四边形-浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编（解析版）

三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）

专题11四边形

选择题（共10小题）

1.（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多

的菱形.如图2,用2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是（）

图1§2

A.用3个相同的菱形放置,最多能得到6个菱形

B.用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形

C.用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D.用6个相同的菱形放置,最多能得到41个菱形

【分析】根据题意画出图形,从图形中找到出现的菱形的个数即可.

入【详解】解：如图所示，

用2个相同的菱形放置,最多能得到3个菱形;

用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形,

用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形,

故选：B.

2.（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，NB=60°,点P从点B出发，沿折线-CD方向移动，移动到

点。停止.在△A8P形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A.直角三角形一等边三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形

C.直角三角形〜等边三角形分直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

【分析】把点尸从点8出发，沿折线8C-CO方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可。

【详解】解：•••/8=60°,故菱形由两个等边三角形组合而成，

当AP1BC时，此时△ABP为等腰三角形；

当点P到达点C处时，此时aABP为等边三角形；

当点P在CD上且位于AB的中垂线时，则△A8P为等腰三角形；

当点P与点。重合时，此时△A8P为等腰三角形，

故选：C.

3.（2020•湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时，其形状也会

随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形A8C£＞变为菱形ABC'D'.若NO'48=30°,

则菱形A8C'D'的面积与正方形A8co的面积之比是（）

B

【分析】根据30°角所对的直角边等于斜动的一半可知菱形ABC'D'的高等于AB的一半，再根据正

方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解.

【详解】解：根据题意可知菱形ABC'D'的高等于48的一半，

，菱形A8C'D'的面积为一人声，正方形A8C。的面积为

2

菱形ABC'D'的面积与正方形A8C。的面积之比是L

2

故选：B.

4.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形.下列推

理过程正确的是（）

A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②

【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断.

【详解】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，

故①一②，①一③错误，

故选项8,C,。错误，

故选：A.

5.（2020•温州）如图，在aABC中，ZA=40°,AB=AC,点。在AC边上，以CB,C£＞为边作团BCQE,

则/E的度数为（）

【分析】根据等腰三角形的性质可求/C,再根据平行四边形的性质可求/£

【详解】解：•.,在aABC中，ZA=40°,AB=AC,

：.ZC=（180°-40°）+2=70°,

•••四边形8CAE是平行四边形，

:.NE=70°.

故选：D.

6.（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副

中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，

则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）

D.2和2

【分析】根据要求拼平行四边形矩形即可.

【详解】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2,如图所示:

用中国的七巧板拼日本七巧板的拼法

故选：D.

7.（2019•绍兴）正方形48CD的边48上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点。.在点E

从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）

A.先变大后变小B.先变小后变大

C.一直变大D.保持不变

【分析】连接QE,△（7£）£的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形A8CQ的一半，则矩形与正方形面

积相等.

【详解】解：连接OE,

:S&CDE=qS四边形CEGF，

C_1cJE_k.B

MCDE一令正方形ABCD'

二矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等.

故选：D.

8.（2019•台州）如图，有两张矩形纸片ABCC和EFGH,AB=EF=2an,BCJ=FG=Scm.把纸片ABCD

交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点方与点G重合.当两张纸片交叉所成的角a

最小时，tana等于（）

F------

C

1188

421715

【分析】由“ASA”可证可证MO=DN,即可证四边形ONKM是菱形，当点B与点、E

1c

重合时，两张纸片交叉所成的角。最小，可求CM=竽，即可求tana的值.

ZADC=ZHDF=90°

：.ZCDM=ZNDH,且CD=OH,N”=NC=90°

/XCDM^^HDN(ASA)

\MD=ND,且四边形。NKM是平行四边形

••四边形DNKM是菱形

：.KM=DM

CD

'/sina=sinZDMC=

：.当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小,

设MD=a=BM,则CM=8-a.

'：MD2=CD1+MC2,

.".a2=4+(8-a)2,

tana=tanZDMC==盘

故选：D.

9.（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为

（）

A.IB.V2C.V3D.2

【分析】根据正六边形的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原

来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可;

【详解】解：边长为2的正六边形山6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸

带宽度，

所以原来的纸带宽度=坐X2=V3.

故选：C.

10.（2019•金华）如图，矩形A8C。的对角线交于点。已知A8=〃7,NBAC=Na,则下列结论错误的是

()

D

BC

A.ZBDC=ZaB.仁〃…C.A0=两族D.BD^—

【分析】根据矩形的性质得出/A8C=NOC8=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,AB=DC,再解直

角三角形求出即可.

【详解】解：A、二•四边形ABC。是矩形，

AZABC=ZDCB=90°,AC=BD,AO^CO,BO=DO,

：.AO=OB^CO-=DO,

:.NDBC=NACB,

由三角形内角和定理得：NBAC=/BQC=Na,故本选项不符合题意；

RC

B、在RtZVIBC中，tana=—,

即BC=n?*tana,故本选项不符合题意；

C、在Rt^ABC中，AC=-^~,即A0=焉;，故本选项符合题意；

VL/o（XMvC/OLv

。、：四边形A5CD是矩形，

:.DC=AB=m,

•：NBAC=NBDC=a,

・••在RtZ\QC8中，BD二岛,故本选项不符合题意；

故选：C.

二.填空题（共13小题）

11.（2021•丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°,则原多边形的边数是」

或7.

【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少1,即可确定原

多边形的边数.

【详解】解：设内角和为720°的多边形的边数是"，贝IJ（n-2）.180=720,

解得：n=6.

•••多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1,

原多边形的边数为6或7,

故答案为：6或7.

12.（2021•湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A,

B,C,D,E是正五角星的五个顶点），则图中/A的度数是度.

【分析】正五角星中，五边形尸GHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得

NANF=12°,然后根据三角形的内角和定理可求得NA的度数.

•••正五角星中，五边形FGHMN是正五边形,

：.ZGFN=NFNM=（5-2）180。=]08»,

ZAFN=ZANF=\S00-NGFN=180°-108°=72°,

AZA=180o-NAFN-NANF=180°-72°-72°=36°.

故答案是：36.

13.（2021•嘉兴）如图，在E1ABCZ）中，对角线AC,30交于点O,ABLAC,A"_L3O于点“，若A3=2,

2

BC=2V3,则AH的长为——

【分析】在RtA48C和RKO48中，分别利用勾股定理可求出8C和08的长，又A”J_O8,可利用等

面积法求出AH的长.

【详解】解：如图，

VAB1AC,A2=2,BC=2®

：.AC=收+(2百产=2鱼,

在团ABC。中，OA=OC,OB=OD,

：.OA=OC=V2,

在RtAO4B中，

0B=J22+(V2)2=V6,

又AH_L8。，

：±OB*AH=iOA-AB,即工x&.4H=工x2x正，

2222

解得AH=竽.

273

故答案为：一［.

14.(2021•金华)如图，菱形ABCQ的边长为6a",ZBAD=60°,将该菱形沿AC方向平移26加得到

四边形A'B'CD',A'D'交CD于点E,则点E到AC的距离为2cm.

【分析】连接82过点E作EFLAC于点F,根据菱形的性质可以证明三角形是等边三角形，根据平

4ECAfAfE4V3

移的性质可得AO〃A'E可得"777=-；7v=7"方，解得A'E=4(o〃),再利用30度角所对直角边等于斜

ADAC66V3

边的一半即可求出结论。

【详解】解：如图，连接过点E作EELAC于点E

•••四边形ABCO是菱形,

：.AD=AB.BD±AC.

VZBAD=60°,

三角形ABD是等边三角形,

,菱形ABCD的边长为6cm,

/.AD=AB=BD=6cm,

；.AG=GC=38(a”)，

.*.AC=6V3(c/n),

VA4,=2V5(CM,

：.A'C=4V3(cm),

'：AD//A'E,

.A>ECAi

''~AD-~AC'

.AtE4V3

=布’

.♦.4'£=4(cm),

ZEA1F=ZDAC=1^DAB=30°,

：.EF=^A'E=2(cm).

故答案为：2.

15.(2021•绍兴)图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形A8CO的对角线8。

上，时钟中心在矩形ABCQ对角线的交点。上.若AB=3(kro,则BC长为30ga”(结果保留根

号).

【分析】根据题意即可求得/FO〃=2/OOE,即可求得/。OE=30°,由矩形的性质结合平行线的性

质可求得/。8c=30°,利用含30°角的直角三角形的性质可求解.

【详解】解：过。点作OELCD,OFYAD,垂足分别为E,F,

由题意知/FOD=2NOOE,

/.Z£)OE=30°,/f00=60°,

在矩形ABC£>中，ZC=90°,CD=AB=30cm,

：.OE//BC,

.../O8C=/OOE=30°,

:.BC=辰D=30V3CT7?,

故答案为30H.

16.（2021•宁波）如图，在矩形A8CZ）中，点E在边48上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的

对称点尸在边AO上，G为CO中点，连结BG分别与CE,CF交于M,N两点.若BM=BE,MG=1,

则BN的长为2,sin/AFE的值为&-1.

【分析】连接8凡FM,由翻折及8M=ME可得四边形8EFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得8N

CGGN

=84.先证明△AEF丝尸得AE=NM,再证明△FMNs/\CGN可得——=——，进而求解.

FMNM

【详解】解：・.・8M=8£：,

:.NBEM=NBME,

♦：AB//CD,

：.NBEM=NGCM,

又*：/BME=NGMC,

：・4GCM=4GMC,

:.MG=GC=1,

YG为CD中点,

:.CD=AB=2.

连接BF,FM,

由翻折可得N/EWnNBEM,BE=EF,

:.BM=EF,

■:/BEM=/BME,

，NFEM=NBME,

J.EF//BM,

・・・四边形BEFM为平行四边形，

♦；BM=BE,

・•・四边形BEFM为菱形,

VZEBC=ZEFC=90°,EF//BG,

：.ZBNF=90°,

:.FA=FN,

：.Rt/\ABF^Rt/^NBF（HL）f

:.BN=AB=2.

*：FE=FM、FA=FN,/A=NBNF=92°,

:.RtAAEF/RtANMF（HL）,

:.AE=NM,

设AE=NM=x,

则BE=FM=2-x,NG=MG-NM=1-x,

,:FMIIGC、

:・/\FMNs丛CGN,

.CG_GN

IM-NM'

1l-X

即^—=—,

2-xX

解得x=2+&（舍）或x=2-V2,

:・EF=BE=2-x=V2,

../AE2-g/x[

..sinZA4r£r.=户=—?=—=V2—1.

EFV2

故答案为：2；V2—1.

17.（2020•绍兴）将两条邻边长分别为近，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法

剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的①②③④（填序号）.

®V2,②1,®V2-1,@y,⑤6.

【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解.

【详解】解：如图所示：

则其中一个等腰三角形的腰长可以是①位，②1,③近一1,④与，不可以是VI

故答案为：①②③④.

18.（2020•绍兴）如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按

图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为」花_.

图1图2

【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角

形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算

即可.

【详解】解：由题意可得，

直角三角形的斜边长为3,一条直角边长为2,

故直角三角形的另一条直角边长为：仔二方=遍，

2xV5^.—

故阴影部分的面积是：一工x4=4收，

2

故答案为：4V5.

19.（2020•金华）如图，平移图形M,与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中a的度数是30°.

【分析】根据平行四边形的性质解答即可.

【详解】解：•••四边形A8CQ是平行四边形,

AZD+ZC=180°,

；.Na=180°-(540°-70°-140°-180°)=30°，

故答案为：30.

20.（2020•嘉兴）如图，13ABe。的对角线AC,相交于点。，请添加一个条件：4£>=£>C（答案不唯

一），使团ABC。是菱形.

【分析】根据菱形的定义得出答案即可.

【详解】解：•.•邻边相等的平行四边形是菱形，

当AD=DC,^ABCD为菱形；

故答案为：AD=DC（答案不唯一）.

21.（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABC£>,ZPAD=30°,以点B为圆心，AB长为半

径作弧，与AP交于点4,M,分别以点A,M为圆心，4M长为半径作弧，两弧交于点E,连接则

ZADE的度数为15°或45°.

B

D

（分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况,

根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答.

【详解】解：：四边形ABC。是正方形，

：.AD=AE,ZDAE=90a,

.".ZBAM=180°-90°-30°=60°,AD=AB,

当点E与正方形A8CD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点8重合，

/A£>E=45°,

当点E与正方形ABC。的直线AP的两侧时，由题意得，E'A=E'M,

.•.△AE'M为等边三角形，

AZE'AM=60°,

:./DAE'=360°-120°-90°=150°,

'：AD=AE',

ZADE'=15°,

22.（2019•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABC。分割成如图的四块，其中点。为正方形的中心，点E,F

分别为A8,A。的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNP。（要求这四块纸片不重叠

无缝隙）.则四边形MNPQ的周长是6隙夜或10或8+2遮.

【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解.

【详解】解：如图所示：

图1图2图3

图1的周长为1+2+3+2V2=6+272；

图2的周长为1+4+1+4=10；

图3的周长为3+5+V2+V2=8+272.

故四边形MNPQ的周长是6+2位或10或8+2V2.

故答案为：6+2企或10或8+2VI.

23.（2019•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知NAO3=/AOE=90°,菱形的较短

对角线长为2cm.若点C落在AH的延长线上，则aABE的周长为（12+8夜）cm.

【分析】连接/C,连接CH交0/于K,则A,H,C在同一直线上，。=2,根据△COH是等腰直角三

角形，即可得到NCKO=90°,即CK_L/O,设CK=OK=x,则CO=/O=血，/K=VIx-x,根据勾股

定理即可得出7=2+a,再根据S娶彩Bca=/OXCK=，CX8O,即可得出3。=2&+2,进而得到^

A8E的周长.

【详解】解：如图所示，连接/C,连接CH交0/于K,则A,H,C在同一直线上，CI=2,

•••三个菱形全等，

：.CO=HO,/AOH=NBOC,

又ZAOB=/AO"+NBOH=90°,

：.ZCOH=Z8OC+ZBOH=90a,

即△COH是等腰直角三角形，

二ZHCO=ZCH<9=45°=NHOG=NCOK,

：.ZCKO=90Q,即CALL/O,

设CK=OK=x,贝ijCO=IO=V2x,IK=y/2x-x,

'：RtZXC/K中，(岳-x)2+7=22,

解得了=2+四，

XVS菱形BCO/=/OXCK=1/CXBO,

.,.V2.r=1x2XBO,

:.BO=2近+2,

:.BE=2BO=4a+4,AB=AE=&O=4+2a,

的周长=4&+4+2(4+2V2)=12+8痘,

故答案为：12+8&.

24.（2021•绍兴）问题：如图，在中，AB=8,AD=5,NDAB,/ABC的平分线AE,8尸分别与

直线8交于点E,F,求EF的长.

答案：EF=2.

探究：（1）把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变.

①当点E与点尸重合时，求A8的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长.

（2）把“问题”中的条件“AB=8,A£>=5”去掉，其余条件不变，当点C,D,E,尸相邻两点间的距

【分析】（1）①证NOE4=/D4£,得OE=A£>=5,同理8C=CF=5,即可求解;

②由题意得。E=QC=5,再由CF=8C=5,即可求解；

（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C,D,E,F相邻两点间的距离相等，分别求解即可.

【详解】解：（1）①如图1所示：

图1

•/四边形ABCD是平行四边形，

,CO=A8=8,BC=AD=5,AB//CD,

：.ZDEA=ZBAE,

平分/ZMB,

：.ZDAE^ZBAE,

：.ZDEA^^DAE,

：.DE=AD=5,

同理：BC=CF=5,

:点E与点F重合，

：.AB=CD=DE+CF=10；

②如图2所示：

•点E与点C重合,

：.DE=DC^5,

\'CF=BC=5,

...点尸与点。重合,

；.EF=DC=5；

（2）分三种情况:

①如图3所示：

图3

同(1)得：AD^DE,

•.•点C,D,E,F相邻两点间的距离相等,

：.AD=DE=EF=CF,

.AD1

"AB~3：

②如图4所示：

图4

同（1）得：AD=DE=CF,

'：DF=FE=CE,

.AD2

••-=一;

AB3

同（1）得：AD=DE=CF,

•:DF=DC=CE,

综上所述，豢勺值智或|或工

25.(2020•绍兴)如图，点E是团A8CO的边CO的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点尸.

(1)若AO的长为2,求CF的长.

(2)若NBA尸=90°,试添加一个条件，并写出NF的度数.

D

【分析】（1）由平行四边形的性质得出A力〃CF,则/D4E=/CFE,ZADE^ZFCE,由点E是C£>的

中点，得出QE=CE,由AAS证得△4OE也△FCE,即可得出结果；

（2）添加一个条件当N8=60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）.

【详解】解：（1）•••四边形A8C。是平行四边形，

J.AD//CF,

二NDAE=NCFE,/ADE=/FCE,

•.,点E是C/）的中点，

：.DE=CE,

"ZDAE=/CFE

在△ADE和△FCE中，•乙4DE=Z.FCE，

、DE=CE

:./XADE@/XFCE（A4S）,

；.CF=A£>=2；

（2）VZBAF=90°,

添加一个条件：当NB=60°时，ZF=90°-60°=30°（答案不唯一）.

26.（2019•舟山）如图，在矩形ABCO中，点E,F在对角线BD请添加一个条件，使得结论"AE=C尸'

成立，并加以证明.

【分析】根据S4S即可证明△ABE丝△CO尸可得AE=CF.

【详解】解：添加的条件是BE=O尸（答案不唯一）.

证明：•.•四边形A8CC是矩形，

J.A