2018高考数学一轮自练题（三）及答案

2018高考数学一轮自练题（三）及答案一、选择题1、(2017·云南大理检测)已知三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为eq\f(4\r(3),3)，BC＝4，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，则球O的表面积为()A.11π B.20πC.23π D.35π答案C解析设棱锥的高为h，因为S△BCD＝eq\f(1,2)×BC×BD＝2eq\r(3)，所以VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD×h＝eq\f(4\r(3),3)，所以h＝2，因此点O到平面BCD的距离为1，因为△BCD外接圆的直径为eq\r(19)，所以OB＝eq\r(1＋\f(19,4))＝eq\f(\r(23),2)，所以球O的表面积为S＝4πr2＝23π，故选C.2.(2017·湖北部分重点中学联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A.36π B.8πC.eq\f(9π,2) D.eq\f(27π,8)答案B解析从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为2，eq\r(2)，eq\r(2)的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线l＝eq\r(22＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2eq\r(2)，故球的半径为R＝eq\r(2)，所以该外接球的表面积S＝4π(eq\r(2))2＝8π，故选B.3、(2017届巴蜀中学期末)如图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y值为3，那么应输入x等于()A.1 B.2C.3 D.6答案B解析运行程序，若x＞6，则输出y＝x－3，求得x＝6，不符合题意；若x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，6))，则输出y＝6，不符合题意；若x≤2，则输出y＝5－x，求得x＝2.4、若O为坐标原点，已知实数x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))在可行域内任取一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，则OP的最小值为()A.1 B.eq\r(3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(3,2)答案C解析OP表示原点到可行域的距离，画出可行域如图所示，由图可知，原点到直线x＋y－1＝0的距离最小，最小距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).

5、i为虚数单位，已知复数z满足eq\f(2,1＋i)＝eq\x\to(z)＋i，则z等于()A.1＋2iB.1－2iC.1＋iD.－1＋i答案A解析由题意得，设z＝a＋bi，则eq\x\to(z)＝a－bi，eq\f(2,1＋i)＝1－i⇒a＝1，b＝2.6、“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0＜b＜1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析若“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)),\r(2))＜1，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＜eq\r(2)，不能推出0＜b＜1；反过来，若0＜b＜1，则圆心到直线的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)),\r(2))＜eq\f(1,\r(2))＜1，所以直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交，故选B.7、设F1，F2分别是椭圆x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆相交于A，B两点，|AB|＝eq\f(4,3)，直线l的斜率为1，则b的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)答案D解析直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝eq\r(1－b2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c，,x2＋\f(y2,b2)＝1，))化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝eq\f(－2c,1＋b2)，x1x2＝eq\f(1－2b2,1＋b2).因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝eq\r(2)|x2－x1|，即eq\f(4,3)＝eq\r(2)|x2－x1|，则eq\f(8,9)＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\f(8b4,1＋b22)，解得b＝eq\f(\r(2),2).8、(2017届枣庄期末)过抛物线y2＝4ax(a＞0)的焦点F作斜率为－1的直线l，l与离心率为e的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的两条渐近线的交点分别为B，C.若xB，xC，xF分别表示B，C，F的横坐标，且xeq\o\al(2,F)＝－xB·xC，则e等于()A.6B.eq\r(6)C.3D.eq\r(3)答案D解析由题意，知F(a，0)，则直线l的方程为y＝－x＋a，∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，∴直线l与渐近线的交点横坐标分为eq\f(a2,a－b)，eq\f(a2,a＋b)，又xeq\o\al(2,F)＝－xB·xC，即a2＝－eq\f(a2,a－b)·eq\f(a2,a＋b)，整理得eq\f(b2,a2)＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，故选D.二、非选择题9、(2017届柳州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5|x－1|－1，x≥0，,x2＋4x＋4，x＜0，))若关于x的方程f

2(x)－(2m＋1)f(x)＋m2＝0有7个不同的实数解，则m＝__________.答案2解析令t＝f(x)，作出函数f(x)的图象如图所示：由图可知方程t2－(2m＋1)t＋m2＝0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0，4)上.由42－(2m＋1)×4＋m2＝0⇒m＝2或m＝6，又当m＝2时，另一根为1，满足题意；当m＝6时，另一根为9，不满足题意，故m＝2.10、已知函数f(x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R).(1)如果曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x，求a，b的值；(2)若a＜1，b＝2，关于x的不等式f(x)＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝bex＋(bx－1)ex＝(bx＋b－1)ex.因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝0，,f′0＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0，,b－1＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))(2)当b＝2时，f(x)＝(2x－1)ex＋a(a＜1)，关于x的不等式f(x)＜ax的整数解有且只有一个，等价于关于x的不等式(2x－1)ex＋a－ax＜0的整数解有且只有一个.构造函数F(x)＝(2x－1)ex＋a－ax，x∈R，所以F′(x)＝ex(2x＋1)－a.①当x≥0时，因为ex≥1，2x＋1≥1，所以ex(2x＋1)≥1，又a＜1，所以F′(x)＞0，所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增.因为F(0)＝－1＋a＜0，F(1)＝e＞0，所以在[0，＋∞)上存在唯一的整数x0＝0使得F(x0)＜0，即f(x0)＜ax0.②当x＜0时，为满足题意，函数F(x)在(－∞，0)内不存在整数使F(x)＜0，即F(x)在(－∞，－1]上不存在整数使F(