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板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1.现有一组数据如下:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()A.v=log2t B.v=logeq\s\do8(\f(1,2))tC.v=eq\f(t2-1,2) D.v=2t-2答案C解析取t=1.99≈2(或t=5.1≈5),代入A得v=log22=1≠1.5;代入B,得v=logeq\s\do8(\f(1,2))2=-1≠1.5;代入C,得v=eq\f(22-1,2)=1.5;代入D,得v=2×2-2=2≠1.5.故选C.2.[2018·安阳一模]某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A.7B.8C.9D.10答案C解析由题意,当生产第k档次的产品时,每天可获得利润为y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10,k∈N),配方可得y=-6(k-9)2+864,所以当k=9时,获得利润最大.选C.3.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的eq\f(3,4),要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg2≈0.3010)()A.3B.4C.5D.6答案B解析设至少要洗x次,则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(3,4)))x≤eq\f(1,100),∴x≥eq\f(1,lg2)≈3.322,因此需4次.故选B.4.某地一天内的气温Q(t)(单位:℃)与时刻t(单位:时)之间的关系如图所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差),C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的图象是()答案D解析当0<t<4时,最高温度不变,最低温度减小,所以温差变大,排除C;当4<t<8时,前面一段温差不变,后面一段最高温度增大,所以温差变大,排除A,B,选D.5.[2017·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税;超过4000元的按全稿酬的11%纳税.若某人共纳税420元,则这个人的稿费为()A.3000元B.3800元C.3818元D.5600元答案B解析由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0,x≤800,0.14x-800,800<x≤4000,,0.11x,x>4000))显然由0.14(x-800)=420,可得x=3800.6.若某商场将彩电价格由原价2250(元/台)提高40%,然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”,则商场每台彩电比原价多卖________元.答案270解析由题意可得每台彩电比原价多卖2250×(1+40%)×80%-2250=270(元).7.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.答案20解析设矩形花园的宽为ym,则eq\f(x,40)=eq\f(40-y,40),即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当x=20m时,面积最大.8.[2018·金版创新]“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aeq\r(A)(a为常数),广告效应为D=aeq\r(A)-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________.(用常数a表示)答案eq\f(1,4)a2解析令t=eq\r(A)(t≥0),则A=t2,∴D=at-t2=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(1,2)a))2+eq\f(1,4)a2.∴当t=eq\f(1,2)a,即A=eq\f(1,4)a2时,D取得最大值.9.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4),已知到今年为止,森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?解(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1).则a(1-x)10=eq\f(1,2)a,即(1-x)10=eq\f(1,2),解得x=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,10)).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2),则a(1-x)m=eq\f(\r(2),2)a,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(m,10))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,2)),eq\f(m,10)=eq\f(1,2),解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1-x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1-x)n≥eq\f(1,4)a,即(1-x)n≥eq\f(\r(2),4),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(n,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(3,2)),eq\f(n,10)≤eq\f(3,2),解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.10.[2018·大连模拟]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3eq\f(Q,10)(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1m/s.(1)求出a,b的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?解(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3eq\f(30,10)=0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1m/s,故a+blog3eq\f(90,10)=1,整理得a+2b=1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=0,,a+2b=1,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-1,,b=1.))(2)由(1)知,v=a+blog3eq\f(Q,10)=-1+log3eq\f(Q,10).要使飞行速度不低于2m/s,即v≥2,所以-1+log3eq\f(Q,10)≥2,即log3eq\f(Q,10)≥3,解得eq\f(Q,10)≥27,即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要270个单位.[B级知能提升]1.[2018·云南联考]某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示的是()答案A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快,故总产量迅速增长,图中符合这个规律的只有选项A;后三年产量保持不变,总产量直线上升.故选A.2.[2018·四川德阳诊断]将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过mmin甲桶中的水只有eq\f(a,4)L,则m的值为________.答案5解析∵5min后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=eq\f(1,2)a,可得n=eq\f(1,5)lneq\f(1,2),所以f(t)=a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(t,5)),设kmin后甲桶中的水只有eq\f(a,4)L,则f(k)=a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(k,5))=eq\f(a,4),所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(k,5))=eq\f(1,4),解得k=10,所以m=k-5=5(min).3.[2018·湖北八校联考]某人根据经验绘制了2018年春节前后,从2月1日至2月18日自己种植的西红柿的日销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人2月6日大约卖出了西红柿________千克.答案eq\f(190,9)解析前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10=k+b,,30=10k+b,))解得k=eq\f(20,9),b=eq\f(70,9),所以y=eq\f(20,9)x+eq\f(70,9),则当x=6时,y=eq\f(190,9).4.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解(1)作PQ⊥AF于Q,所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.又△EPQ∽△EDF,所以eq\f(EQ,PQ)=eq\f(EF,FD),即eq\f(x-4,8-y)=eq\f(4,2).所以y=-eq\f(1,2)x+10,定义域为{x|4≤x≤8}.(2)设矩形BNPM的面积为S平方米,则S(x)=xy=xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10-\f(x,2)))=-eq\f(1,2)(x-10)2+50,S(x)是关于x的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为x=10,所以当x∈[4,8]时,S(x)单调递增.所以当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,为48平方米.5.[2018·佛山模拟]某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x的函数关系式S=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x+\f(k,x-8)+50<x<6,,14x≥6,))已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.(1)求k的值;(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.解(1)由题意,得L=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+\f(k,x-8)+20<x<6,,11-xx≥6,))因为x=2时,L=3,所以3=2×2+eq\f(k,2-8)+2.解得k=18.(2)当0<x<
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