北京版九年级数学上册《第十八章相似形》单元测试卷（附答案）

第第页北京版九年级数学上册《第十八章相似形》单元测试卷（附答案）一、单选题(共10题；共40分)1．（4分）若a：b＝2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a＝3b B．3a＝2b C． D．2．（4分）已知是线段AB的黄金分割点)，则下列结论中，正确的有（）.①；②；③A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（4分）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（4分）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（）A． B．2 C． D．55．（4分）如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（）A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米6．（4分）如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．7．（4分）可以判定△ABC∽△A'B'C'的条件是（）A．∠A=∠A' B．，且∠C=∠C'C． D．，且∠B=∠B'8．（4分）如图，已知，，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．9．（4分）如图，正方形中，点E，G是的三等分点，点F，H是的三等分点．记阴影部分面积为，正方形面积为，则的值为（）A． B． C． D．10．（4分）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④二、填空题(共4题；共20分)11．（5分）如图，在中．、分别是、上的点，，且．则．12．（5分）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为．（，结果保留两位小数）13．（5分）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是．14．（5分）如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论：①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有．三、解答题(共4题；共32分)15．（8分）如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．16．（8分）如图，点分别在三边上，且，．（1）（4分）求的长；（2）（4分）若的面积为4，求四边形的面积．17．（8分）如图，在中，为边上一点，．

（1）（4分）求证：；（2）（4分）若，，求的长．18．（8分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）（4分）求证：AD2＝AF•AB；（2）（4分）求证：AD•BE＝DE•AB．四、综合题(共5题；共48分)19．（10分）如图，已知是等边三角形，分别是边上的点，且．在的延长线上取点F，使得，联结．（1）（5分）求证：；（2）（5分）求证：．20．（12分）如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且∠ABC＝2∠C.（1）（6分） 求证：△ABC∽△ADB.

（2）（6分） 已知AB＝5，AD＝4，求BD.

21．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．（1）（6分）求证：DE=BD+CE；（2）（6分）若AD=3，BD=CE=2，求BC的值．22．（14分）（1）（6分）【问题探究】

如图①，在矩形ABCD中，点E为边BC上一点，EF⊥AD于点F，点G为边CD上一点，连接AG，过点E作EH⊥AG于点P，交AD于点H，求证：△EFH∽△ADG；（2）（8分）【问题解决】

如图②，矩形ABCD为某开发区的一片空地，点E、F分别为边CD、BC上的点，经测量，AD=2AB=480米，DE=200米，开发商现欲在AD边上找一点G，使得四边形AGEF的面积为67600平方米，设计人员的设计过程如下：①以点F为圆心，任意长为半径画弧，交AE于M、N两点；②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P；③连接FP并延长，分别交AE、AD于点H、G．请问：若按上述作法，得到的点G是否符合要求？请证明你的结论．参考答案1．【答案】B2．【答案】C【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），

∴PA2=PB·AB，故①正确；

∴，故②错误

∴PA2=PB·（PA+PB）

解之：即，故③正确；

∴正确结论有2个.

故答案为：C.

【分析】利用黄金分割点可知PA2=PB·AB，可对①②作出判断；由此可推出PA2=PB·（PA+PB），解方程可得到PB与PA的比值，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CDAB，则BE＝BC+CE＝10米，∵CDAB，∴△ECD∽△EBA∴＝，即＝，解得AB＝8（米），即路灯的高AB为8米．故答案为：C．

【分析】先证明△ECD∽△EBA，再利用相似三角形的性质可得＝，再将数据代入计算即可。6．【答案】C7．【答案】C【解析】【解答】解：∵两角分别对应相等的两个三角形相似，

∴当∠A=∠A'，∠B=∠B'或∠A=∠A'，∠C=∠C'或∠B=∠B'，∠C=∠C'时，△ABC∽△A'B'C'；A选项不符合题意；

∵两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，

∴当∠A=∠A'，或∠B=∠B'，或∠C=∠C'，时，△ABC∽△A'B'C'；B选项和D选项不符合题意；

∵三边成比例的两个三角形相似，

∴当时，△ABC∽△A'B'C'；C选项符合题意；故答案为：C.【分析】根据两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；进行分析即可求解.8．【答案】D【解析】【解答】解：，，，故A不符合题意；，故D符合题意；根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，故答案为：D．【分析】根据，，再结合图形对每个选项一一判断即可。9．【答案】D10．【答案】B【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形.∴，又，∴，∴是等边三角形，∴，在与中，，∴，∴，∴①符合题意；②由①得，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴②符合题意；③当点E，F分别是AB、AD中点时，由（1）知，△ABD为等边三角形，∵点E，F分别是中点，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴③不符合题意；④过点F作FP∥AE交DE于P点，如图，∴△DPF∽△DEA，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，

∴△FPG∽△BEG，∴，即，故本选项符合题意：∴正确的结论是①②④.故答案为：B.【分析】根据菱形的性质并结合已知易得△ABD是等边三角形，则∠A=∠ADB=60°，从而利用SAS判断出△AED≌△DFB，得DE=BF，∠ADE=∠DBF，进而根据三角形外角性质及等量代换得∠BGE=60°，据此可判断①与②；当点E，F分别是AB、AD中点时，由等边三角形的性质得∠BDE=∠DBG=30°，由等角对等边得DG=BG，从而用SSS判断出△GDC≌△GBC，得∠DCG=∠BCG，根据等边三角形的三线合一得CH⊥BD，即CG⊥BD，据此可判断③；过点F作FP∥AE交DE于P点，推出△DPF∽△DEA，由相似三角形对应边成比例及菱形的性质可推出BE=2AE，再证出△FPG∽△BEG，由相似三角形对应边成比例即可得出BG=6GF，据此可判断④.11．【答案】【解析】【解答】解：∵，，

∴，

故答案为：

【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。12．【答案】3.2413．【答案】614．【答案】①②③⑤15．【答案】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB∴，∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴，∴CB＝4（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．答：树高为5.5米．【解析】【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似得△DEF∽△DCB，根据相似三角形的性质得，求得CB，再加上AC即可.16．【答案】（1）解：，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，且，，，，∴．【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合BC的长求出BF的长，最后利用线段的和差求出CF的长即可；

（2）先证出可得，再求出，再证出可得，再求出，最后利用割补法求出即可.17．【答案】（1）证明：，，

；（2）解：，

，

，，

．【解析】【分析】（1）直接利用三角形相似的判定定理：有两个角相等的三角形时相似三角形，即可求解；

（2）根据相似三角形的性质得到比例式，代入数据进行计算即可求解.18．【答案】（1）证明：AD平分∠BAC，DF//BE，，（2）证明：又≌【解析】【分析】（1）由AD平分∠BAC，可得到结合已知条件可得再由DF//BE，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求解；

（2）由可证明进一步得到结合条件可证明≌利用全等三角形的性质得到利用等量代换即可求解.19．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴∴，∴，∴，∵，，∴；（2）证明：如图，联结，∵，且，∴是等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴．【解析】【分析】（1）先证出，可得，再结合，，求出即可；

（2）连接AF，先证出，可得，再结合，，求出，即可得到。20．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠ABC，∴∠C＝∠ABD，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB.（2）解：∵△ABC∽△ADB，

∴，∵AB＝5，AD＝4，∴AC＝＝，∴CD＝AC﹣AD＝﹣4＝，∵∠DBC＝∠ABC，∠C＝∠ABC，∴∠DBC＝∠C，∴BD＝CD＝，∴BD的长为.

【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，再由∠ABC＝2∠C，进而得∠C＝∠ABD，再结合∠A为公共角，即可证明△ABC∽△ADB；

（2）根据三角形相似性质得，求得AC=，进而求得CD=；由∠DBC＝∠ABC，∠C＝∠ABC，得∠DBC＝∠C，进而得BD＝CD，即可求出BD的长.21．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC；（2）解：∵BD=CE=2，∴由（1）可知，DE=BD+EC=4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴．【解析】【分析】（1）先证明∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，可得DB=DO，OE=EC，再利用线段的和差及等量代换可得答案；

（2）先证明△ADE∽△ABC，可得，即，再求出即可。22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°．∵EH⊥AG于点P，

∴∠HPA=90°，∴∠D=∠HPA=90°，

∴．又∵∠EFH=∠ADG=90°，

∴△EFH∽△ADG；（2）解：得到的点G符合要求，理由如下：过点F作FK⊥AD于点K，如图②．∴∠AKF=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABF=∠BAK=∠AKF=90°，

∴四边形ABFK是矩形，

∴FK=AB．∵AD=2AB=480米，DE=200米，

∴FK=AB=240米，米．由作图过程可知，FG⊥AE于点H，即∠AHG=90°，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，∴．又∵∠FKG=∠D=90°，

∴△FKG∽△ADE．

∵，

∴，即，

解得FG=260米，∴（平方米），∴得到的点G符合