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文档简介

专题07二次函数压轴题

1.(2021•扬州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=f+fcr+c的图象与x轴交于点

A(—1,0)、以3,0),与y轴交于点C.

(1)b=9c=;

(2)若点。在该二次函数的图象上,且%即=25的门求点。的坐标;

(3)若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点,且5^=538,直接写出点P的坐

【答案】(1)-2--3(2)0(1+而,6)或(1-布,6)(3)(4,5)

【详解】(1).•点A和点8在二次函数丫=/+云+。图象上,

0=1—b+cb=-2

则,解得:

0=9+3b+c

故答案为:—2,—3;

(2)连接BC,山题意可得:

A(-1,0),3(3,0),C(0,—3),y=x2-2x-3,

SMBC=]x4x3=6,

=2sMec>设点0(见4-2/n-3),

■~xA8x||=2x6>即gx4x|-2m-31=2x6,

解得:w=l+x/iOa£l-Vio,代入y=x?-2x-3,

可得:y值都为6,

D(1+V10,6)或(1-亚,6);

・点P在抛物线位于X轴上方的部分,

1或〃>3,

当点P在点A左侧时,即

可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离,

,1'SMPC<SgPK'不成乂;

当点P在点3右侧时,即〃>3,

A4PC和AAP3都以"为底,若要面积相等,

则点3和点C到"的距离相等,^BCHAP,

设直线BC的解析式为y="+p,

[0=3A+p

则.1,解得:[k=\,

[-3=p[p=-3

则设直线AP的解析式为y=x+q,将点A(-1,O)代入,

贝I—1+q=0,解得:q—\,

则直线AP的解析式为y=x+l,将25,〃2一2〃一3)代入,

即”2-2〃-3=〃+1,

解得:”=4或〃=-1(舍),

〃2-2〃-3=5,

.,•点尸的坐标为(4,5).

2.(2018•扬州)如图1,四边形。43c是矩形,点A的坐标为(3,0),点。的坐标为(0,6),

点P从点O出发,沿。4以每秒1个单位长度的速度向点A运动,同时点。从点A出发,沿

以每秒2个单位长度的速度向点8运动,当点尸与点A重合时运动停止.设运动时间为

r秒.

(1)当f=2时,线段PQ的中点坐标为;

(2)当ACBQ与APAQ相似时,求才的值;

(3)当f=l时,抛物线yuV+fov+c经过尸,。两点,与y轴交于点抛物线的顶点

为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点。,使=若存在,求出所

有满足条件的。的坐标;若不存在,说明理由.

【详解】(1)如图1,•点A的坐标为(3,0),

.,.04=3,

当t=2时,OP=t=2,AQ=2f=4,

.•.尸(2,0),6(3,4),

线段尸。的中点坐标为:(=,吗),即(2,2);

222

故答案为:(2,2):

2

(2)如图1,.,当点尸与点A重合时运动停止,且APA。可以构成三角形,

,\0</<3,

四边形045。是矩形,

/.ZB=ZPAg=90°,

.•.当ACB。与APAQ相似时,存在两种情况:

①当"时,得=器,

.3-Z6-2/

..-----=--------,

2t3

4?-15r+9=0,

3

(/—3)(Z——)=0,

4

3

4=3(舍),G=—'

4

PAnr

②当APAQSAC3Q时,—=—,

•3-5_3

一~2T~6-2t1

产一为+9=0,

9±3近

t=----------,

2

9+3石°

---------->3,

2

・1=2叵不符合题意,舍去,

2

综上所述,当ACB。与APA。相似时,f的值是3或上辿;

42

(3)当f=l时,P(l,0),。(3,2),

把尸(1,0),Q(3,2)代入抛物线y=丁+法+c中得:

]+b+c=0b=-3

解得:

9+3b+c=2c=2

••・抛物线:

4

顶点Kg»-~),

2(3,2),M(0,2),

.•.MQ//X轴,

作抛物线对称轴,交MQ丁E,设。。交y轴于H,

:.KM=KQ,KELMQ,

:.NMKE=ZQKE=gZMKQ,

如图2,NMQD=;ZMKQ=NQKE,

tanNMQD=tanZQKE=—=丝,

MQEK

3

即竺i=MH=2,

32+l

4

.•.”(0,4),

易得〃Q的解析式为:y=--x+4,

’2“

EIy--x+4

则r3,

y=x2-3x+2

%2—3x+2=—x4-4,

3

2

解得:%=3(舍),%2=——»

・•・。(二,竺);

39

同理,在”的下方,y轴上存在点”,如图3,使N〃QM=g/MKQ=NQKE,

由对称性得:”(0,0),

易得。。的解析式:y=(x,

2

则尸M,

y=x2-3x+2

x~—3x+2=­x,

3

?

解得:玉=3(舍),x2=—»

综上所述,点O的坐标为:£»(-|,9)或(|,》•

3.(2021•江都区模拟)已经二次函数丫=以2+法+].

(1)如图,其图象与x轴交于点A(-l,0)和点5,与y轴交于点C,对称轴为直线x=l.

①求二次函数解析式;

②F为线段BC上一点,过F分别作x轴,y轴垂线,垂足分别为E、F,当四边形OEAG

为正方形时,求点尸坐标;

(2)其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数,且二次函数)>=如2+汝+1函数值

存在负数,求b的取值范围.

【答案】⑴y=--x2+-x+\F(-,-)(2)b<--,S.h^-\

'33442

a-b+l=0=」

3

【详解】(1)①由题:b,解得<

---=1

,2a

17

・•・二次函数解析式为:y=--x2+-x+l;

33

②设3C解析式为:y=kx+b,对称轴为直线%=1.

,图象与x轴交于点A(-1,0)和点B,对称轴为直线x=l.

・,.点3(3,0),

..八、、,口f3Z+/?=0

将8(3,0),CQ1)代入得:,

[b=i

解得:"=一屋

b=\

.•.3。解析式为:y=-L+l,

3

设点4-1)»

.・四边形O£FG是正方形,

;.EF=GF,

1,

/.m=——,

3

解得m=—

4

冶]);

44

(2)二次函数的图像其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数,

.•.-工二&+云+1有两相等实根,即汗+S+l)x+l=0有两相等实根,

一[仍+1)2—4〃=0,

解得:a=("+D>0,且bW-1,

4

y=加+云+1存在负值,

二.从一4々=/一出+1)2>0,解得/

2

综上:且人工一1.

2

4.(2021•祁江区二模)我们知道求函数图象的交点坐标,可以联立两个函数解析式组成方

程组,方程组的解就是交点的坐标.如:求直线y=2x+3与y=-x+6的交点坐标,我们可

以联立两个解析式得到方程组P=2X+3,解得卜=1,所以直线y=2x+3与y=-x+6的

=+6[v=5

交点坐标为(1,5).请利用上述知识解决下列问题:

(1)求直线y=x-2和双曲线的交点坐标;

x

(2)已知直线丫="-3和抛物线y=d+2x+4,若直线与抛物线只有一个交点,则k的值

为:

(3)如图,已知点A(a,0)是x轴上的动点,B(0,4&),以为边,在旗右侧作正方

形ABCD,当正方形/WCD的边与反比例函数y=逑的图象有4个交点时,请直接求出a

X

【答案】(1)(3,1)或(-1,-3)(2)2土2由(3)a>2或-16<aJ

y=x-2

【详解】(I)由题意得:3,

丫=一

X

4

直线y=x—2和双曲线y=±的交点坐标为(3,1)或(—1,—3);

x

(2)联立直线丫=履-3和抛物线y=V+2x+4,得:x2+2x+4=fcr-3,

x2+(2-k)x+7=0,

,直线与抛物线只有一个交点,

△=(2—Q2-4xlx7=r-4k-24=0,

解得:k=2±2\/7,

故答案为:2±2";

(3)①当寸,如图1,

设直线AB的解析式为y=mx+n<

A(a,O),8(0,4&),

am+n=0

1=4a,

777=---4----

解得:a,

n=4^2

直线AB的解析式为y=--x+4y/2,

a

当线段A5与双曲线只有一个交点时,

联立43的解析式和反比例函数y=2也,得:-逑》+4及=述,

xax

整理得:2%2-2ar+a=0,

△=(-2a)2-4x2〃=0,

解得:a=2,

.•.当a>2时,正方形ABCD的边与反比例函数的图象有4个交点;

②当avO时,如图2,

i)当边AO与双曲线只有一个交点时,过点。作轴于点七,

44O+NZME=90。,ZDAE+ZADE=9^,

ABAO=ZADE,

AB=AD,ZAOB=ZDEA=90°,

:.^OB=\DEA{AAS),

:.ED=AO=-a,AE=OB=4y/2,

故点O(a+4夜,〃),

设直线AD的解析式为>=町工+4,

A(6Z,0),£)(。+4&,a),

aniy+4=0

3+4夜)叫+ni=a

解得:8,

V22

n.=-----a

直线4)的解析式为y邛6-会,

联立AD的解析式与反比例函数解析式并整理得:ar2-«2x-16=0,

_4〃X(_16)=0,

解得:a=T或a=0(舍去),

:.a<-4y

ii)当边8C与双曲线有一个交点时,

同理可得:”=-16,

/.a>—16,

所以当正方形A5CD的边与反比例函数的图象有4个交点时,”的取值范围为:-16<a<-4;

图1

5.(2021•宝应县二模)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(皿2)(其中机为常数),点8

与点A关于y轴对称.在实数范围内定义函数y=(其中w为常数)的图

[x+x+m(x<1)

象为G.

(1)当点(-1,2)在G上时,则机的值是;

(2)求点5在G上时,求机的值;

(3)当y最小值的取值范围是-2掰,-1时,请直接写出机的取值范围.

【答案】(1)m=2(2)m=6(3)3励!4或一工釉t--

44

【详解】(1)把点(一1,2)代入丁=/+工+加,则1-1+加=2,

:.m=2;

(2)点A的坐标为(九2)(其中〃?为常数),点8与点A关于y轴对称,

点3的坐标为(一肛2),

当一/九.1时,即〃4,-1时,

把点(一"2)代入y=f+x-,则一加一"2=2,解得帆=1±J5(舍去),

当—m<1时,即机>一1时,

把点(一九2)代入y=V+x+m,则〃/一机+加=2,解得m=土(负值舍去),

综上,m=A/2;

(3)当图形G上最低点落在函数y=12+x-〃7(x..l)的图象上时,则最低点坐标为(1,2-峭,

.,.一2领—m—1,

解得:3张M4;

当图形G上最低点落在函数y=f+x-m(尢<2)的图象上时,

同理:一,7鼓帆3

44

y=X2+x+加的顶点C(——,m——),

当x=l时,y=x2+x-机的点£)(1,2-/77),

1c

m——=2—m,

4

解得"7=2,

8

a

当小,一时,D为最低点;

8

Q

当"2<—时,C为最低点.

8

综上所述,机的取值范围为:3张如4或-2轰近

44

6.(2021•江都区二模)如图,已知抛物线y=o?+bx-3与x轴交于A(-2,0)、8(6,0)两点,

与y轴交于C点,设抛物线的顶点为£).过点。作£>E_Lx轴,垂足为E.P为线段上上

一动点,尸("?,0)为x轴上一点,且PCP/7.

(1)求抛物线的解析式;

(2)①当点P与点。重合时,求加的值;

②在①的条件下,将ACOF绕原点按逆时针方向旋转90。并平移,得到△CCK,点C,O,

产的对应点分别是点C-。「月,若△CQ,的两个顶点恰好落在抛物线上,直接写出点

耳的坐标;

(3)当点尸在线段史上运动时,求机的变化范围.

备用图

【答案】(1)y=-x2-x-3(2)m=4F^-,2)或(一U,£_)(3)?领加4

4,21661448

【详解】(1)将4-2,0)、3(6,0)代入抛物线解析式丫=奴2+云-3中得:

1

44-26-3=0

解得:4,

36。+6b—3=0

.••该抛物线的解析式为:y=-x2-x-3,

4

(2)①。为抛物线的顶点,

.­.0(2,-4),

当点P与点。重合时,如图所示:过点。作G£>〃x轴,过尸点作y轴平行线交8延长线

于点H,

由题意易得:CG=3GD=2,FH=4,而PC上PF,HPZCDF=90°,

NCGD=ZDHF=90°,ZCDG=ZDFH,

:.\CGD^^DHF,

CGGD12

---=---即nn,----=—,

DHHFDH4

:.DH=2,

而四边形£DEH为矩形,,EF=DH=2,

:.OF=4r即尸(4,0),

/.m=49

(2)按题意,将△(%>「绕原点按逆时针方向旋转90。得到△CVF,如图所示:

显然此时U、。、/三点都不在抛物线上,故需要将△CO尸平移才能得到两个顶点恰

好落在抛物线上,根据C'、O'、F三点特点,可设:

a(X,y),则G*+3,y),耳(x,y+4),

①当。G经平移后在抛物线上,把a(x,y),G(x+3,y)代入)=;/一工一3中:

y=-x2-x-3

4

解得:x=1,

2

②当6G经平移后在抛物线上,把耳(x,y+4),。I*+3,),)代入》=工X2一1一3中:

4

/12c

y+4=-x-x-3

<,

y=—(X+3)2—(元+3)-3

I4

解得:x=--

6

故平叫施

③当。苗经平移后在抛物线上,因为。口耳在竖直方向,故不成立.

综上所述:甲L2)或(一丝,望),

'2166144

(3)O(2,T),£(2,0),C(0,—3),点P为线段DE上一动点,尸(九0)为工轴上一点,且

PC-LPF,

如(2)①中当点P与点。重合时,m=4,取得最大,随着P向石移动,相随之变化,设

存在一点P使团最小,如图所示:

根据AFEPSAPQC得:

FEEP2-m_y

——=——即011:

PQQC3-y2

17

可得关系式:相1+-

8

177

->0,当y=二时,加取得最小值一,

228

7

综上所述:一效帆4.

8

7.(2021•湖北模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线丁=以2+灰+c的图象与x轴交于

A(4,0),8两点,与y轴交于点C(0,2),对称轴x=l,与无轴交于点H.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)直线>=丘+1(%*0)与y轴交于点E,与抛物线交于点尸,Q(点P在y轴左侧,点。

在y轴右侧),连接CP,CQ,若ACP。的面积为逐,求点P,。的坐标;

(3)在(2)的条件下,连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将

线段GK绕点G顺时针旋转90。,使点K恰好落在抛物线上?若存在,请直接写出点K的坐

标;若不存在,请说明理由.

【答案】⑴y=--x2+-x+2(2)(-1-A/5,-拘、(-1+75,8(3)K(l,2土半)

【详解】⑴对称轴x=I,则点3(-2,0),

则抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8),即-8a=2,解得:a=--,

4

故抛物线的表达式为:>=」/+4+2;

’42

(2)设直线尸。交y轴于点夙0,1),点P、。横坐标分别为〃,7〃,

△C尸Q的面积=—xCEx(〃一根)=石,即〃一加=2行,

2

联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得:一;幺+(;一左口+1=0…①,

机+〃=2—4攵,〃7Z2=T,

n-m=2\/5=J(m+=2-=y](2-4k)24-16,

解得:k=a(舍去)或1;

将后=1代入①式并解得:x=-l±V5,

故点P、Q的坐标分别为:(-1-小,-石)、(-1+石,V5).

(3)设点K(l,〃z),线段GK绕点G顺时针旋转90。,得到线段GR.

联立尸。和AC的表达式并解得:x=|,故点G(|,|)

过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M,交过点R与y轴的平行线于点N,

215

GM=1一一=—=NR,MK=\一一加

333

故点R的纵坐标为:则点/?(〃—,3)

33

将该坐标代入抛物线表达式解得:x=l±—,

3

痂“底

故加=2±---,

3

故点K(l,2士半).

8.(2021•东莞市一模)如图,已知抛物线丫=正+翼+,与x轴相交于A(-l,0),8(加,0)两

点,与y轴相交于点C(0,-3),抛物线的顶点为。.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点E在x轴上,且NECB=NCBD,求点E的坐标.

(3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点P作P4,x轴于点",与BC交于点M.

①求线段PM长度的最大值.

②在①的条件下,若下为y轴上一动点,求丹/+”F+孝。尸的最小值.

【答案】(1)y=/-2x-3(2)点E的坐标是(|,0)或(6,0)(3)g叱十.

}-b+c=O

【详解】(I)把4-1,0),点C(0,-3)代入抛物线1=入+物+。中得:

c=-3

b=-2

解得:

c=-3

抛物线的解析式为:y=d-2x-3;

(2)y=x2-2x-3=(x-l)2-4

二顶点O(D,

当y=0时,X2-2X-3=0,

(x-3)(x+l)=0,

x=3或一1,

8(3,0);

如图I,连接80,

图1

设比>所在直线的解析式为:y=Jt(x-3),将。点坐标代入函数解析式,得—24=-4,

解得攵=2,

故必所在直线的解析式为:y=2x-6,

AECB=/CBD,

:.CE/!BD,

设CE所在直线的解析式为:y=2x+b,将C点坐标代入函数解析式,得匕=-3,

故CE所在直线的解析式为:y=2x-3,

3

当y=0时,x=|

同理,当点E在点3的右侧时,点E的坐标是(6,0).

3

.,.综上所述,点E的坐标是(/,0)或(6,0);

8(3,0),C(0,-3),

设8c的解析式为:y=kx+b,

3k+b=0

b=-3

k=l

解得:

b=-3'

3c的解析式为:y=x-3,

设P(x,d-2x-3),则M(x,x-3),

3Q

PM=(x—3)—(x**—2x—-3)=—%2+3x=—(x——)2+—,

当时,尸M有最大值为2;

24

②当尸M有最大值,P(2,

24

在x轴的负半轴了取一点K,使NOCK=45。,过F作FNLCK于N,

...FN=^CF,

2

当N、尸、”三点共线时,PH+NH最小,即PH+族+丫-。尸的值最小,

2

RtAOCK中,OC=3,

:.OK=3,

OH=—,

2

39

:,KH=-+3=-

22f

RtAKNH中,/KHN=45。,

,,KN=—KH=^f

24

9J2

■,NH=KN=^—,

4

PH+HF+—CF的最小值是PH+NH=9员於

24

9.(2021•建湖县一模)如图,在平面直角坐标系x。),中,抛物线y=ax2+H+3(a、。为常

数,且a*0)与x轴交于点4-1,0)和点8,与y轴交于点C,已知该抛物线的对称轴是直

线x=I.

(1)求抛物线的表达式及点5的坐标;

(2)连接AC、BC,求N4CO的正切值;

(3)已知点P是抛物线上的一点,连接3P,当NPBC=NACO时,求点P的坐标.

【详解】(1)抛物线丫=火2+灰+3与彳轴交于点A(-l,0)且抛物线的对称轴是直线x=1,

"1

2a

0=a-b+3

解得:

b=2

.•・抛物线的表达式为:y=-/+2x+3;

令y=0,则一/+2》+3=0,

解得:x,=—1,Xj=3>

8(3,0),

(2)令抛物线y=-f+2x+3中,x=0,则y=3,

即,C(0,3),在RtAAOC中,40=1,CO=3,

因此,tanZACO=—=-,

CO3

(3)如图所示,过点。作肱7_13。交BP于〃、N点,即点P分别位于线段BC的上方或

下方,

①当P位于线段3c的上方,过N作y轴垂线交于E点,

0C=BC=3,

BC=30,

.•.ACO/?为等腰直角三角形,

而MV_L3C,

:.△COBs^NEC,

故A7VEC也为等腰直角三角形,

1NC

,tanZACO=tanZNBC=-=,

3BC

:.NC=42,

:.NE=EC=\,

故N(l,4),而(1,4)刚好为抛物线顶点坐标,即N与P南合,

P(l,4),

②当P位于线段BC的下方,过M作y轴垂线交于F点,

tanZACO=tanNMBC=1=",

3BC

而EN//MF,

.-.ZCMF=45°,即ACM尸也为等腰直角三角形,

MF=CF=1,

而点P'在直线MB上且与抛物线相交,

设直线MB的解析式为y=fcc+A,将8、M坐标代入得:

[2=-k+b

]Q=3k+b'

k=--

解得:2

,3

b=—

2

ia

直线MB的解析式为:y=——x+—,

22

13

y=——x+—

联立方程:22

y=-x2+2x4-3

1

x=——

x=3

解得:72或(舍去),

y=0

17

故p(-/,—)>

17

综上所述,当NP3C=NACO时,点。的坐标为(1,4)或(_鼻,-).

10.(2021•东莞市校级一模)如图1,二次函数^=以2+以+2的图象交x轴于点A(-2,0),

8(3,0),交y轴于点C,P是第一象限内二次函数图象上的动点.

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)过点P作PQJ_x轴于点。,若以点P、A、Q为顶点的三角形与ABOC相似,求点P

的坐标;

(3)如图2.连接交直线BC于点O,当点。是线段8c的三等分点时,求tan乙4DC

的值.

【答案】(1)y=--x2+-x+2(2)P(l,2)(3)tanZADC=—tanZADC=—

331916

【详解】(1)把A(-2,0),3(3,0)代入>=加+云+2,

4〃―2。+2=0

解得

9。+3b+2=0

b=—

/.这个二次函数的表达式为y=--X2+-X+2.

33

(2)如图1,设尸(x,--X2+1X+2)(0<X<3),则。(X,0).

33

抛物线y=-92+9+2与y轴交于点C,

「.0(0,2),OC=2,

又・.A(-2,0),3(3,0),

OA—2,OB=3,QA=x+2>

ZBOC=ZAQP=90°,且AAQPsA50c,

.PQ_QA

OCOB

11r

—x2+-x+2,与

.33_尤+2

••一,

23

整理,得f+工_2=0,解得石=1,%=-2(不符合题意,舍去),

2

(3)如图2,BD=-BC,设AP交y轴于点尸,作FG_LC。于点G,。石,x轴于点石.

DE//OC,

.•.ABED^MOC,

EBBDED2

"0C~3,

22c4

.-.£B=-x3=2,£D=-x2=->

333

:.OE=2>£4=3,

MFO^/SADE,

OFOA2

----=-----='—1,

EDEA3

248810

・•・o尸b=2o-§=5;

BC=M+》=岳,/4=sinN°C8=+,

CrDCYJLD

f^=25.=tanZBCO

CGOC

2210V1320vH

CG=-FG=-x--------

3339117

如18c=|x1=半

r-2>/1320/19A/13

•.•灰=小一丁—-=守

10而

3930

tanZ.ADC=----产=—;

19V1319

117-

1八万

如图3,BD=-BC=-^―>

ABED^^BOC,

EBEDBD\

'~OB=OC~~BC~3,

i12

EB=-OB=1,ED=-OC=--

333

:.OE=2,£4=4,

AAFO0°AADE)

OF_04J

ED-E4-2

5

.\OF=-ED=-x-=~.CF=2--

223333

FG=,4小叵,CG*FG=Z鸿10V13

3V1313331339

"G=g-姮-9T6屈

33939

5713

tanZADC=—.

16A16

39

综上所述,tanZADC=一或tanZADC=—.

11.(2020•广陵区校级一模)如图,抛物线y=-Y+fer+c与两轴分别交于A、B、C三点,

已知点A(-3,0),8(1,0).点P在第二象限内的抛物线上运动,作PD_Lx轴于点O,交直

线AC于点E.

(1)b=;c=;

(2)求线段PE取最大值时点P的坐标,这个最大值是多少:

(3)连接",并以"为边作等腰直角AAPQ,当顶点。恰好落在抛物线的对称轴上时,

直接写出对应的P点坐标.

【答案】⑴-2,3⑵(-1号⑶R(土”士普)上"血”"2,3)

2

【详解】(1)设抛物线的表达式为:y=6Z(X-X1)(X-X2)=-(X+3)(X-1)=-X-2A+3,

故b=-2,c=3,

故答案为:-2,3;

(2)c=3,

一.点C(O,3),

设直线AC的表达式为:y^mx+n,则[°=一淅+〃,解得:["之

[〃=31〃=3

故直线AC的表达式为:y=x+3,

设点P的坐标为:(乂-f_2X+3),则点E(x,x+3),

则PE=(-x2-2x+3)—(x+3)=-x2-3%,

-1<0,

故PE有最大值,此时x=-±Q,PE的最大值为O己,

24

点p的坐标为(-3,身);

24

(3)设点尸的坐标为:(m,n),〃=-*!-2,?^+3①,点Q(T,s),

①当NAPQ为直角时,如图1,

过点P作x轴的平行线交抛物线对称轴于点N,交过点A与y轴的平行线于点M.

NNPQ+NAPM=9。。,ZAPM+ZM4P=90°,

/MAP=/NPQ,

又・/PNQ=ZAMP=90。,PA=PQ,

・•.APNQ^MMP(AAS),

:.PN=MA,HP-\-m=n®,

联立①②并解得:x=7土布(舍去正值),

2

故点尸(土画,上叵);

22

②当NPQA为直角时,如图2,

过点P作PN垂直于抛物线对称轴于点N,抛物线对称轴交x轴于点M,

图2

同理可得:AMQ△w^QNP(AAS),

:.PN=QM.QN=AM,

即:〃一s=2③,-l—m=s®>

联立①③④并解得:加=-2或1(舍去1),

故点尸(-2,3);

③当NR4Q为直角时,

同理可得:点P的坐标为:(-1-3,2);

综上点P的坐标为::(7P式-1-6,2),P3(-2,3).

12.(2020•江都区校级一模)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,AAO8是等腰直

角三角形,2403=90。,4(2,1).

(1)求点5的坐标;

(2)求经过A、O、8三点的抛物线的函数表达式;

(3)在(2)所求的抛物线上,是否存在一点P,使四边形钻QP的面积最大?若存在,

求出点尸的坐标;若不存在,请说明理由.

【详解】(1)如图I,过A作AC_Lx轴于点C,过3作3。轴于点。,

A4O8为等腰三角形,

/.AO=BO,

ZAOB=90°,

ZAOC+ZDOB=ZDOB+Z.OBD=90°,

/.ZAOC=/OBD,

在AACO和△OQ3中

ZAOC=ZOBD

<NACO=NODB

AO=BO

/.AACO=AODB(A4S),

A(2,l),

・♦8=AC=1,BD=OC=2,

,8(-1,2);

(2)•抛物线过。点,

可设抛物线解析式为y=ax2+bx,

a_5

把A、B两点坐标代入可得1,解得16

\a-b=2,7

Ib=——

6

7

X

.•.经过A、B、O原点的抛物线解析式为y6-

(3)•四边形

二可知点P在线段。4的下方,

过P作PE//y轴交AO于点E,如图2,

图2

设直线AO解析式为丁=区,

42,1),

・•・直线AO解析式为丁=」”,

2

571

设尸点坐标为",-/--力,则E(r,-

662

157555/八25

/.PE=-t-(z-t2--tx)=一一t2+-t=一一(t-1)+一

2666366

2

SAAOP=^-PEx2=PE=-^t-1)^,

2oo

由42,1)可求得。4=08=6,

•s=-AO.BO=-

22

加边形AMP=SMOB+S“op=—杼+'+,=_:(£TA+岑,

--<0,

6

.■.当f=l时,四边形ABQP的面积最大,此时P点坐标为(1,-g),

综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P,其坐标为(1,-g).

13.(2020•邛江区校级一模)如图1,已知抛物线顶点C(l,4),且与y轴交于点0(0,3).

(1)求该抛物线的解析式及其与x轴的交点A、B的坐标;

(2)将直线AC绕点A顺时针旋转45。后得到直线AE,与抛物线的另一个交点为E,请求

出点E的坐标;

(3)如图2,点P是该抛物线上位于第一象限的点,线段钎交皿于点M、交y轴于点N,

和ADMN的面积分别为&,5,,求S1-S2的最大值.

【答案】(1)(-1,0)、(3,0)(2)E(-,—)(3)—

3932

【详解】(1)设抛物线的表达式为:y=a(x-/z)2+Z=a(x-l)2+4,

将点。的坐标代入上式并解得:a=-\,

故抛物线的表达式为:y=—(x—Ip+4=-/+2x+3①;

令y=0,则x=-l或3,

故点A、8的坐标分别为:(-1,0)、(3,0);

(2)如图,设函数的对称轴交x轴于点G,交AE于点”,过点H作HW_LAC于点N,

在AAGC中,tanZACG=—=-=-=tanZA7C^,

CG42

在RtACHN中,设“N=x,PI'JGV=/£VtanAHCN=2x,

在RtAANH中,NNAH=45°,则/W=AW=x,

故AC=/W+OV=3X=J(1+1)2+42=2&故》=孚,

在RtACHN中,CH=\ICN2+NH2=>/5x=—,故点

3

由点A、”的坐标得,直线4/的表达式为:y=--@,

3x+3

联立①②并解得:x=§或-1(舍去-1),

3

故点£(-,—);

39

(3)设点P的坐标为(九-4+2团+3),

由点P、A的坐标得,直线”的表达式为:y=-(机一3)(X+1),当x=0时,y=3-m,

即点N(0,3—m),即ON=3-利,

则S|—S?=[s用p—S.ON—S四边形08MN]~[SASQD—S四边形08MN]=S,

MBP-SAROD-S.MCW

x

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