河南省豫北名校2023-2024学年高一下学期5月月考试题数学

河南省豫北名校5月份联考考试2023—2024学年高一年级阶段性测试（四）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.2.已知平面向量，，且，则实数（）A. B. C.2 D.3.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，若将四边形水平放置，用斜二测画法画出它的直观图，则四边形的面积为（）A.4 B. C.8 D.4.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（）A. B. C. D.5.已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（）A.2 B. C. D.66.已知正四棱台上、下底面边长分别为2和4，直线与的夹角为，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.7.如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（）A. B. C. D.8.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是弧的中点，，分别为线段，的中点，则（）A.2 B. C.3 D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B若，，，则C.若，，，则D.若，，，则10.欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（）A.B.对任意，与互为共轭复数C.对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上D.复数的实部为11.已知向量，，，下列说法正确的是（）A.若，则B.设函数，则的最大值为2C.的最大值为D.若，且在上的投影向量为，则与的夹角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数对应的点到点的距离是，则____.13.在中，，，点在边上，则的最小值为________.14.如图所示，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为______；平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知向量，，向量满足，且.（1）求的坐标；（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.16.已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍.（1）求；（2）若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？17.如图所示，是圆柱下底面圆直径，是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线.（1）求证：平面；（2）若异面直线与所成的角为，圆柱的表面积为，求四棱锥体积的最大值.18.如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.19.在中，内角，，对边分别为，，，且.（1）求；（2）如图1，，，求；（3）如图2，若，，在边，上分别取点，，将沿直线折叠，使顶点正好落在边上的点处，求的最大值.河南省豫北名校5月份联考考试2023—2024学年高一年级阶段性测试（四）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义，表示出复数，代入到要求的式子中即可得出答案.【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以.故选：C.2.已知平面向量，，且，则实数（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用向量数量积和向量垂直的概念求出参数的取值.【详解】，，则故答案选：D.3.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，若将四边形水平放置，用斜二测画法画出它的直观图，则四边形的面积为（）A.4 B. C.8 D.【答案】A【解析】【分析】依题意可知直观图为平行四边形，作出直观图，求出相应的线段的长度，即可求出面积.【详解】依题意可知四边形为平行四边形，则直观图也为平行四边形，其直观图如下所示：又，，则，，，所以，所以.故选：A4.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解.【详解】由余弦定理，又，所以，所以，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，解得或，又，所以，则，所以.故选：C5.已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（）A.2 B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】首先由数量积的定义求出，再由平面向量线性运算法则得到，最后根据及数量积的运算律计算可得.【详解】因为向量，的夹角为，，，所以，又因为，所以.故选：A6.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，直线与的夹角为，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得.【详解】依题意将正四棱台补形为正四棱锥，如下图所示：、因为直线与的夹角为，所以为边长为的等边三角形，又，且，所以是的中位线，设，则平面，且，所以正四棱台的高，所以四棱台的体积.故选：D7.如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在中，利用正弦定理求出长，再在直角中即可作答.【详解】在中，依题意有，由正弦定理得，即，由于塔垂直于地面，于是在直角中，，从而得，所以塔高m.故选：C8.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是弧的中点，，分别为线段，的中点，则（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】设为的中点，连接、，根据圆锥的性质得到底面，则，求出，利用余弦定理求出，最后由勾股定理计算可得.【详解】如图，设为的中点，连接、，依题意底面，，所以，，，，所以底面，又底面，所以，在中，，即为等腰直角三角形，则，，又为的中点，所以，在中，所以.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D若，，，则【答案】AC【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系一一判断即可.【详解】对于A，若，，则或，又，所以，故A正确；对于B，若，，则或，又，则与斜交、垂直、平行及均有可能，故B错误；对于C，若，，则，又，则，故C正确；对于D，若，，则或，又，则或，故D错误．故选：AC．10.欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（）A.B.对任意，与互为共轭复数C.对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上D.复数的实部为【答案】BCD【解析】【分析】由复数几何意义可判断A，由所给定义、诱导公式及共轭复数判断B，由复数的几何意义判断C，根据所给定义化简，即可判断D.【详解】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：，，所以对任意，与互为共轭复数，故B正确；对于C：因为，所以在复平面内对应的点为，又，所以在复平面内对应的点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，故C正确；对于D：的实部为，故D正确.故选：BCD11.已知向量，，，下列说法正确的是（）A.若，则B.设函数，则的最大值为2C.的最大值为D.若，且在上的投影向量为，则与的夹角为【答案】ABD【解析】【分析】根据判断A，由数量积的坐标表示及辅助角公式判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D.【详解】对于A：若，则，所以，故A正确；对于B：，所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确；对于C：因为，所以，所以当时取得最大值，最大值，故C错误；对于D：在上的投影向量为，所以，所以，又，所以，此时，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数对应的点到点的距离是，则____.【答案】【解析】【分析】首先得到复数在复平面内对应的点的坐标，再由两点间的距离公式计算可得.【详解】复数在复平面内对应的点为，依题意，解得.故答案为：13.在中，，，点在边上，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，设，，则，，所以，因为，所以当时.故答案为：14.如图所示，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为______；平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为_________.【答案】①.②.##【解析】【分析】首先的斜边，即可求出外接球的半径，从而求出外接球的表面积；取的中点，的中点，的中点，连接、、、，即可得到平面即为平面，即可求截面面积.【详解】在直三棱柱中，，，即底面为直角三角形，且斜边，设该三棱柱外接球的半径为，则，所以外接球的表面积，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，则、，所以，即、、、四点共面，由，平面，平面，所以平面，故平面即为平面，取的中点，的中点，连接，则为等腰梯形的高，因为，，，所以，所以，即故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，向量满足，且.（1）求的坐标；（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，表示出的坐标，再根据数量积及平面向量共线的坐标表示得到方程组，解得即可；（2）依题意且与不反向，即可得到不等式组，解得即可.【小问1详解】设，则，又，且，所以，解得，所以【小问2详解】因为，因为与的夹角为钝角，所以则，解得且，所以实数的取值范围为.16.已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍.（1）求；（2）若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？【答案】（1）（2）直线去掉点【解析】【分析】（1）利用已知条件，设出复数，通过模长公式及所对点所在位置求出即可复数；（2）把（1）中所求复数代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得出在复平面内对应的点的集合构成图形即可.【小问1详解】因为的虚部是实部的2倍，所以设，又，即，所以，因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，即，所以；【小问2详解】设复数，因为为纯虚数，所以，当时，解得，所以等价于且，所以复数在复平面内的图象为去掉一个点的直线.17.如图所示，是圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线.（1）求证：平面；（2）若异面直线与所成的角为，圆柱的表面积为，求四棱锥体积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由圆柱的性质得到，又，即可得证；（2）依题意可得即为异面直线与所成的角，设圆柱的高为，底面半径为，则，根据圆柱的表面积求出、，设，，得到，最后根据及基本不等式计算可得.【小问1详解】为圆柱的母线，平面，又平面，．是下底面圆的直径，．又平面，平面，平面；【小问2详解】因为，是圆柱的两条母线，所以所以即为异面直线与所成角，即，所以为等腰直角三角形，所以，设圆柱的高为，底面半径为，则，又圆柱的表面积，解得（负值已舍去），则，在中，设，，则，所以．当且仅当时，不等式取“=”号．故的最大值为．18.如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，结合，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）设的中点为，连接、，即可证明、，即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得；（3）根据，利用等体积法计算可得.【小问1详解】连接交于点