第01讲探索直线平行的条件

第01讲探索直线平行的条件探索直线平行的条件（一）1.定义：两条直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角.图中还有其它的同位角吗？平行判定1：两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．口诀：同位角相等，两直线平行．几何语言：因为∠1与∠2是直线a、b被直线截成的同位角，且∠1=∠2．所以a平行b．2.如图1，直线ABCD被直线EF所截，则：内错角：像∠2与∠8，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.同旁内角：像∠2和∠5都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.112345786ABCDFE图1平行判定2：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．口诀：内错角相等，两直线平行．几何语言：因为∠1与∠2是直线a、b被直线c截成的内错角，且∠1=∠2．所以a平行b．平行判定3：两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．口诀：同旁内角互补，两直线平行．几何语言：因为∠1和∠3是直线a、b被直线c截成的同旁内角，且∠1＋∠3=180°．所以a平行b．考点剖析（同位角的认识）例1：如图，的同位角是（

）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】本题考查同位角，同位角是:两条直线被第三条所截，在截线的同旁，在被截线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角．【详解】解：根据同位角定义可得的同位角是，故选：A．变式11：如图所示的四个图形中，和是同位角的是．（填序号）

【答案】①②④【分析】根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】解：①∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；②∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；③∠1与∠2分别是四条直线中的两对直线的夹角，不符合同位角的定义，故它们不是同位角；④∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查同位角的定义，掌握同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同侧，在第三条直线的同旁的两个角，叫做同位角”，是解题的关键．变式12：找一找下图中有几对同位角？【答案】有4对同位角【分析】结合题意，根据同位角的定义分析，即可得到答案．【详解】是同位角的有：和，和，和，和∴图中有4对同位角．【点睛】本题考查了同位角的知识，解题的关键是熟练掌握同位角的定义：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．（内错角的认识）例2：如图，直线a，b被直线c所截，与是内错角的是（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据内错角的定义解决此题．【详解】解：由图可知，与互为内错角的是．故选：D．【点睛】本题主要考查内错角，熟练掌握内错角的定义是解决本题的关键．变式21：如图所示，直线与被直线所截得的内错角是；直线与被直线所截得的内错角是；的内错角是．AI【答案】和和和【分析】根据内错角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空．【详解】直线与被直线所截得的内错角是和；直线与被直线所截得的内错角是和；的内错角是和．故答案为：和；和；和．【点睛】本题考查了内错角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角是解题的关键．变式22：如图，在△ABC中，∠ABC＝90，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE．∠A的同位角是．∠ABD的内错角是．点B到直线AC的距离是线段的长度．点D到直线AB的距离是线段的长度．【答案】∠BDC、∠BED、∠EDC；∠BDC；BD；DE【分析】根据两直线被第三条直线所截，位置相同的角是同位角，可得一个角的同位角，根据两直线被第三条直线所截，角位于两直线的中间，截线的两侧是内错角，可得一个角的内错角，根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离，可得答案．【详解】解：∠A的同位角是∠BDC、∠BED、∠EDC，∠ABD的内错角是∠BDC，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，点D到直线AB的距离是线段DE的长度，故答案为：∠BDC、∠BED、∠EDC；∠BDC；BD；DE．【点睛】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键．（同旁内角的认识）例3：如图，的同旁内角有（

）．

A． B． C． D．以上都是【答案】D【分析】根据两直线被第三线所截，，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，进行判断即可．【详解】解：直线被直线所截，与是同旁内角；直线被直线所截，与是同旁内角；直线被直线所截，与是同旁内角；故选D．【点睛】本题考查同旁内角的判断．解题的关键是掌握同旁内角的定义．变式31：如图，的同旁内角有个．【答案】3【分析】根据同旁内角的定义即两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角进行解答即可．【详解】解：的同旁内角有和，共有3个．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了同旁内角的定义：“同旁”指在截线的同侧；“内”指在被截两条线之间，比较简单．变式32：若平行直线与相交直线相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？

【答案】16对【分析】根据同旁内角的定义进行分析可得答案：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．【详解】解：如图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角．【点睛】本题主要考查了同旁内角的定义，熟知同旁内角的定义是解题的关键（同位角证平行）例4：下列图形中，由∠1＝∠2，能说明的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】、与是同旁内角，，不能判定，故本选项错误，、，，，，故本选项正确，、与是同旁内角，，不能判定，故本选项错误，、，，故本选项错误．【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．变式41：如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是．

【答案】同位角相等，两直线平行【分析】根据同位角相等，两直线平行可得答案．【详解】解：由作图可得，根据同位角相等，两直线平行可得，故答案为：同位角相等，两直线平行．

【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．变式42：已知：如图，直线与被所截，．求证：．

【答案】见解析【分析】先证明，结合，可得，从而可得结论．【详解】解：∵（对顶角相等），又∵（已知），∴，∴（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查的是对顶角相等，平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解本题的关键．（内错角证平行）例5：如图，能判定的条件是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】考查平行线的判定，直接利用平行线判定定理：“内错角相等两直线平行”即可直接选出答案．【详解】A、，可推出，不符合题意；B、，可推出，不符合题意；C、，可推出，不符合题意；D、，可推出，符合题意；故选D．变式51：如图，，，则当时，．

【答案】/60度【分析】假设，推导的度数，即可求解．【详解】解：假设则∵∴∴反之，当时，故答案为：【点睛】本题考查平行线的判定．先假设成立，是解此题的关键．变式52：如图，直线过点若，，，试判断与的位置关系，并说明理由．

【答案】，理由见解析【分析】由，可知，再由可证得．【详解】解：，理由如下：，，，，．【点睛】本题考查了平角以及平行线判定定理的知识，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理．（同旁内角证平行）例6：如图，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案．【详解】解：∵，∴（同旁内角互补，两直线平行）．故选：B．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．变式61：如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是，依据是．

【答案】同旁内角互补，两直线平行【分析】根据题意推出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得出结论．【详解】解：∵，，∴，∴（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：，同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行．变式62：如图，一条街道的两个拐角，，这时街道与平行吗？为什么？【答案】，见解析【分析】根据同旁内角互补两直线平行；判断即可；【详解】解：．理由如下：，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握同旁内角互补两直线平行是解题关键．（平行证明综合）例7：如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．

【答案】见解析．【分析】根据角平分线的定义，可证得，结合，即可证明结论．【详解】∵平分，，∴．又，∴．∴．【点睛】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定，牢记平行线判定的方法是解题的关键．变式71：如图，如果，，那么与平行吗？说说你的理由．【答案】，理由见详解【分析】本题考查平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行，由此即可证明问题．【详解】解：，理由如下：．变式72：如图，已知于点E，于点G，，能成立吗？为什么？

【答案】见解析【分析】根据，，得出，得出，根据余角的性质得出，根据平行线的判定得出．【详解】证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，余角的性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．过关检测选择题（共6题，每题4分）1．图中能与构成同位角的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题考查同位角的定义．根据同位角的定义“两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角”解答即可．【详解】解：如图：由同位角的定义知，能与构成同位角的角有，共3个，故选：B．2．如图，能推断的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查平行线的判定，“同位角相等，两直线平行”，“同旁内角互补两直线平行”，“内错角相等两直线平行”，直接根据判定定理判定即可．【详解】解：A、∵，∴，不能推出；B、，∴，故本选项B正确；C、∵，∴，∴，不能推出；D、∵，∴，不能推出；故选：B．3．如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可求解．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．【详解】解：A、可判断，故此选项符合题意；B、可判断，故此选项不符合题意；C、可判断，故此选项不符合题意；D、可判断，故此选项不符合题意．故选：A．4．如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤【答案】D【分析】本题考查了同位角、内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系，再比照五种说法判断对错，即可得出结论．【详解】解：根据内错角、同位角以及同旁内角的定义分析五种说法．①和是同位角，即①正确；②和是内错角，即②正确；③和是内错角，即③不正确；④和是同位角，即④正确；⑤和是同旁内角，即⑤正确．故选：D．5．下列语句中，①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③平行于同一条直线的两条直线平行；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定，逐一判断即可得到答案．【详解】解：①有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，故该说法错误；②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该说法错误；③平行于同一直线的两直线平行，正确；④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法错误．故正确的有1个，故选：A．【点睛】本题考查了对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定，熟练掌握和理解对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定是解题的关键．6．如图，下列条件，①，②，③，④，其中能判定的条件有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】利用平行线的判定定理逐项进行分析判断即可．【详解】解：①，内错角相等，两直线平行，则，不能判断；②，内错角相等，两直线平行，则；③，同旁内角互补，两直线平行，则，不能判断；④，同位角相等，两直线平行，则，综上所述能判定的条件有②④，共个，故选：．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线判定定理是解答本题的关键．填空题（共8题，每题4分）7．已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则ac．【答案】/平行【分析】本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．8．如图，点在的延长线上，请添加一个恰当的条件，使．【答案】（答案不唯一）【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：当时，；当时，；当时，．故答案为：或或（任填一个即可）．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．9．如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是．【答案】平行于同一条直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【详解】解：这样做的数学依据是平行于同一条直线的两条直线平行，故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键．10．如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是．（填序号）

【答案】①②④【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答．【详解】解：①，能判断，故此选项符合题意；②，，故此选项符合题意；③，，故此选项不符合题意；④，，故此选项符合题意，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了平行线的判定条件，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟知上述判定条件是解题的关键．11．能判定的同位角有组．【答案】【分析】根据“同位角相等，两直线平行”找出所有与有关的同位角即可解答．【详解】解：如，则；如，则；如，则；如，则．∴能判定的同位角有4组故答案为：【点睛】本题主要考查了平行线判定定理，理解同位角的概念是解答本题的关键．12．如图，已知条件：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不能够判定直线的是．（只填序号）【答案】①③④⑤⑥【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位角相等，两直线平行，即可判断③；根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断④；根据同角的补交相等可得，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断⑤；过点B作，则，从而得出，进而得出，最后根据平行于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥．【详解】解：①∵，∴，故①能够判定直线，符合题意；②不能判定，故②不符合题意；③∵，∴，故③能够判定直线，符合题意；④∵，∴，故④能够判定直线，符合题意；⑤∵，，∴，∴∴，故⑤能够判定直线，符合题意；⑥过点B作，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故⑥能够判定直线，符合题意；综上：能够判定直线的有：①③④⑤⑥．故答案为：①③④⑤⑥．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行．13．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是．【答案】（或垂直）【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可．【详解】解：∵，，，，……，∴，，，，，，，，……，∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环，∵，∴，故答案为：（或垂直）．【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．14．如图所示，直线上有两点A，C，分别引两条射线，，，射线别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间秒．

【答案】5或/或5【分析】分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．【详解】∵，∴，分三种情况：如图①，与在的两侧时，，，

要使，则，即，解得；如图②，旋转到与都在的右侧时，

，，要使，则，即，解得；如图③，旋转到与都在的左侧时，

，，要使，则，即，解得，此时，∴此情况不存在．综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行．故答案为：5或．【点睛】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方程是解题的关键，要注意分情况讨论．解答题（共5题，前三题每题8分，后两题每题10分）15．如图，，判断和的位置关系，并说明理由；【答案】，理由见解析【分析】根据对顶角相等以及平行线的判定定理即可得到结论.【详解】解：理由如下：∵，又∵，∴，∴【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，两直线平行．16．完成下面的证明．如图，分别平分．求证．

证明：，（____________________）．分别平分，∴，______（____________________）．又，（________