平行四边形（强化-基础）-解析版初中数学1

专题15平行四边形（强化-基础）

一、单选题（共40分）

1.（本题4分）（2020•浙江八年级期中）下列条件中，能判断四边形ABC。是平行四边形

的是（）

A.AB/1CD、AD=BCB.NA=NB,NC=ND

C.AB=AD,CB=CDD.AB//CD,AB=CD

【答案】D

【分析】

根据平行四边形的判定定理可直接进行排除选项.

【详解】

解：如图，

山=不是同一条对应边的关系，故不一定能判定四边形ABCD是平行四

边形，故A选项不符合题意；

由NA=NB,NC=N£>,NA+4+NC+Z£>=360°可得：ABHDC,所以不一定能

判定四边形ABC。是平行四边形，故B选项不符合题意；

由AB=A£>,C3=CZ）不符合两组对应边相等，所以不一定能判定四边形A8CD是平行四

边形，故C选项不符合题意；

山AB!/CD,AB=CD可得四边形ABC。是平行四边形，故D选项符合题意;

故选D.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

2.（本题4分）（2021•山东威海市•八年级期末）如图，在口筋。。中，CELAB,E为垂

足，如果NA=120。，那么ZBCE的度数是（）

【答案】B

【分析】

因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行，同旁内角互补，可得「:A+iB=180°,由已知

易证IBEC=90。，所以在RtBEC中，由三角形的内角和定理知：BCE=30。；

【详解】

平行四边形ABCO中，NA=120。，

AD//BC

ZB=180°-120°=60°,

又CE1AB,

BEC=90°,

ZBCE=9O°—N5=30°.

故选：B.

【点睛】

本题直接通过平行四边形性质的应用，判断出正确的选项，属于基础题；

3.（本题4分）（2021•上海九年级专题练习）四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点。.给

出下列四组条件：

□ABJCD,ADJBC；

□AB=CD,AD=BC；

UAO=CO,BO=DO；

□ABCD,AD=BC.

其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）

A.1组；B.2组；C.3组；D.4组.

【答案】C

【分析】

根据平行四边形的判定方法对口：」分别作出判断即可求解.

【详解】

解：ABCD，ADBC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四

边形是平行四边形：

AB=CD,A£>=6C,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是

平行四边形；；

AO^CO,BO=DO,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是

平行四边形；

ABCD.AD=BC，无法判定四边形是平行四边形.

故选：C

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键.

4.（本题4分）（2021•山东烟台市•八年级期末）如图1,平行四边形纸片ABC。的面积为

120,AO=2（）.今沿两对角线将四边形A8CZ）剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片.若

将甲、丙合并（A。、CB重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对

角线长度和为（）

AD

>B（D）

BC

图1图2

2

A.26B.29C.24-D.25-

33

【答案】A

【分析】

由题意可得对角线EFAD,且EF与平行四边形的高相等,进而利用面积与边的关系求出

BC边的高即可.

【详解】

解：如图，连接AD、EF,

则可得对角线EFAD,且EF与平行四边形的高相等.

」平行四边形纸片ABCD的面积为120,AD=20,

BC=AD=20,—EFxAD=—xi20,

22

□EF=6,

又AD=20,

则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26,

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关

键.

5.（本题4分）（2021•全国九年级专题练习）如图，E是直线CO上的一点，且=.已

知EABCD的面积为52cm2,则DACE的面积为（）

A.52B.26C.13D.39

【答案】C

【分析】

设平行四边形AB边上的高为h,分别表示出DACE的面积和平行四边形ABCD的面积，从

而求出结果.

【详解】

解：四边形ABCD是平行四边形，CE，CD,

2

设平行四边形AB边上的高为h,

ACE的面积为：-CEh,平行四边形ABCD的面积为2CE7,

2

ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的,，

4

XDABCD的面积为52cm2,

ACE的面积为13cm2.

故选C.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出ACE的面

积为平行四边形ABCD的面积的上.

4

6.（本题4分）（2020•苏州高新区实验初级中学七年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，

AB=a,BC=b,AB边上的高为c,BC边上的高为d,则下列式子成立的是（）

A.a：c=b：dB.a：b=c：dC.ab=cdD.ac=bd

【答案】D

【分析】

根据平行四边形的性质可得，SABCD=BODF=AB・DE,代入数据进行计算即可得出结论.

【详解】

解：因为平行四边形a边上的高为b,c边上的高为d,所以ac=bd,

A、由a：c=b：d,得bc=ad,

与题意ac=bd不符，此选项错误;

B、由a：b=c：d,得bc=ad,

与题意ac=bd不符，此选项错误；

C、ab=cd,与题意ac=bd不符,此选项错误；

D、ac=bd,符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质的运用，解题时注意：平行四边形的面积等于它的底和这个底

上的高的积.

7.（本题4分）（2020•渠县琅珊中学九年级月考）如图，平行四边形ABC。中，已知

ZAOB=90°,AC=8cm,AD=5cm,则的长为（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

【答案】C

【分析】

由平行四边形ABCD中，AC=8cm,根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA的长,

然后由勾股定理求得OD的长，继而求得答案.

【详解】

解：四边形ABCD是平行四边形,

OA=—AC=—x8=4(cm),

22

AOB=90°,

AOD=180°-AOB=90°,

A£)=5cm

OD=VAD2-OA2=452-42=3(cm)

BD=2OD=6cm.

故选：c.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理.注意平行四边形的对角线互相平分.

8.体题4分)(2019•浙江杭州市•八年级其他模拟)已知平行四边形ABCD,对角线AC=6、

BD=8,则该平行四边形四条边中曩冷边”的取值范围是()

A.y/1<a<7B.54a<7C.1<。<7D.^43<a<7

【答案】B

【分析】

根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OD的值，又由三角形的三边关系，即

可求得答案.

【详解】

解：如图所示：四边形ABCD是平行四边形，AD>AB,

-----

0

R

:.OA=-AC=3,OD=-BD=4,

22

在!AOD中，由三角形的三边关系得：4-3<AD<4+3,

r1<AD<7,

当四边相等时易得边长为5,

□5<AD<7.

故选：B.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系.熟记平行四边形的对角线互相平分是解

此题的关键.

9.（本题4分）（2021•昆明市•云南师大附中九年级期末）如图，在DABC。中，AD=6,

ZADB=300,按以下步骤作图：以点C为圆心，以CO长为半径作弧，交BD于点F;

口分别以点O,F为圆心，以。。长为半径作弧，两弧相交于点G,作射线CG交30于

点£,则3E的长为（）

5百

D.3g

"V

【答案】D

【分析】

先根据题目描述可确定CGBD,再由平行确定EBC=30。，从而在RtBEC中计算即可

【详解】

根据题意描述，CG垂直平分线段DF,即□BEC=90。，

ZA06=3O°，四边形ABCD为平行四边形，

AD//BC,AD=BC=6

LHEBC=30°,

在RtBEC中，CE=工BC=3,

2

BE=yjBC2-CE2=373,

故选：D.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定，以及勾股定理，充分理解题中描述的作图

过程是解题关键.

10.（本题4分）（2021•山东临沂市•九年级一模）如图，在口488中，ZABC>ZBCD

的平分线5E、CT分别与“。相交于点E、F,5E与b相交于点G,若，AB=6,BC

=10,CF=4,则8E的长为（）

A.472B.8C.8夜D.10

【答案】C

【分析】

根据平行四边形两组对边分别平行可得口28。+；38=180。，再根据角平分线的性质可得

EBC+UFCB=90。,可得AEBCa过/作4WUFC,交8。于“，交BE于O,证明

是等腰三角形，进而得到8O=EO,再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案.

【详解】

解：四边形ABCD是平行四边形，

JABQCDf

JD^C+L5C£)=180°,

□□/8C、口8。。的平分线BE、Cb分别与力。相交于点E、F,

EBC+lFCB=-ABC+—DCB=90°

22f

QEBLFC,

□□产G5=90°.

过4作4M二FC,交BC于M,交BE于O,如图所示：

□JMTFC,

UDAOB=nFGB=90°f

8石平分ABC,

UDABE^EBC,

HADBCf

nOAEB=CBE,

\J\JABE=QAEB,

□4B=AE=6,

DAOBE,

口BO=EO,

在XOE和MO8中，

ZAEO=ZMBO

<EO=BO,

ZAOE=/MOB

UDAOEUUMOB(ASA)f

AO=MO,

3AFUCM,AMJFC,

四边形/MC/是平行四边形，

U\AM=FC=4f

□40=2,

EO=yjAE2-AO2=V62-22=4V2，

BE=86.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质

以及勾股定理；证明/O=MO,8O=EO是解决问题的关键.

二、填空题（共20分）

11.体题5分）（2019•云南玉溪市•八年级期中）已知必BCD的对角线AC=8,BD=10,

BC边上的高为6,则6BCD的面积为_.

【答案】24+65/7

【分析】

画出符合题意的示意图，过点。作。尸_L5C于点尸，由中位线的性质得到8=3，

RrCORC与昭DBR9中，分别利用勾股定理解得ECB厂的长，继而得到6c的长，最

后根据平行四边形的面积公式解题.

【详解】

解：如图，过点。作。尸，8c于点尸，

在必BCD中,

AO=OC=^AC=4,BO=OD=^BD=5,AE=6

由题意知OF//AE,。为AC中点，

OF=-AE=-x6=3

22

在及「OFC中，

FC=y]0C2-0F2="—32=#j

在RmBEO中,

BF=4OB1-OF2=V52-32=4

BC=BF+FC=4"

S4gcz)=BC-AE-(4+>/7)x6=24+6^7.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、中位线的性质、勾股定理、平行四边形的面积等知识，是重要

考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

12.体题5分)(2019•陕西宝鸡市•八年级期末)如图，在口ABC。中，BELCD于点E,

于点R口£5尸=60。，贝!］口。=.

【答案】600

【分析】

根据四边形的内角和等于360。即可求出。，再根据平行四边形的邻角互补即可求出C.

【详解】

BECD,BFAD,

□BED=CBFD=9Q：

在四边形BEDF中,口。=360。一匚BED-QBFD-□£5F=360o-90o-90o-60°=120°,

在Ei/BCD中，180°-II£>=180°-120°=60°.

故答案为：60°.

【点睛】

本题考查四边形内角和以及平行四边形的性质，掌握四边形内角和为360。与平行四边形的

性质是解题的关键.

13.（本题5分）（2021•长春吉大附中力旺实验中学九年级月考）如图，为了测量池塘边工、

6两地之间的距离，在线段Z5的同侧取一点C,连结C4并延长至点O,连结C8并延长

至点E,使得4、5分别是C。、OE的中点，若。E=16〃?，则线段N5的长度是m.

【答案】8

【分析】

根据三角形中位线定理解答即可.

【详解】

解：点/、点8分别是CD、OE的中点，

□48是ICDE的中位线，

UAB=—DE=8（〃?），

2

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了三角形中位线，解题关键是熟练运用中位线的性质进行计算.

14.（本题5分）（2020•浙江温州市•实验中学八年级期中）如图，在nZBCZ）中，P为4B上

的一点,E、尸分别是。P、CP的中点，G、，为CD上的点，连接EG、FH,若□Z5C0

的面积为24c77，GH=-AB,则图中阴影部分的面积为.

2

D

E

H

【答案】6cm2•

【分析】

设EG,FH交于点O,根据平行四边形的性质可得求解S尸8=12。m2,利用三角形的中位

线可求解SPEF=3cm2»由平行线的性质可求解SOEF=SOGH=SPEF=1.5cm2»进而

可求解.

【详解】

解：如图，设EG,FH交于点0,

四边形Z8CQ为平行四边形，且48co的面积为24cm2,

1)

SPCD=——SABCD=\2cm~>AB=CD,ABCD,

2

□£>F分别是。尸、。尸的中点，

£产为」PC。的中位线，

QCD=2EF,EFUCDQAB,

SPEF：SPCD=1：4,

SPEF=3cm2，

GH=—AB,

2

EF=GH,EFGH,

_1_

SOEF=SOGH——SPEF—1.5C77厂，

Smtn—3+2x1.5=6cm2>

故答案为6c"2.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线，三角形的面积等知识的综合运用.

三、解答题（共90分）

15.（本题8分）（2020•浙江八年级期中）如图，E、尸是平行四边形ABCD的对角线BO所

在直线上的两点，且DE=BF,求证：四边形AEC户是平行四边形.

【答案】见详解

【分析】

由题意易得AD〃BC，AD^CB,则有NAT>E=NCBF,然后可证VADE且VC3F,进

而可得AE=CF，ZDEA=NBFC，则可得NAEF=NCFE,所以AE〃。/，最后问

题得证.

【详解】

证明：四边形ABC。是平行四边形,

AD!IBC,AD=CB.

ZADE=/CBF,

DE=BF,

NADE^/CBF（SAS）,

AE^CF,NDEA=4BFC,

ZDEA+ZAEF=NMC+NCEE=180。，

ZAEF=ZCFE,

AE//CF,

四边形AECF是平行四边形.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键.

16.（本题8分）（2020•福建厦门市•厦门双十中学九年级月考）如图，在二438中，点E,

厂分别在BC,A。上，AC与所相交于点。，且AO=CO.

求证：四边形AEC6是平行四边形.

【答案】见解析

【分析】

先由AS4证明AAO尸乌△"）£,得出FO=EO,再由AO=CO，即可得出结论.

【详解】

证明：四边形A8CD是平行四边形,

AD!IBC,

ZOAF=ZOCE,

ZOAF=ZOCE

在口4。/和口COE中，|AO=C。，

ZAOF^ZCOE

△AOFmACOE（ASA）

FO=EO,

又LAO-CO,

:四边形AECF是平行四边形.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.

17.（本题8分）（2020•浙江杭州市•八年级开学考试）如图是一个平行四边形土地ABC。，

后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘瓦、G”，现准备将其分成两块，并使其满足：两

块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线所在的直线（保

留作图痕迹）.

AEHD

【答案】见解析

【分析】

由题意分割使两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，根据平行四边形的性质知：过平行

四边形对角线交点的直线等分其面积，从而进行求解.

【详解】

解：作两个平行四边形的两对对角线，其交点分别为M、N.即AC与BD交于点N,EG

与FH交于点M,

连接MN,直线MN即为所求的分割线.

因为，过平行四边形对角线交点的直线等分其面积.

如图：

【点睛】

此题主要考查平行四边形的性质及其面积公式，作图比较复杂，要认真作图.

18.（本题8分）（2020•浙江杭州市•八年级月考）如图，在DABCD中，AE1BCTE,

LCD于尸，若A3与AO的长度之比为3：4,求的值.

【答案】3:4

【分析】

由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD,AD=BC,又由AEBC于E,AFDC于F,

可得平行四边形ABCD的面积的两种表示方法，结合AB：AD=3：4可得结果.

【详解】

解：证明：四边形ABCD是平行四边形，

AB=CD,AD=BC,

又匚AEBC,AFDC,

平行四边形ABCD的面积=BCxAE=CDxAF,即ADxAE=ABxAF,

又AB：AD=3：4,

AE---.AB…—_3

AF~AD~4'

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用两种方法表示平行四边形的面积.

19.（本题10分）（2021•重庆巴蜀中学九年级月考）已知：如图，在平行四边形ABCO中,

E、尸为对角线80上的点，BE=DF.

（1）请用直尺和圆规作出N3/C的角平分线FH,并标出FH与BC的交点H；（请用2B

铅笔作图并保留作图痕迹）

（2）在（1）的前提下，若NAE3=110。，求NCFH的度数.

【答案】（1）见解析；（2）35。.

【分析】

（1）以尸为圆心，任意长为半径画弧，分别交8尸、FC于"、N两点，再分别以M、N

为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点。，最后作射线尸。与5c的交点H即可解

2

题；

（2）先根据平行四边形的性侦解得AB//CD.AB=CD,再利用平行线的性质得到

ZABE=NCDF,接着证明△A5E四△CDF（SAS）,由全等三角形对应角相等的性质得

到NA£8=NCED=110°,再由邻补角定义解得N8FC=70°,最后根据角平分线的定

义解题即可.

【详解】

解：（1）如图，FH为所作:

(2)四边形A8CO为平行四边形，

ABUCD，AB=CD,

ZABE=NCDF,

AB=CD

在AAB£和口CD/7中,NABE=ZCDF,

BE=DF

△AB£^ACDF（SAS）,

ZAEB=ZCFD=\10°,

/BFC=180。一ZCFD=70°,

FH平分NBFC，

NCFH=、NBFC=35。.

2

【点睛】

本题考查基本作图一作角平分线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的

性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

20.（本题1（）分）（2020•吉林长春市•长春外国语学校八年级月考）如图，点5、F、C、E

在一条直线上，FB=CE,ABUED,ACGFD,4D交BE于点0.

(1)求证：与8E互相平分；

(2)若4BUAC,AC=BF,5E=8,FC=2,求Z5的长.

【答案】(1)见解析；(2)45=4.

【分析】

(1)连接4瓦8。,证明口48。9：。石厂,可得：AB=DE,再证明四边形4BQE是平行四

边形，利用平行四边形的性质可得答案；

(2)由2E=8,FC=2,结合BF=CE,AC=BF,求解BRAGBC,再利用48/C,由

勾股定理可得答案.

【详解】

证明:(1)连接AE,8D,

\-FB=CE,

BC=EF,

AB//DE,AC//DF,

：.ZABC=ZDEF,ZACB=ZDFE,

在DABC与口QEE中,

ZABC=ZDEF

<BC=EF

NACB=NDFE

：OABC^]DEF,

：.AB=DE,

AB//DE,

，四边形A3OE是平行四边形,

ZD与8E互相平分；

(2)-.-BE=S,FC=2,

/.BF+CE=6,

・・・BF=CE,

.,.BF=CE=3,

♦;AC=BF,

AC=3,

BC=3+2=5,

vAB±AC,

AB=\lBC2-AC2=底吁=4.

【点睛】

本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握

以上知识是解题的关键.

21.（本题12分）（2020•四川成都市•八年级期中）在平行四边形ABC。中，点E为AB边

的中点，连接CE,将nBCE沿着CE翻折，点3落在点G处，连接AG并延长，交CD于

（1）求证：四边形AEC尸是平行四边形.

（2）若。/=5,口8后的周长为20,求四边形ABC户的周长.

【答案】（1）证明见解析；（2）30

【分析】

（1）连接BG,根据题意得到£3=EG=AE,证明AF7/EC,又根据

即可证明结论；

（2）先求出4F=CE,AE=CF=5,根据C^GCE=GE+GC+CE=20,进行线段代换即可

求解.

【详解】

解：（1）证明：连接BG.

点E为AB边的中点，口8。石沿着CE翻折得到GCE,

EB=EG=AE，

QDGAE=UAGE,EBGEEGB,

】三角形内角和为180。,

ZAGB=90。，

且3GLEC,

AF//EC,

FC//AE,

四边形AECF是平行四边形.

(2)四边形AEC尸是平行四边形，

QAF=CE,AE=CF=5,

CACCE=GE+GC+CE=2Q,

口BE+BC+EC=20,

□BE+BC+4F=20,

[JCF=AE=5,

C四边形A“CF=AB+BC+AF+FC=AE+BE+BC+CF+AF=20+5+5=30.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，轴对称等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理和性

质定理是解题关键.

22.（本题12分）（2020•浙江杭州市•八年级期末）操作探究:

（1）现有一块等腰三角形纸板，8c为底边，量得周长为32cm,底比一腰多2cm.若把

这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请在下列方框中画出你能拼成的各种

四边形的示意图，并在图中标出四边形的各边长;

（2）计算拼成的各个四边形的两条对角线长的平方和.

【答案】（1）见解析；（2）200或328或272或192.16

【分析】

（I）正确画出图形:

（2）分别根据勾股定理计算四个图形中对角线长的平方和.

【详解】

解：（1）如图所示:

(2)设N8=/C=xc"?,则8C=(x+2)cm,

由题意得(x+2)+2x=32,解得x=10c7«.

因此C=1Ocm,则BC=\2cm,

过点A作AD8c于D,

BD=CD=6cm,

JAD=Scm.

可以拼成四种四边形，如上图所示.

如图1,两对角线长的平方和为102+102=200；

如图2,J<?=4(82+32),

U两对角线长的平方和为4侬+32)+62=328；

如图3,5^=122+82.