高考数学（理）培优增分一轮全国经典版增分练第2章函数导数及其应用2-9a

板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．现有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2t B．v＝logeq\s\do8(\f(1,2))tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2答案C解析取t＝1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得v＝logeq\s\do8(\f(1,2))2＝－1≠1.5；代入C，得v＝eq\f(22－1,2)＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5.故选C.2．[2018·安阳一模]某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A．7B．8C．9D．10答案C解析由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.3．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg2≈0.3010)()A．3B．4C．5D．6答案B解析设至少要洗x次，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，因此需4次．故选B.4．某地一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是()答案D解析当0<t<4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C；当4<t<8时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A，B，选D.5．[2017·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元答案B解析由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤800,0.14x－800，800<x≤4000，,0.11x，x>4000))显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.6．若某商场将彩电价格由原价2250(元/台)提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖________元．答案270解析由题意可得每台彩电比原价多卖2250×(1＋40%)×80%－2250＝270(元)．7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.答案20解析设矩形花园的宽为ym，则eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．8．[2018·金版创新]“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)答案eq\f(1,4)a2解析令t＝eq\r(A)(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.∴当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值．9．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解(1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1)．则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,10)).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,2))，eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(n,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(3,2))，eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．10．[2018·大连模拟]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).要使飞行速度不低于2m/s，即v≥2，所以－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得eq\f(Q,10)≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．[B级知能提升]1．[2018·云南联考]某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示的是()答案A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.2．[2018·四川德阳诊断]将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，则m的值为________．答案5解析∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝eq\f(1,2)a，可得n＝eq\f(1,5)lneq\f(1,2)，所以f(t)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(t,5))，设kmin后甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，则f(k)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(k,5))＝eq\f(a,4)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(k,5))＝eq\f(1,4)，解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．3．[2018·湖北八校联考]某人根据经验绘制了2018年春节前后，从2月1日至2月18日自己种植的西红柿的日销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人2月6日大约卖出了西红柿________千克．答案eq\f(190,9)解析前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，则当x＝6时，y＝eq\f(190,9).4．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．又△EPQ∽△EDF，所以eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，即eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2).所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．5．[2018·佛山模拟]某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(k,x－8)＋50<x<6，,14x≥6，))已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.(1)求k的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解(1)由题意，得L＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(k,x－8)＋20<x<6，,11－xx≥6，))因为x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋eq\f(k,2－8)＋2.解得k＝18.(2)当0<x<