2025届平顶山市重点中学数学高二上期末综合测试模拟试题含解析

2025届平顶山市重点中学数学高二上期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）A. B.C. D.2．设集合，集合，当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为（）A.或 B.或C.或 D.或3．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.2 B.3C.4 D.54．已知函数（是的导函数），则（）A.21 B.20C.16 D.115．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A.4 B.C. D.96．函数，若实数是函数的零点，且，则（）A. B.C. D.无法确定7．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（）A. B.C. D.8．已知等比数列满足，则q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－39．若椭圆的短轴为,一个焦点为,且为等边三角形的椭圆的离心率是A. B.C. D.10．在正三棱锥中，，且，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）A. B.C. D.11．已知数列满足，，令，若对于任意不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A. B.C. D.12．椭圆的焦点坐标为（）A.和 B.和C.和 D.和二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的渐近线方程为，，分别为C的左，右焦点，若动点P在C的右支上，则的最小值是______14．过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则_________.15．已知直线和直线垂直，则实数___________.16．抛物线的准线方程为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，与轴垂直，且（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上，且，求的面积18．（12分）已知等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.19．（12分）计算：（1）求函数（a，b为正常数）的导数（2）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围20．（12分）【2018年新课标I卷文】已知函数（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，21．（12分）已知函数（1）求在点处的切线方程（2）求直线与曲线围成的封闭图形的面积22．（10分）已知圆，直线（1）当直线与圆相交，求的取值范围；（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，得，所以，点，易知点、，，，因为，则，得，可得，则，点到右准线的距离为为，则，，因此，椭圆的方程为.故选：A.2、B【解析】由已知得集合M表示以点圆心，以2半径左半圆，与y轴的交点为，集合N表示以点为圆心，以r为半径的圆，当圆C与圆O相外切于点P，有且仅有一个元素时，圆C过点M时，有且有两个元素，当圆C过点N，有且仅有一个元素，由此可求得r的取值范围.【详解】解：由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，集合表示以点为圆心，以r为半径的圆，如下图所示，当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时，当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以，当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以，所以当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为或，故选：B.3、C【解析】作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.【详解】解：作出不等式组对应的可行域为如图所示的阴影部分区域，由得，它表示斜率为纵截距为的直线系，当直线平移到点时，纵截距最大，最大.联立直线方程得得.所以.故选：C4、B【解析】根据已知求出，即得解.【详解】解：由题得，所以.故选：B5、C【解析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值【详解】因为各项均为正数的等比数列满足，可得，即解得或（舍去）∵，，∴=当且仅当，即m=2,n=4时，等号成立故的最小值等于.故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的技巧，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如，再把常数6代换成已知中的m+n,即.常量代换是基本不等式里常用的一个技巧，可以优化解题，提高解题效率.6、A【解析】利用函数在递减求解.【详解】因为函数在递减，又实数是函数的零点，即，又因为，所以，故选：A7、A【解析】由椭圆方程可求得坐标，由此求得抛物线方程；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，根据可得，由此构造方程求得，根据直线过定点的求法可求得定点.【详解】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，，解得：，则抛物线的方程为，由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，即，设，，则，，，，，解得：或；又与坐标原点不重合，，，当时，，直线恒过定点.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.8、C【解析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.【详解】因为，故可得；解得.故选：C.9、B【解析】因为为等边三角形,所以.考点：椭圆的几何性质.点评：椭圆图形当中有一个特征三角形，它的三边分别为a,b,c.因而可据此求出离心率.10、B【解析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，所以,因为M，N分别为BC，AD的中点，所以，所以，设直线AM和CN所成的角为，则,所以直线AM和CN夹角的余弦值为，故选：B11、D【解析】根据递推关系，利用裂项相消法，累加法求出，可得，原不等式转化为恒成立求解即可.【详解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，对于任意不等式恒成立，则，解得.故选：D12、D【解析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标.【详解】，可得焦点坐标为和.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先根据双曲线的渐近线方程和焦点坐标，求出双曲线的标准方程；设，根据双曲线的定义可知，从而利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，所以，即，所以双曲线方程为.设，则，且，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.14、2【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，由可求.【详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，设，，则，∴，∴.故答案为：2.15、【解析】根据两条直线相互垂直的条件列方程，解方程求得m的值.【详解】由于两条直线垂直，故，解得.故答案为：.16、【解析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程【详解】由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由椭圆的性质求出，进而得出方程；（2）由，结合余弦定理求出，再由面积公式得出三角形的面积.【详解】解：（1），与轴垂直，，∴∴椭圆的方程为（2）由（1）知，∵，∴∴，∴的面积为【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于利用余弦定理结合完全平方和公式求出，进而得出面积.18、（1）；（2）.【解析】（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，所以数列的前n项和.19、（1）（2）【解析】（1）根据导数的运算法则，结合复合函数的求导法则，可得答案;（2）求出函数的导数，结合基本不等式求得导数的取值范围，根据导数的几何意义结合正切函数的单调性，求得答案.【小问1详解】由题意得：；【小问2详解】,由于，故，当且仅当时取等号，故，则P处的切线的斜率，由为曲线在点P处的切线的倾斜角可得，由于，故的取值范围为：.20、(1)a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f′（x）=aex–由题设知，f′（2）=0，所以a=从而f（x）=，f′（x）=当0<x<2时，f′（x）<0；当x>2时，f′（x）>0所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增（2）当a≥时，f（x）≥设g（x）=，则当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点故当x>0时，g（x）≥g（1）=0因此，当时，点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.21、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用定积分及微积分基本定理计算可得；【小问1详解】解：因为，所以，所以切线的斜率，切线过点，切线的方程为，即【小问