太原市2025届九上数学开学考试试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共3页太原市2025届九上数学开学考试试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列根式是最简二次根式的是（）A．12 B．0.3 C．3 D．2、（4分）某同学在体育备考训练期间，参加了七次测试，成绩依次为（单位：分）51，53，56，53，56，58，56，这组数据的众数、中位数分别是（）A．53，53 B．53，56 C．56，53 D．56，563、（4分）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量如下表：甲01202乙21011关于以上数据的平均数、中位数、众数和方差，说法不正确的是()A．甲、乙的平均数相等 B．甲、乙的众数相等C．甲、乙的中位数相等 D．甲的方差大于乙的方差4、（4分）一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，它的图象是（）A． B． C． D．5、（4分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为()A．54° B．64° C．74° D．26°6、（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DG，则A′G的长是()A．1 B． C． D．27、（4分）已知不等式组的解集是x≥2，则a的取值范围是()A．a＜2 B．a＝2 C．a＞2 D．a≤28、（4分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）将一元二次方程化成一般式后，其一次项系数是______.10、（4分）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，...，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、An，在x轴上，点B1、B2、…Bn在直线y=x上，已知OA1=1，则OA2019的长是_____.11、（4分）化简3﹣2＝_____．12、（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是的边AB，BC边的中点若，，则线段EF的长为______．13、（4分）3-1×三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知一次函数的图象经过（2，5）和（﹣1，﹣1）两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）在给定的直角坐标系xOy中画出这个一次函数的图象，并指出当x增大时，y如何变化？15、（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．（1）求∠EDF=（填度数）；（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．16、（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点C在第一象限，BC与x轴平行．已知BC=2，△ABC的面积为1．（1）求点C的坐标．（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，△ABC旋转到△A1B1C的位置，求经过点B1的反比例函数关系式．17、（10分）已知一次函数的图象经过点与点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点和点在此一次函数的图象上，比较，的大小.18、（10分）已知关于的方程.（1）求证：无论取何值时，方程总有实数根；（2）给取一个适当的值，使方程的两个根相等，并求出此时的两个根.B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）计算的倒数是_____．20、（4分）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上，过点分别作轴于点，轴于点．若矩形的面积为，则点的坐标为______．21、（4分）如图所示，将直角三角形ACB,∠C=90°,AC=6,沿CB方向平移得直角三角形DEF,BF=2，DG=3,阴影部分面积为_____________.22、（4分）对于实数，，，表示，两数中较小的数，如，．若关于的函数，的图象关于直线对称，则的取值范围是__，对应的值是__．23、（4分）在直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边，…，则等边的边长是______.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）先化简再求值：，其中a=-2。25、（10分）已知如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长，与BC的延长线相交于点F．求证：AE＝FE．26、（12分）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道(一纵一横)和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示．设步道的宽为a(m)．（1）求步道的宽.（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．己知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】

根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可.【详解】A、12B、0.3=C、3是最简二次根式，故此选项正确；D、12=23故选：C.此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件.2、D【解析】

根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】解：将数据重新排列为51，53，53，56，56，56，58，所以这组数据的中位数为56，众数为56，故选：D．本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．3、B【解析】

根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数；s2=进行计算即可．【详解】解：A、甲的平均数为1，乙的平均数为1，故原题说法正确；B、甲的众数为0和2，乙的众数为1，故原题说法不正确；

C、甲的中位数为1，乙的中位数为1，故原题说法正确；

D、甲的方差为，乙的方差为，甲的方差大于乙的方差，故原题说法正确；

故选B．本题考查众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式．4、C【解析】试题解析：根据题意，有k＞0，b＜0，则其图象过一、三、四象限；故选C．5、B【解析】

根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO(ASA)，∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝26°，∴∠BCA＝∠DAC＝26°，∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．故选B．本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．6、C【解析】

由在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，由折叠的性质，即可求得A′B的长，然后设A′G=x，由勾股定理即可得：x2+4=（4-x）2，解此方程即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∴由折叠的性质,可得：A′D=AD=3,A′G=AG,∴A′B=BD−A′D=5−3=2，设A′G=x，则AG=x，BG=AB−AG=4−x，在Rt△A′BG中,∴解得：∴故选:C.考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.7、B【解析】

解不等式①可得出x≥，结合不等式组的解集为x≥1即可得出a=1，由此即可得出结论．【详解】，∵解不等式①得：x≥，又∵不等式组的解集是x≥1，∴a=1．故选B．本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键．8、B【解析】如图，过点P作PC垂直AO于点C，PD垂直BO于点D,根据角平分线的性质可得PC=PD，因∠AOB与∠MPN互补，可得∠MPN=∠CPD,即可得∠MPC=∠DPN，即可判定△CMP≌△NDP，所以PM=PN，（1）正确；由△CMP≌△NDP可得CM=CN，所以OM+ON=2OC，（2）正确；四边形PMON的面积等于四边形PCOD的面积，（3）正确；连结CD，因PC=PD，PM=PN，∠MPN=∠CPD，PM>PC，可得CD≠MN，所以（4）错误，故选B.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、-7【解析】

根据完全平方公式进行化简即可求解.【详解】由得x2-7x-3=0∴其一次项系数是-7.此题主要考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟知完全平方公式.10、1【解析】

根据一次函数的性质可得∠B1OA1=45°，然后求出△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半求出OA3，同理求出OA4，然后根据变化规律写出即可．【详解】解：∵直线为y=x，∴∠B1OA1=45°，∵△A2B2A3，∴B2A2⊥x轴，∠B2A3A2=45°，∴△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，∴OA3=2A2B2=2OA2=2×2=4，同理可求OA4=2OA3=2×4=23，…，所以，OA2019=1．故答案为：1.本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，熟记性质并确定出等腰直角三角形是解题的关键．11、【解析】

直接合并同类二次根式即可．【详解】原式＝（3﹣2）＝．故答案为．本题考查的是二次根式的加减法，即二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．12、3【解析】

由菱形性质得AC⊥BD,BO=,AO=,由勾股定理得AO=,由中位线性质得EF=.【详解】因为，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，所以，AC⊥BD,BO=,AO=,所以，AO=,所以，AC=2AO=6,又因为E，F分别是的边AB，BC边的中点所以，EF=.故答案为3本题考核知识点：菱形，勾股定理，三角形中位线.解题关键点：根据勾股定理求出线段长度，再根据三角形中位线求出结果.13、3【解析】原式=13三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、y=2x+1；y随着x的增大而增大.【解析】

（1）设一次函数解析式为y=kx+b，将已知两点坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；（2）做出函数图象，如图所示，根据增减性即可得到结果．【详解】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，将（2，5）与（﹣1，﹣1）代入得，解得：k=2，b=1，则一次函数解析式为y=2x+1；（2）如图所示，y随着x的增大而增大．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的图象，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15、(1)45°；(2)GF=AG+CF，证明见解析；(3)①1；②，理由见解析.【解析】

（1）如图1中，连接BE．利用全等三角形的性质证明EB=ED，再利用等角对等边证明EB=EF即可解决问题．（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，证明△GDH≌△GDF（SAS）即可解决问题．（3）①设CF=x，则AH=x，BF=1-x，GF=3+x，利用勾股定理构建方程求出x即可．②设正方形边长为x，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，连接BE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，∵EC=EC，∴△ECB≌△ECD（SAS），∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，∵∠DEF=∠DCF=90°，∴∠EFC+∠EDC=180°，∵∠EFB+∠EFC=180°，∴∠EFB=∠EDC，∴∠EBF=∠EFB，∴EB=EF，∴DE=EF，∵∠DEF=90°，∴∠EDF=45°故答案为45°．（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，∴∠CDF=∠ADH，DF=DH，CF=AH，∠DAH=∠DCF=90°，∵∠DAC=90°，∴∠DAC+∠DAH=180°，∴H、A、G三点共线，∴GH=AG+AH=AG+CF，∵∠EDF=45°，∴∠CDF+∠ADG=45°，∴∠ADH+∠ADG=45°∴∠GDH=∠EDF=45°又∵DG=DG∴△GDH≌△GDF（SAS）∴GH=GF，∴GF=AG+CF．（3）①设CF=x，则AH=x，BF=1-x，GF=3+x，则有（3+x）2=（1-x）2+32，解得x=2∴S△BFG=•BF•BG=1．②设正方形边长为x，∵AG=a，CF=b，∴BF=x-b，BG=x-a，GF=a+b，则有（x-a）2+（x-b）2=（a+b）2，化简得到：x2-ax-bx=ab，∴S=（x-a）（x-b）=（x2-ax-bx+ab）=×2ab=ab．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．16、（1）C（2，1）；（2）经过点B1的反比例函数为y=．【解析】

（1）过点C作CD⊥x轴于点D，BC与x轴平行可知CD⊥BC，即可求出CD的长，进而得出C点坐标；（2）由图形旋转的性质得出CB1的长，进而可得出B1的坐标，设经过点B1（2，3）的反比例函数为，把B1的坐标代入即可得出k的值，从而得出反比例函数的解析式．【详解】解：（1）作CD⊥x轴于D．

∵BC与x轴平行，∴S△ABC=BC•CD，∵BC=2，S△ABC=1，∴CD=1，∴C（2，1）；（2）∵由旋转的性质可知CB1=CB=2，∴B1（2，3）．

设经过点B1（2，3）的反比例函数为，∴3=，

解得k=6，∴经过点B1的反比例函数为y=．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到图形旋转的性质及三角形的面积公式、用待定系数法求反比例函数的解析式，涉及面较广，难度适中．17、(1)y=2x-1；（2）m<n．【解析】

（1）设一次函数解析式为y=kx+b，将已知两点坐标代入得到方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）利用一次函数图象的增减性进行解答．【详解】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（3，5）与（-4，-9），∴，解得，∴这个函数的解析式为y=2x-1；（2）∵k=2>0，∴y随x的增大而增大．∵a＜a+1，∴m<n．本题考查待定系数法求一次函数解析式，属于比较基础的题，注意待定系数法的掌握，待定系数法是中学数学一种很重要的解题方法．18、（1）详见解析；（2）【解析】

（1）先根据根的判别式求出△，再判断即可；（2）把代入方程，求出方程的解即可．【详解】（1）∵∴无论取何值时，方程总有实数根；（2）当即时，方程的两根相等，此时方程为解得本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】

求出tan30°，根据倒数的概念计算即可．【详解】，，则的倒数是，故答案为：．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．20、（，1）或（，3）【解析】

由点P在一次函数y＝﹣2x+4的图象上，可设P（x，﹣2x+4），由矩形OCPD的面积是可求解．【详解】解：∵点P在一次函数y＝﹣2x+4的图象上，∴设P（x，﹣2x+4），∴x（﹣2x+4）＝，解得：x1＝，x2＝，∴P（，1）或（，3）．故答案是：（，1）或（，3）本题运用了一次函数的点的特征的知识点，关键是运用了数形结合的数学思想．21、1【解析】

根据平移的性质，对应点间的距离等于平移的距离求出CE=BF，再求出GE，然后根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ABC的面积等于△DEF的面积，从而得到阴影部分的面积等于梯形ACEG的面积，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．【详解】∵△ACB平移得到△DEF，∴CE=BF=2，DE=AC=6，∴GE=DE-DG=6-3=3，由平移的性质，S△ABC=S△DEF，∴阴影部分的面积=S梯形ACEG=12（GE+AC）•CE=12（3+6）故答案为：1．本题考查了平移的性质，熟练掌握性质并求出阴影部分的面积等于梯形ACEG的面积是本题的难点，也是解题的关键．22、或，6或3.【解析】

先根据函数可知此函数的对称轴为y轴,由于函数关于直线x=3对称,所以数，的图象即为的图象,据此解答即可【详解】设，①当与关于对称时，可得，②在，中，与没重合部分，即无论为何值，即恒小于等于，那么由于对对称，也即对于对称，得，．综上所述，或，对应的值为6或3故答案为或，6或3此题考查函数的最值及其几何意义，解题关键在于分情况讨论23、【解析】

先从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可；【详解】∵直线l：y=x-与x轴交于点B1

∴B1（1，0），OB1=1，△OA1B1的边长为1；

∵直线y=x-与x轴的夹角为30°，∠A1B1O=60°，

∴∠A1B1B2=90°，

∵∠A1B2B1=30°，

∴A1B2=2A1B1=2，△A2B3A3的边长是2，

同法可得：A2B3=4，△A2B3A3的边长是22；

由此可得，△AnBn+1An+1的边长是2n，

∴△A2018B2019A2019的边长是1．

故答案为1．考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解