC2,BC×AC)＝eq\f(25,12).16．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三角函数值．【解析】在Rt△BCD中，∵CD＝3，BD＝5，∴BC＝eq\r(BD2－CD2)＝eq\r(52－32)＝4，又AC＝AD＋CD＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)，则sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,4\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(8,4\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).17．(2023·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.(1)若AE＝1，求△ABD的周长；(2)若AD＝eq\f(1,3)BD，求tan∠ABC的值．【解析】(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，C△ABD＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC，∵AB＝CE，∴C△ABD