1232角平分线的判定（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册（人教版）

角平分线的判定分层练习1．下列说法正确的个数有（

）（1）三角形的三条高交于一点；（2）三角形的一个外角等于两个内角的和；（3）有两边和一角分别相等的两个三角形全等；（4）到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（5）各边都相等的多边形一定是正多边形．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】根据三角形的高的概念，外角的性质，全等三角形的判定，正多边形的定义，角平分线的判定定理，正多边形的概念一一判断即可．【详解】解：（1）三角形的三条高所在的直线交于一点，原说法错误；（2）三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，原说法错误；（3）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，原说法错误；（4）在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，原说法错误；（5）各边都相等，各内角都相等的多边形一定是正多边形，原说法错误；正确的说法有0个，故选：A．【点睛】本题考查正多边形，全等三角形的判定，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度．【详解】解：∵，，，∴平分，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．3．如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出为的外角平分线，然后列式计算求出，即可判断D选项．【详解】解：，，，故A选项正确，不符合题意；平分，，在中，，，故B选项错误，符合题意；平分，，在中，，故C选项正确，不符合题意；、分别是和的平分线，到、、的距离相等，是的外角平分线，，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．4．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等C．角平分线的性质D．角平分线是轴对称图形【答案】A【分析】根据角平分线的判定定理进行解答即可．【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同，∴点P到射线、的距离相等，∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，∴点P在的平分线上，∴平分，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．5．如图，在中，，平分，于，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据角平分线的性质得出结论：；②证明，得平分；③由四边形的内角和为得，再由平角的定义可得结论是正确的；④由得，再由，得出结论是正确的．【详解】解：①，平分，，；所以此选项结论正确；②，，，，，平分，所以此选项结论正确；③，，，，所以此选项结论正确；④，，，，所以此选项结论正确；本题正确的结论有4个，故选D．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．6．如图，在中，平分于，下列结论：①；②；③；④；⑤，

其中正确的个数为（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】根据角平分线的性质，可得，证得，可得；由等角的余角相等，可证得；然后由的度数不确定，可得不一定等于；又由，和的高相等，所以：：．【详解】解：①正确，在中，，平分，于，；②正确，在与中，，所以，即；③正确，因为和都与互余，根据同角的余角相等，所以；④错误，因为的度数不确定，故不一定等于；⑤错误，因为，和的高相等，所以：：．故正确的个数为个故选：C．【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．7．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则可供选择的位置有（

）A．一处 B．三处 C．四处 D．无数处【答案】C【分析】要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．则可供选择的位置有四处．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．8．如图，在四边形中，，，的平分线与的平分线相交于点，且点在线段上，．

(1)求的度数；(2)试说明．【答案】(1)(2)详见解析【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答；（2）过点作于点，再根据角平分线的性质定理即可证明．【详解】（1）∵，∴．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴．（2）如图．过点作于点．

∵平分，，，∴．∵平分，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．

1．如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（

）

A．的值不变 B．C．的长不变 D．四边形的面积不变【答案】C【分析】如图作于E，于F，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；M，N的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误．【详解】解：如图作于E，于F．

∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，∴定值，故D正确，∵，故A正确，∵M，N的位置变化，∴的长度是变化的，故C错误．∵，∴，∵与互补，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴∴，故B正确，故选：C【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．2．如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列说法中正确的有（

）个.

（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）四边形的面积是面积的一半A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据角平分线的性质、三角形的面积公式和全等三角形的判定与性质依次分析判断即可．【详解】解：∵、分别是和的高，∴，∵平分，∴，故（2）正确；∴，又∵，∴，即，故（3）正确∵，∴，∴，∴垂直平分，但由于不一定是直角，则条件不足以判定垂直平分，故（1）不一定成立；∵，，∵不一定等于，故（4）不一定成立；故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式和全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记相关概念与性质，正确分析推理．3．如图，已知，，是的角平分线，且交于点P．

(1)______．(2)求证：点P在的平分线上．(3)求证：．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由，是的角平分线，得到，，根据三角形内角和即可得到结论；（2）过作，，，由，分别平分，，得到，，等量代换得到，于是得到结论；（3）在上取点使，连接通过，得到，求得，，得到，由是的角平分线，得到，证得，即可得到结论．【详解】（1）解：证明：，，是的角平分线，，，，；（2）如图，过作，，，，分别平分，，，，，点在的平分线上；

（3）如图，在上取点使，连接，

是的平分线，，在与中，，，，，，，是的角平分线，，在与中，，，，．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．1．如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接．

(1)求证：；(2)用表示的大小；(3)求证：平分．【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析．【分析】（1）用证明，根据全等三角形的性质，即可得证；（2）根据三角形外角的性质得，再由可得，即可得到结论；