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文档简介
专题07二次函数压轴题
1.(2021•扬州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=f+fcr+c的图象与x轴交于点
A(—1,0)、以3,0),与y轴交于点C.
(1)b=9c=;
(2)若点。在该二次函数的图象上,且%即=25的门求点。的坐标;
(3)若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点,且5^=538,直接写出点P的坐
【答案】(1)-2--3(2)0(1+而,6)或(1-布,6)(3)(4,5)
【详解】(1).•点A和点8在二次函数丫=/+云+。图象上,
0=1—b+cb=-2
则,解得:
0=9+3b+c
故答案为:—2,—3;
(2)连接BC,山题意可得:
A(-1,0),3(3,0),C(0,—3),y=x2-2x-3,
SMBC=]x4x3=6,
=2sMec>设点0(见4-2/n-3),
■~xA8x||=2x6>即gx4x|-2m-31=2x6,
解得:w=l+x/iOa£l-Vio,代入y=x?-2x-3,
可得:y值都为6,
D(1+V10,6)或(1-亚,6);
・点P在抛物线位于X轴上方的部分,
1或〃>3,
当点P在点A左侧时,即
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离,
,1'SMPC<SgPK'不成乂;
当点P在点3右侧时,即〃>3,
A4PC和AAP3都以"为底,若要面积相等,
则点3和点C到"的距离相等,^BCHAP,
设直线BC的解析式为y="+p,
[0=3A+p
则.1,解得:[k=\,
[-3=p[p=-3
则设直线AP的解析式为y=x+q,将点A(-1,O)代入,
贝I—1+q=0,解得:q—\,
则直线AP的解析式为y=x+l,将25,〃2一2〃一3)代入,
即”2-2〃-3=〃+1,
解得:”=4或〃=-1(舍),
〃2-2〃-3=5,
.,•点尸的坐标为(4,5).
2.(2018•扬州)如图1,四边形。43c是矩形,点A的坐标为(3,0),点。的坐标为(0,6),
点P从点O出发,沿。4以每秒1个单位长度的速度向点A运动,同时点。从点A出发,沿
以每秒2个单位长度的速度向点8运动,当点尸与点A重合时运动停止.设运动时间为
r秒.
(1)当f=2时,线段PQ的中点坐标为;
(2)当ACBQ与APAQ相似时,求才的值;
(3)当f=l时,抛物线yuV+fov+c经过尸,。两点,与y轴交于点抛物线的顶点
为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点。,使=若存在,求出所
有满足条件的。的坐标;若不存在,说明理由.
【详解】(1)如图1,•点A的坐标为(3,0),
.,.04=3,
当t=2时,OP=t=2,AQ=2f=4,
.•.尸(2,0),6(3,4),
线段尸。的中点坐标为:(=,吗),即(2,2);
222
故答案为:(2,2):
2
(2)如图1,.,当点尸与点A重合时运动停止,且APA。可以构成三角形,
,\0</<3,
四边形045。是矩形,
/.ZB=ZPAg=90°,
.•.当ACB。与APAQ相似时,存在两种情况:
①当"时,得=器,
.3-Z6-2/
..-----=--------,
2t3
4?-15r+9=0,
3
(/—3)(Z——)=0,
4
3
4=3(舍),G=—'
4
PAnr
②当APAQSAC3Q时,—=—,
•3-5_3
一~2T~6-2t1
产一为+9=0,
9±3近
t=----------,
2
9+3石°
---------->3,
2
・1=2叵不符合题意,舍去,
2
综上所述,当ACB。与APA。相似时,f的值是3或上辿;
42
(3)当f=l时,P(l,0),。(3,2),
把尸(1,0),Q(3,2)代入抛物线y=丁+法+c中得:
]+b+c=0b=-3
解得:
9+3b+c=2c=2
••・抛物线:
4
顶点Kg»-~),
2(3,2),M(0,2),
.•.MQ//X轴,
作抛物线对称轴,交MQ丁E,设。。交y轴于H,
:.KM=KQ,KELMQ,
:.NMKE=ZQKE=gZMKQ,
如图2,NMQD=;ZMKQ=NQKE,
tanNMQD=tanZQKE=—=丝,
MQEK
3
即竺i=MH=2,
32+l
4
.•.”(0,4),
易得〃Q的解析式为:y=--x+4,
’2“
EIy--x+4
则r3,
y=x2-3x+2
%2—3x+2=—x4-4,
3
2
解得:%=3(舍),%2=——»
・•・。(二,竺);
39
同理,在”的下方,y轴上存在点”,如图3,使N〃QM=g/MKQ=NQKE,
由对称性得:”(0,0),
易得。。的解析式:y=(x,
2
则尸M,
y=x2-3x+2
x~—3x+2=x,
3
?
解得:玉=3(舍),x2=—»
综上所述,点O的坐标为:£»(-|,9)或(|,》•
3.(2021•江都区模拟)已经二次函数丫=以2+法+].
(1)如图,其图象与x轴交于点A(-l,0)和点5,与y轴交于点C,对称轴为直线x=l.
①求二次函数解析式;
②F为线段BC上一点,过F分别作x轴,y轴垂线,垂足分别为E、F,当四边形OEAG
为正方形时,求点尸坐标;
(2)其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数,且二次函数)>=如2+汝+1函数值
存在负数,求b的取值范围.
【答案】⑴y=--x2+-x+\F(-,-)(2)b<--,S.h^-\
'33442
a-b+l=0=」
3
【详解】(1)①由题:b,解得<
---=1
,2a
17
・•・二次函数解析式为:y=--x2+-x+l;
33
②设3C解析式为:y=kx+b,对称轴为直线%=1.
,图象与x轴交于点A(-1,0)和点B,对称轴为直线x=l.
・,.点3(3,0),
..八、、,口f3Z+/?=0
将8(3,0),CQ1)代入得:,
[b=i
解得:"=一屋
b=\
.•.3。解析式为:y=-L+l,
3
设点4-1)»
.・四边形O£FG是正方形,
;.EF=GF,
1,
/.m=——,
3
解得m=—
4
冶]);
44
(2)二次函数的图像其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数,
.•.-工二&+云+1有两相等实根,即汗+S+l)x+l=0有两相等实根,
一[仍+1)2—4〃=0,
解得:a=("+D>0,且bW-1,
4
y=加+云+1存在负值,
二.从一4々=/一出+1)2>0,解得/
2
综上:且人工一1.
2
4.(2021•祁江区二模)我们知道求函数图象的交点坐标,可以联立两个函数解析式组成方
程组,方程组的解就是交点的坐标.如:求直线y=2x+3与y=-x+6的交点坐标,我们可
以联立两个解析式得到方程组P=2X+3,解得卜=1,所以直线y=2x+3与y=-x+6的
=+6[v=5
交点坐标为(1,5).请利用上述知识解决下列问题:
(1)求直线y=x-2和双曲线的交点坐标;
x
(2)已知直线丫="-3和抛物线y=d+2x+4,若直线与抛物线只有一个交点,则k的值
为:
(3)如图,已知点A(a,0)是x轴上的动点,B(0,4&),以为边,在旗右侧作正方
形ABCD,当正方形/WCD的边与反比例函数y=逑的图象有4个交点时,请直接求出a
X
【答案】(1)(3,1)或(-1,-3)(2)2土2由(3)a>2或-16<aJ
y=x-2
【详解】(I)由题意得:3,
丫=一
X
4
直线y=x—2和双曲线y=±的交点坐标为(3,1)或(—1,—3);
x
(2)联立直线丫=履-3和抛物线y=V+2x+4,得:x2+2x+4=fcr-3,
x2+(2-k)x+7=0,
,直线与抛物线只有一个交点,
△=(2—Q2-4xlx7=r-4k-24=0,
解得:k=2±2\/7,
故答案为:2±2";
(3)①当寸,如图1,
设直线AB的解析式为y=mx+n<
A(a,O),8(0,4&),
am+n=0
1=4a,
丘
777=---4----
解得:a,
n=4^2
直线AB的解析式为y=--x+4y/2,
a
当线段A5与双曲线只有一个交点时,
联立43的解析式和反比例函数y=2也,得:-逑》+4及=述,
xax
整理得:2%2-2ar+a=0,
△=(-2a)2-4x2〃=0,
解得:a=2,
.•.当a>2时,正方形ABCD的边与反比例函数的图象有4个交点;
②当avO时,如图2,
i)当边AO与双曲线只有一个交点时,过点。作轴于点七,
44O+NZME=90。,ZDAE+ZADE=9^,
ABAO=ZADE,
AB=AD,ZAOB=ZDEA=90°,
:.^OB=\DEA{AAS),
:.ED=AO=-a,AE=OB=4y/2,
故点O(a+4夜,〃),
设直线AD的解析式为>=町工+4,
A(6Z,0),£)(。+4&,a),
aniy+4=0
3+4夜)叫+ni=a
夜
解得:8,
V22
n.=-----a
直线4)的解析式为y邛6-会,
联立AD的解析式与反比例函数解析式并整理得:ar2-«2x-16=0,
_4〃X(_16)=0,
解得:a=T或a=0(舍去),
:.a<-4y
ii)当边8C与双曲线有一个交点时,
同理可得:”=-16,
/.a>—16,
所以当正方形A5CD的边与反比例函数的图象有4个交点时,”的取值范围为:-16<a<-4;
图1
5.(2021•宝应县二模)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(皿2)(其中机为常数),点8
与点A关于y轴对称.在实数范围内定义函数y=(其中w为常数)的图
[x+x+m(x<1)
象为G.
(1)当点(-1,2)在G上时,则机的值是;
(2)求点5在G上时,求机的值;
(3)当y最小值的取值范围是-2掰,-1时,请直接写出机的取值范围.
【答案】(1)m=2(2)m=6(3)3励!4或一工釉t--
44
【详解】(1)把点(一1,2)代入丁=/+工+加,则1-1+加=2,
:.m=2;
(2)点A的坐标为(九2)(其中〃?为常数),点8与点A关于y轴对称,
点3的坐标为(一肛2),
当一/九.1时,即〃4,-1时,
把点(一"2)代入y=f+x-,则一加一"2=2,解得帆=1±J5(舍去),
当—m<1时,即机>一1时,
把点(一九2)代入y=V+x+m,则〃/一机+加=2,解得m=土(负值舍去),
综上,m=A/2;
(3)当图形G上最低点落在函数y=12+x-〃7(x..l)的图象上时,则最低点坐标为(1,2-峭,
.,.一2领—m—1,
解得:3张M4;
当图形G上最低点落在函数y=f+x-m(尢<2)的图象上时,
同理:一,7鼓帆3
44
y=X2+x+加的顶点C(——,m——),
当x=l时,y=x2+x-机的点£)(1,2-/77),
1c
m——=2—m,
4
解得"7=2,
8
a
当小,一时,D为最低点;
8
Q
当"2<—时,C为最低点.
8
综上所述,机的取值范围为:3张如4或-2轰近
44
6.(2021•江都区二模)如图,已知抛物线y=o?+bx-3与x轴交于A(-2,0)、8(6,0)两点,
与y轴交于C点,设抛物线的顶点为£).过点。作£>E_Lx轴,垂足为E.P为线段上上
一动点,尸("?,0)为x轴上一点,且PCP/7.
(1)求抛物线的解析式;
(2)①当点P与点。重合时,求加的值;
②在①的条件下,将ACOF绕原点按逆时针方向旋转90。并平移,得到△CCK,点C,O,
产的对应点分别是点C-。「月,若△CQ,的两个顶点恰好落在抛物线上,直接写出点
耳的坐标;
(3)当点尸在线段史上运动时,求机的变化范围.
备用图
【答案】(1)y=-x2-x-3(2)m=4F^-,2)或(一U,£_)(3)?领加4
4,21661448
【详解】(1)将4-2,0)、3(6,0)代入抛物线解析式丫=奴2+云-3中得:
1
44-26-3=0
解得:4,
36。+6b—3=0
.••该抛物线的解析式为:y=-x2-x-3,
4
(2)①。为抛物线的顶点,
..0(2,-4),
当点P与点。重合时,如图所示:过点。作G£>〃x轴,过尸点作y轴平行线交8延长线
于点H,
由题意易得:CG=3GD=2,FH=4,而PC上PF,HPZCDF=90°,
NCGD=ZDHF=90°,ZCDG=ZDFH,
:.\CGD^^DHF,
CGGD12
---=---即nn,----=—,
DHHFDH4
:.DH=2,
而四边形£DEH为矩形,,EF=DH=2,
:.OF=4r即尸(4,0),
/.m=49
(2)按题意,将△(%>「绕原点按逆时针方向旋转90。得到△CVF,如图所示:
显然此时U、。、/三点都不在抛物线上,故需要将△CO尸平移才能得到两个顶点恰
好落在抛物线上,根据C'、O'、F三点特点,可设:
a(X,y),则G*+3,y),耳(x,y+4),
①当。G经平移后在抛物线上,把a(x,y),G(x+3,y)代入)=;/一工一3中:
y=-x2-x-3
4
解得:x=1,
2
②当6G经平移后在抛物线上,把耳(x,y+4),。I*+3,),)代入》=工X2一1一3中:
4
/12c
y+4=-x-x-3
<,
y=—(X+3)2—(元+3)-3
I4
解得:x=--
6
故平叫施
③当。苗经平移后在抛物线上,因为。口耳在竖直方向,故不成立.
综上所述:甲L2)或(一丝,望),
'2166144
(3)O(2,T),£(2,0),C(0,—3),点P为线段DE上一动点,尸(九0)为工轴上一点,且
PC-LPF,
如(2)①中当点P与点。重合时,m=4,取得最大,随着P向石移动,相随之变化,设
存在一点P使团最小,如图所示:
根据AFEPSAPQC得:
FEEP2-m_y
——=——即011:
PQQC3-y2
17
可得关系式:相1+-
8
177
->0,当y=二时,加取得最小值一,
228
7
综上所述:一效帆4.
8
7.(2021•湖北模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线丁=以2+灰+c的图象与x轴交于
A(4,0),8两点,与y轴交于点C(0,2),对称轴x=l,与无轴交于点H.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)直线>=丘+1(%*0)与y轴交于点E,与抛物线交于点尸,Q(点P在y轴左侧,点。
在y轴右侧),连接CP,CQ,若ACP。的面积为逐,求点P,。的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将
线段GK绕点G顺时针旋转90。,使点K恰好落在抛物线上?若存在,请直接写出点K的坐
标;若不存在,请说明理由.
【答案】⑴y=--x2+-x+2(2)(-1-A/5,-拘、(-1+75,8(3)K(l,2土半)
【详解】⑴对称轴x=I,则点3(-2,0),
则抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8),即-8a=2,解得:a=--,
4
故抛物线的表达式为:>=」/+4+2;
’42
(2)设直线尸。交y轴于点夙0,1),点P、。横坐标分别为〃,7〃,
△C尸Q的面积=—xCEx(〃一根)=石,即〃一加=2行,
2
联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得:一;幺+(;一左口+1=0…①,
机+〃=2—4攵,〃7Z2=T,
n-m=2\/5=J(m+=2-=y](2-4k)24-16,
解得:k=a(舍去)或1;
将后=1代入①式并解得:x=-l±V5,
故点P、Q的坐标分别为:(-1-小,-石)、(-1+石,V5).
(3)设点K(l,〃z),线段GK绕点G顺时针旋转90。,得到线段GR.
联立尸。和AC的表达式并解得:x=|,故点G(|,|)
过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M,交过点R与y轴的平行线于点N,
215
GM=1一一=—=NR,MK=\一一加
333
故点R的纵坐标为:则点/?(〃—,3)
33
将该坐标代入抛物线表达式解得:x=l±—,
3
痂“底
故加=2±---,
3
故点K(l,2士半).
8.(2021•东莞市一模)如图,已知抛物线丫=正+翼+,与x轴相交于A(-l,0),8(加,0)两
点,与y轴相交于点C(0,-3),抛物线的顶点为。.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点E在x轴上,且NECB=NCBD,求点E的坐标.
(3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点P作P4,x轴于点",与BC交于点M.
①求线段PM长度的最大值.
②在①的条件下,若下为y轴上一动点,求丹/+”F+孝。尸的最小值.
【答案】(1)y=/-2x-3(2)点E的坐标是(|,0)或(6,0)(3)g叱十.
}-b+c=O
【详解】(I)把4-1,0),点C(0,-3)代入抛物线1=入+物+。中得:
c=-3
b=-2
解得:
c=-3
抛物线的解析式为:y=d-2x-3;
(2)y=x2-2x-3=(x-l)2-4
二顶点O(D,
当y=0时,X2-2X-3=0,
(x-3)(x+l)=0,
x=3或一1,
8(3,0);
如图I,连接80,
图1
设比>所在直线的解析式为:y=Jt(x-3),将。点坐标代入函数解析式,得—24=-4,
解得攵=2,
故必所在直线的解析式为:y=2x-6,
AECB=/CBD,
:.CE/!BD,
设CE所在直线的解析式为:y=2x+b,将C点坐标代入函数解析式,得匕=-3,
故CE所在直线的解析式为:y=2x-3,
3
当y=0时,x=|
同理,当点E在点3的右侧时,点E的坐标是(6,0).
3
.,.综上所述,点E的坐标是(/,0)或(6,0);
8(3,0),C(0,-3),
设8c的解析式为:y=kx+b,
3k+b=0
则
b=-3
k=l
解得:
b=-3'
3c的解析式为:y=x-3,
设P(x,d-2x-3),则M(x,x-3),
3Q
PM=(x—3)—(x**—2x—-3)=—%2+3x=—(x——)2+—,
当时,尸M有最大值为2;
24
②当尸M有最大值,P(2,
24
在x轴的负半轴了取一点K,使NOCK=45。,过F作FNLCK于N,
...FN=^CF,
2
当N、尸、”三点共线时,PH+NH最小,即PH+族+丫-。尸的值最小,
2
RtAOCK中,OC=3,
:.OK=3,
OH=—,
2
39
:,KH=-+3=-
22f
RtAKNH中,/KHN=45。,
,,KN=—KH=^f
24
9J2
■,NH=KN=^—,
4
PH+HF+—CF的最小值是PH+NH=9员於
24
9.(2021•建湖县一模)如图,在平面直角坐标系x。),中,抛物线y=ax2+H+3(a、。为常
数,且a*0)与x轴交于点4-1,0)和点8,与y轴交于点C,已知该抛物线的对称轴是直
线x=I.
(1)求抛物线的表达式及点5的坐标;
(2)连接AC、BC,求N4CO的正切值;
(3)已知点P是抛物线上的一点,连接3P,当NPBC=NACO时,求点P的坐标.
【详解】(1)抛物线丫=火2+灰+3与彳轴交于点A(-l,0)且抛物线的对称轴是直线x=1,
"1
2a
0=a-b+3
解得:
b=2
.•・抛物线的表达式为:y=-/+2x+3;
令y=0,则一/+2》+3=0,
解得:x,=—1,Xj=3>
8(3,0),
(2)令抛物线y=-f+2x+3中,x=0,则y=3,
即,C(0,3),在RtAAOC中,40=1,CO=3,
因此,tanZACO=—=-,
CO3
(3)如图所示,过点。作肱7_13。交BP于〃、N点,即点P分别位于线段BC的上方或
下方,
①当P位于线段3c的上方,过N作y轴垂线交于E点,
0C=BC=3,
BC=30,
.•.ACO/?为等腰直角三角形,
而MV_L3C,
:.△COBs^NEC,
故A7VEC也为等腰直角三角形,
1NC
,tanZACO=tanZNBC=-=,
3BC
:.NC=42,
:.NE=EC=\,
故N(l,4),而(1,4)刚好为抛物线顶点坐标,即N与P南合,
P(l,4),
②当P位于线段BC的下方,过M作y轴垂线交于F点,
tanZACO=tanNMBC=1=",
3BC
而EN//MF,
.-.ZCMF=45°,即ACM尸也为等腰直角三角形,
MF=CF=1,
而点P'在直线MB上且与抛物线相交,
设直线MB的解析式为y=fcc+A,将8、M坐标代入得:
[2=-k+b
]Q=3k+b'
k=--
解得:2
,3
b=—
2
ia
直线MB的解析式为:y=——x+—,
22
13
y=——x+—
联立方程:22
y=-x2+2x4-3
1
x=——
x=3
解得:72或(舍去),
y=0
17
故p(-/,—)>
17
综上所述,当NP3C=NACO时,点。的坐标为(1,4)或(_鼻,-).
10.(2021•东莞市校级一模)如图1,二次函数^=以2+以+2的图象交x轴于点A(-2,0),
8(3,0),交y轴于点C,P是第一象限内二次函数图象上的动点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)过点P作PQJ_x轴于点。,若以点P、A、Q为顶点的三角形与ABOC相似,求点P
的坐标;
(3)如图2.连接交直线BC于点O,当点。是线段8c的三等分点时,求tan乙4DC
的值.
【答案】(1)y=--x2+-x+2(2)P(l,2)(3)tanZADC=—tanZADC=—
331916
【详解】(1)把A(-2,0),3(3,0)代入>=加+云+2,
4〃―2。+2=0
解得
9。+3b+2=0
b=—
/.这个二次函数的表达式为y=--X2+-X+2.
33
(2)如图1,设尸(x,--X2+1X+2)(0<X<3),则。(X,0).
33
抛物线y=-92+9+2与y轴交于点C,
「.0(0,2),OC=2,
又・.A(-2,0),3(3,0),
OA—2,OB=3,QA=x+2>
ZBOC=ZAQP=90°,且AAQPsA50c,
.PQ_QA
OCOB
11r
—x2+-x+2,与
.33_尤+2
••一,
23
整理,得f+工_2=0,解得石=1,%=-2(不符合题意,舍去),
2
(3)如图2,BD=-BC,设AP交y轴于点尸,作FG_LC。于点G,。石,x轴于点石.
DE//OC,
.•.ABED^MOC,
EBBDED2
"0C~3,
22c4
.-.£B=-x3=2,£D=-x2=->
333
:.OE=2>£4=3,
MFO^/SADE,
OFOA2
----=-----='—1,
EDEA3
248810
・•・o尸b=2o-§=5;
BC=M+》=岳,/4=sinN°C8=+,
CrDCYJLD
f^=25.=tanZBCO
CGOC
2210V1320vH
CG=-FG=-x--------
3339117
如18c=|x1=半
r-2>/1320/19A/13
•.•灰=小一丁—-=守
10而
3930
tanZ.ADC=----产=—;
19V1319
117-
1八万
如图3,BD=-BC=-^―>
ABED^^BOC,
EBEDBD\
'~OB=OC~~BC~3,
i12
EB=-OB=1,ED=-OC=--
333
:.OE=2,£4=4,
AAFO0°AADE)
OF_04J
ED-E4-2
5
.\OF=-ED=-x-=~.CF=2--
223333
FG=,4小叵,CG*FG=Z鸿10V13
3V1313331339
"G=g-姮-9T6屈
33939
5713
tanZADC=—.
16A16
39
综上所述,tanZADC=一或tanZADC=—.
11.(2020•广陵区校级一模)如图,抛物线y=-Y+fer+c与两轴分别交于A、B、C三点,
已知点A(-3,0),8(1,0).点P在第二象限内的抛物线上运动,作PD_Lx轴于点O,交直
线AC于点E.
(1)b=;c=;
(2)求线段PE取最大值时点P的坐标,这个最大值是多少:
(3)连接",并以"为边作等腰直角AAPQ,当顶点。恰好落在抛物线的对称轴上时,
直接写出对应的P点坐标.
【答案】⑴-2,3⑵(-1号⑶R(土”士普)上"血”"2,3)
2
【详解】(1)设抛物线的表达式为:y=6Z(X-X1)(X-X2)=-(X+3)(X-1)=-X-2A+3,
故b=-2,c=3,
故答案为:-2,3;
(2)c=3,
一.点C(O,3),
设直线AC的表达式为:y^mx+n,则[°=一淅+〃,解得:["之
[〃=31〃=3
故直线AC的表达式为:y=x+3,
设点P的坐标为:(乂-f_2X+3),则点E(x,x+3),
则PE=(-x2-2x+3)—(x+3)=-x2-3%,
-1<0,
故PE有最大值,此时x=-±Q,PE的最大值为O己,
24
点p的坐标为(-3,身);
24
(3)设点尸的坐标为:(m,n),〃=-*!-2,?^+3①,点Q(T,s),
①当NAPQ为直角时,如图1,
过点P作x轴的平行线交抛物线对称轴于点N,交过点A与y轴的平行线于点M.
NNPQ+NAPM=9。。,ZAPM+ZM4P=90°,
/MAP=/NPQ,
又・/PNQ=ZAMP=90。,PA=PQ,
・•.APNQ^MMP(AAS),
:.PN=MA,HP-\-m=n®,
联立①②并解得:x=7土布(舍去正值),
2
故点尸(土画,上叵);
22
②当NPQA为直角时,如图2,
过点P作PN垂直于抛物线对称轴于点N,抛物线对称轴交x轴于点M,
图2
同理可得:AMQ△w^QNP(AAS),
:.PN=QM.QN=AM,
即:〃一s=2③,-l—m=s®>
联立①③④并解得:加=-2或1(舍去1),
故点尸(-2,3);
③当NR4Q为直角时,
同理可得:点P的坐标为:(-1-3,2);
综上点P的坐标为::(7P式-1-6,2),P3(-2,3).
12.(2020•江都区校级一模)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,AAO8是等腰直
角三角形,2403=90。,4(2,1).
(1)求点5的坐标;
(2)求经过A、O、8三点的抛物线的函数表达式;
(3)在(2)所求的抛物线上,是否存在一点P,使四边形钻QP的面积最大?若存在,
求出点尸的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解】(1)如图I,过A作AC_Lx轴于点C,过3作3。轴于点。,
A4O8为等腰三角形,
/.AO=BO,
ZAOB=90°,
ZAOC+ZDOB=ZDOB+Z.OBD=90°,
/.ZAOC=/OBD,
在AACO和△OQ3中
ZAOC=ZOBD
<NACO=NODB
AO=BO
/.AACO=AODB(A4S),
A(2,l),
・♦8=AC=1,BD=OC=2,
,8(-1,2);
(2)•抛物线过。点,
可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
a_5
把A、B两点坐标代入可得1,解得16
\a-b=2,7
Ib=——
6
7
X
.•.经过A、B、O原点的抛物线解析式为y6-
(3)•四边形
二可知点P在线段。4的下方,
过P作PE//y轴交AO于点E,如图2,
图2
设直线AO解析式为丁=区,
42,1),
・•・直线AO解析式为丁=」”,
2
571
设尸点坐标为",-/--力,则E(r,-
662
157555/八25
/.PE=-t-(z-t2--tx)=一一t2+-t=一一(t-1)+一
2666366
2
SAAOP=^-PEx2=PE=-^t-1)^,
2oo
由42,1)可求得。4=08=6,
•s=-AO.BO=-
22
加边形AMP=SMOB+S“op=—杼+'+,=_:(£TA+岑,
--<0,
6
.■.当f=l时,四边形ABQP的面积最大,此时P点坐标为(1,-g),
综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P,其坐标为(1,-g).
13.(2020•邛江区校级一模)如图1,已知抛物线顶点C(l,4),且与y轴交于点0(0,3).
(1)求该抛物线的解析式及其与x轴的交点A、B的坐标;
(2)将直线AC绕点A顺时针旋转45。后得到直线AE,与抛物线的另一个交点为E,请求
出点E的坐标;
(3)如图2,点P是该抛物线上位于第一象限的点,线段钎交皿于点M、交y轴于点N,
和ADMN的面积分别为&,5,,求S1-S2的最大值.
【答案】(1)(-1,0)、(3,0)(2)E(-,—)(3)—
3932
【详解】(1)设抛物线的表达式为:y=a(x-/z)2+Z=a(x-l)2+4,
将点。的坐标代入上式并解得:a=-\,
故抛物线的表达式为:y=—(x—Ip+4=-/+2x+3①;
令y=0,则x=-l或3,
故点A、8的坐标分别为:(-1,0)、(3,0);
(2)如图,设函数的对称轴交x轴于点G,交AE于点”,过点H作HW_LAC于点N,
在AAGC中,tanZACG=—=-=-=tanZA7C^,
CG42
在RtACHN中,设“N=x,PI'JGV=/£VtanAHCN=2x,
在RtAANH中,NNAH=45°,则/W=AW=x,
故AC=/W+OV=3X=J(1+1)2+42=2&故》=孚,
在RtACHN中,CH=\ICN2+NH2=>/5x=—,故点
3
由点A、”的坐标得,直线4/的表达式为:y=--@,
3x+3
联立①②并解得:x=§或-1(舍去-1),
3
故点£(-,—);
39
(3)设点P的坐标为(九-4+2团+3),
由点P、A的坐标得,直线”的表达式为:y=-(机一3)(X+1),当x=0时,y=3-m,
即点N(0,3—m),即ON=3-利,
则S|—S?=[s用p—S.ON—S四边形08MN]~[SASQD—S四边形08MN]=S,
MBP-SAROD-S.MCW
即
x
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