专题17直角三角形（直通中考）（分层练习）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.7直角三角形（直通中考）单选题1．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（

）

A． B． C． D．2．（2015·江苏淮安·统考中考真题）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=4，b=2，c=3C．a=4，b=2，c=5 D．a=4，b=5，c=33．（2014·海南·统考中考真题）在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120° B．90° C．60° D．30°4．（2012·吉林长春·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE∥AB，∠ADE=42°，则∠B的大小为（

）A．42° B．45° C．48° D．58°5．（2012·山东济南·统考一模）如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则下列说法中正确的是（）A．∠α的余角只有∠B B．∠α的补角是∠DACC．∠α与∠ACF互补 D．∠α与∠ACF互余6．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大面小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（

）

A． B． C． D．7．（2023·西藏·统考中考真题）如图，已知，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，，则的度数是（

）

A． B． C． D．8．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，直线，于点E．若，则的度数是（）

A． B． C． D．9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（

）

A． B． C． D．10．（2022·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点11．（2023·山东·统考中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形12．（2023·河北·统考中考真题）在和中，．已知，则（

）A． B． C．或 D．或13．（2012·福建漳州·中考真题）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【】A．45° B．60° C．75° D．90°14．（2018·湖南长沙·统考中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米15．（2018·江苏扬州·统考中考真题）在中，，于，平分交于，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．解答题16．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．求证：．小虎同学的证明过程如下：证明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．17．（2023·广东·统考中考真题）综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：

（1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；（2）证明（1）中你发现的结论．18．（2012·广东肇庆·中考真题）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．19．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在中，内角所对的边分别为．（1）若，请直接写出与的和与的大小关系；（2）求证：的内角和等于；（3）若，求证：是直角三角形．20．（2015·湖南怀化·统考中考真题）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2．24，结果保留一位小数）21．（2014·江苏南京·统考中考真题）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．填空题22．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则度．

23．（2021·广西玉林·统考中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿方向航行．24．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则（填“”“”“”中的一个）．25．（2017·湖南株洲·中考真题）如图示在△ABC中∠B=．26．（2014·江苏镇江·统考中考真题）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，若∠1=25°，∠2=70°．则∠B=°．27．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在中，为边上的高，，，则是度．28．（2013·山东威海·中考真题）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=．29．（2013·内蒙古包头·中考真题）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．

30．（2011·江西·中考真题）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=度31．（2012·四川巴中·中考真题）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有．（填序号）

33．（2023·江苏苏州·一模）中，，点在射线上，且，连接，若，则___________．34．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，则的长为．35．（2019·河南郑州·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是．36．（2020·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处．当直线EF与直线AC垂直时，则AE的长为．参考答案：1．C【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解；解：，,又故选择：C【点拨】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质得到是解题的关键．2．D解：A．∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．3．D【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．故选D．【点拨】本题考查直角三角形两锐角的关系．4．C解：∵DE∥AB，∠ADE=42°，∴∠CAB=∠ADE=42°．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠B=90°－∠CAB=90°－42°=48°．故选C．5．C【分析】根据题意CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，结合图形可得∠α的余角与补角，逐项分析判断即可求解．解：∵CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，∴∠B+∠α=∠DAC+∠α=90°，所以A不正确；∴∠α+∠DAE=180°，所以B也不正确；∵∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠α=90°，∴∠ACD=∠α，∵∠ACD+∠ACF=180°，∴∠ACF与α互补．故C正确，D不正确．故选C．【点拨】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，掌握余角与补角的定义是解题的关键．6．B【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．解：由示意图可知：和都是直角三角形，，，，故选：B．【点拨】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．7．C【分析】根据平行线的性质与三角形的内角和为进行解题即可．解：∵，，∴，由题可知：，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．8．B【分析】延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出．解：延长，与交于点，

∵，，∴，∵，∴，故选：B．【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．9．C【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．解：∵，∴，∵，∴，故选：C．【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键．10．B【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可．解：∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴选B．【点拨】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键．11．D【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．解：解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴为等腰直角三角形，故选：D．【点拨】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．12．C【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．解：过A作于点D，过作于点，∵，∴，当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，∴，∴；当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，∴，∴，即；综上，的值为或．故选：C．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．13．C解：如图，∵∠1=90°60°=30°，∴∠α=45°+30°=75°．故选C．【点拨】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，外角的性质，解决此题的关键计算细致．14．A【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．15．C分析：根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选C．【点拨】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE是解题的关键．16．（1）二；（2）见分析【分析】（1）根据证明过程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．（2）证明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．17．（1）；（2）证明见分析.【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；（2）证明是等腰直角三角形即可.（1）解：（2）证明：连接，

设小正方形边长为1，则，，，为等腰直角三角形，∵，∴为等腰直角三角形，，故【点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．18．证明：（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD．（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．解：证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA=90°，∴△ABC≌△BAD（HL）∴BC=AD．（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．∴△OAB是等腰三角形．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．19．（1）；（2）证明见分析；（3）证明见分析【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；（3）化简等式即可得到a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论解：在中，，；如图，过点作，，（两直线平行，内错角相等），（平角的定义），（等量代换），即：三角形三个内角的和等于；（3），，，，是直角三角形．【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键．20．（1）3；（2）S=或S=﹣+16t﹣40；（3）t=，t=，t=3.4时，△PQC为等腰三角形【分析】（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式，求得PE=t，QE=t，根据勾股定理得到PQ2=QE2+PE2，求出PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，于是得到当t=5时，PQ的最大值=3；（2）由三角形的面积公式即可求得；（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况①当CQ=CP时，②当PQ=CQ时，③当PQ=PC时，列方程求解即可．解：试题分析：试题解析：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，∵∠C=90°，∴QE∥BC，∴△ABC∽△AQE，∴，∵AQ=2t，AP=t，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴，∴PE=t，QE=t，∴PQ2=QE2+PE2，∴PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，∴当t=5时，PQ的最大值=3；（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积=S△AQP，当Q在AB边上时，S=AP•QE=t•t=，（0＜t≤5）当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，∴S四边形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）•（16﹣2t）=﹣+16t﹣40，（5＜t≤8）；∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式：S=或S=﹣+16t﹣40．（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，由（1）知QE=t，CE=AC﹣AE=8﹣t，PQ=tt，∴CQ====2，①当CQ=CP时，即：2=8﹣t，解得；t=，②当PQ=CQ时，即；t=2，解得：t=，t=（不合题意舍去），③当PQ=PC时，即t=8﹣t，解得：t=6﹣10≈3.4；综上所述：当t=，t=，t=3.4时，△PQC为等腰三角形．考点：相似形综合题【点拨】本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，特别是（3）要分类讨论，不要漏解．21．（1）HL；（2）证明见分析；（3）作图见分析；（4）∠B≥∠A．【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“”证明；（2）过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等；（3）以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等；（4）根据三种情况结论，不小于即可．解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道，故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL．（2）如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，，且、都是钝角，，即，在和中，，，，在和中，，，，在和中，，；（3）如图，和不全等；以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等．（4）若，则，故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．22．//．【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．解：由题意可知，矩，欘宣矩，，故答案为：．【点拨】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．23．北偏东50°（或东偏北40°）【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，∴，∴∠APB=90°，∴，∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．24．=【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到．解：连接DE，如图∵点，点，点，点，点，由勾股定理与网格问题，则，，∴△ABC是等腰直角三角形；∵，，∴，∴，∴△ADE是等腰直角三角形；∴；故答案为：=．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．25．25°解：∵∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；故答案为25°．26．45．【分析】首先运用平行线的性质和角度计算可以求出∠∠BAC=45°，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可解：∵m∥n，∠2=70°，∴∠BAN=70°．∵∠1=25°，∴∠BAC=45°．∵∠C=90°，∴∠B=45°．故答案为：45．【点拨】本题主要考查了1．平行线的性质；2．直角三角形两锐角的关系，解题的关键是能正确计算，注意细节．27．40或80/80或40【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．解：根据题意，分三种情况讨论：①高在三角形内部，如图所示：在中，为边上的高，，，，；②高在三角形边上，如图所示：可知，，故此种情况不存在，舍弃；③高在三角形外部，如图所示：在中，为边上的高，，，，；综上所述：或，故答案为：或．【点拨】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．28．25°【分析】先根据等边对等角算出∠ACB=∠B=45°，再根据直角三角形中两个锐角互余算出∠F=60°，最后根据外角的性质求解即可．解：∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°．∵∠EDF=90°，∠E=30°，∴∠F=90°﹣∠E=60°．∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及外角的性质，解题的关键是要合理的运用外角和计算的时候要细致认真．29．135解：试题分析：如图，连接EE′，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．∴EE′=2，∠BE′E=45°．∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．30．90【分析】根据对顶角相等可得∠1=∠3，∠2=∠4，再根据直角三角形两锐角互余解答．解：如图，∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等），∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°．故答案为：9031．等腰直角三角形解：∵，∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．又由a－b=0得a=b，∴△ABC为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．32．①②④【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点，过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出，在中，勾股定理即可求解．解：①当时，是等边三角形，∴∴∵等腰直角、，∴∴∴；故①正确；②∵等腰直角、，∴，∴∴∴；故②正确；④如图所示，作直线于点，过点作于点，过点作于点，

∵，∴，又，∴又∵，∴同理得，，∴，，，∵，，，∴，∴，即是的中点，故④正确，∴，设，则在中，在中，∴∴解得：∴，∴，∴∴在中，∴,故③错误故答案为：①②④．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．33．，，【分析】分三种情形：①如图1中，当在线段上时，作于，．②如图2中，当在的延长线上时，作于，于．③如图3中，当是钝角时，在的延长线上时，作作于，于．利用全等三角形的性质解决问题即可．解：①如图1中，在线段上时，作于，于．，，，，，，，又，，，，，．②如图2中，当在的延长线上时，作于，于．同法