代数的实际应用-2021年中考数学一轮考点复习练习

专题五代数的实际应用

类型U方程（组）应用题

1.（2019•百色）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流

航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时.

（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；

（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行

时间相同，问甲、丙两地相距多少千米.

解：（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时.

,J6(x+y)=90,x=12

依题意华(6+4)解得1

(x-y)=90.[y=3.

答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时.

（2）设甲、丙两地相距a千米.

a90—a解得等.

依题意，得・a=

12+312-3,

225

答：甲、丙两地相距二千米.

2.（2020•扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染.

进货单

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:

李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.

王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件.

请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单.

解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为L5x元/件，根据题意，得

72003200

解得

1.5x------=40,x=40.

经检验，x=40是原方程的解.

包7200

.,.1.5x=60,=80,=120.

1.5x

补全进货单如下:

进货单

商品进价（元/件）数量（件）总金额（兀）

甲601207200

乙40803200

3.（2019•大连）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元.

⑴求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；

（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年

该村的人均收入是多少元？

解：⑴设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为X.

根据题意，20000（1+x）2=24200,

解得xi=0.1=10%,X2=-Z1（舍去）.

答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.

（2）24200X（1+10%）=26620（元）.

答：预测2019年该村的人均收入是26620元.

4.“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费:

用水量/月单位(元/吨)

不超过40吨的部分1

超过40吨的部分1.5

另：每吨用水加收0.2元的城市污水处理费

⑴某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨；

(2)若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元,

该用户2月份实际应交水费多少元？

W：(1)V40Xl+0.2X40=48<65,

用水超过40吨.

设1月份用水x吨，由题意得：

40Xl+(x-40)X1.5+0.2x=65,

解得：x=50.

答：1月份用水50吨.

(2)V40X1+0.2X40=48>43.2,

用水不超过40吨.

设2月份实际用水y吨，由题意，得：

lX60%y+0.2X60%y=43.2,

解得：y=60.

40X1+(60-40)X1.5+60X0.2=82(元).

答：该用户2月份实际应交水费82元.

5.为发展校园足球运动，雅礼实验中学决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、

乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50

元，两套队服与三个足球的费用相等.经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，

送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折.

(1)求每套队服和每个足球的价格是多少；

(2)若购买100套队服和a个足球(a>10),请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场

购买装备所花的费用；

(3)在(2)的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？

解：(1)设每个足球的定价是x元，则每套队服是(x+50)元，根据题意得

2(x+50)=3x.

解得x=100.

x+50=150.

答：每套队服150元，每个足球100元.

(2)到甲商场购买所花的费用为：100a4-14000(元),

到乙商场购买所花的费用为：80a+15000(元).

(3)由100a+14000=80a+15000,得：a=50,所以：

①当a=50时，两家花费一样；

②当a<50时，到甲商场购买更合算：

③当a>50时，到乙商场购买更合算.

类型回函数应用题

1.(2020•成都)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将

一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件,

拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价

x(单位：元/件，12WxV24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：

x(元/件)1213141516

y(件)120011001000900800

(1)求y与x的函数关系式；

(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问：当x为

多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.

解：(1)设y与x的函数关系式为丫=1«+1).

将x=12,y=1200：x=13,y=1100代入，得

1200=12k+b,fk=-100,

i,解得彳

[1100=13k+b,[b=2400.

Ay与x的函数关系式为y=-100x+2400.

(2)设商家线上和线下的月利润总和为w元，则可得w=400(x—2—10)+y(x-10)=—

100(X-19)2+7300.

.•.当线下售价定为19元/件时，月利润总和达到最大，此时最大利润为7300元.

2.(2019•辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，

物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量

y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示.

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

140

100

3050久/元

(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利

最大？最大获利是多少元？

解：(1)设一次函数关系式为y=kx+b(kWO).由图象可得，当x=30时，y=140;x=50

时，y=100

140=30k+b,fk=-2,

：.\,解得

[100=50k+b.1b=200.

与x之间的关系式为y=-2x+200(30^x^60).

⑵设该公司日获利为W元，由题意得

W=(x—30)(-2x+200)-450=-2(x-65)2+2000.

Va=-2<0,二抛物线开口向下.

,对称轴x=65,

，当x<65时，W随着x的增大而增大.

•.,30<x<60,...x=60时，W有最大值，

W*大值=-2X(60-65)2+2000=1950.

答：销售单价为每千克60元时日获利最大，最大获利为1950元.

3.(2019♦包头)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡

季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨;.据统计，淡季该公司平均每

天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日

租金总收入为4000元.

(1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金是多少元？

(2)经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会

减少1辆，不考虑其他因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总

收入最高？

解：(1)设货车出租公司对外出租的货车共有x辆.

如报班工，.人工。

根据题意，得1笆5600（1+3尸4000

解得x=20.经检验：x=20是所列方程的根.

:.1500+（20-10）=150（元）.

答：货车出租公司对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金是150元.

（2）设当旺季每辆货车的日租金上涨a元时，货车出租公司的日租金总收入为W元.根据

题意，得

W=a+150X（1+3卜（20一知

.,.W=-^7a2+10a+4000=-^7（a-100）2+4500.

/U/U

V-^<0,，当a=100时，W有最大值.

答：当旺季每辆货车的日租金上涨100元时，货车出租公司的日租金总收入最高.

4.（2019•舟山）某农作物的生长率p与温度t（C）有如下关系：p

如图，当100W25时可近似用函数p=*t—/刻画；当二二彳、

25Wt/37时可近似用函数p=L/i\.

（）102537，（七）

一看（t—h）2+0.4刻画.

（1）求h的值.

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部

分数据如下：

生长率P0.20.250.30.35

提前上市的天数m（天）051015

求：①m关于p的函数表达式;

②用含t的代数式表示m；

③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度.大棚恒温20°C时每天的成本为100元,

计划该作物30天后上市.现根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可

增加600元.因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20WtW25

时的成本为200元/天，但若欲加温到25<tW37,由于要采用特殊方法，成本增加到400

元/天.问加温到多少度时增加的利润最大，并说明理由.(注：农作物上市售出后大棚暂

停使用)

解：(1)把(25,0.3)代入p=一肃(t-hy+O.%得0.3=一击(25-h)2+0.4.

解得h=29或h=21,T25WhW37,Ah=29.

(2)①由表格可知m是p的一次函数，设皿=1^)+1),把(0.2,0),(0.3,10)代入，得

f0=0.2Xk+b,fk=100,

i,解得<

ll0=0.3Xk+b.[b=-20.

Am=100p—20.

②由(1)得：当10近tW25时，把p代入m得

-20=2t-40：

当25WtW37时,p=一击(t—h)2+0.4,

(t-h)2+0.4-20=-1(t-29)2+20.

o

2t-40,104W25

.•.m=j5

近

-8(t-29)2+20,25tW37

③设利涧为y元，贝U当20Wt<25时，y=600m+[100X30-200(30-m)]=800m-3000

=1600t-35000.

当20Wt<25时，y随t的增大而增大，当t=25时，最大值y=l600X25—35000=5000.

当25<tW37时，y=600m+[100X30-400(30-m)]=1000m-9000=-625(t-29)2+11

000.

Va=-625<0,

:.当t=29时，最大值y=11000.

VII000>5000,

当加温到29℃时，利润最大.

5.（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优

质草莓.根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间

f3x+15（1WXW15）,

满足m=_一"、（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系

[-x+75（15<xW30）.

如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.

（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销

售利润=日销售额一日维护费）

（3）求日销售利润y的最大值及相应的x.

12=k+b,k=2,

解：（1）当IWXWIO时，设n=kx+b,由图知可知V,解得<

30=10k+b.b=10.

.'.n=2x+10.

同理，当10<xW30时，n=-1.4x4-44.

2x+10(IWXWIO),

l-1.4x+44(10vxW30).

(2)Vy=mn—80,

，y=

(2x+10)(3x4-15)-80(l〈x《10),

(-1.4x4-44)(3x4-15)-80(10<x<15),

(-1.4x4-44)(-x+75)-80(15WxW30).

即

(6X2+60X+70(IWXWIO),

y=<-4.2x2+lllx+580(10<x<15),

11.4x2-149x+3220(15Wx<30).

(3)当l《x〈10时，

*/y=6x2+60x+70的对称轴为x=-5.

Z.y的最大值是yio=l270.

当10<x<15时，

,.,y=-4.2x2+lllx+580的对称轴是

x=^^=13.2vl3.5,

0.4

Ay的最大值是yu=l313.2.

149

当15Wx/30时，Vy=1.4x2-149x+3220的对称轴为x=jQ>30.

Ay的最大值是yis=l300.

综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元.

类型自方程与不等式应用题

1.(2020•常州)某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2

千克苹果和1千克梨共需22元.

⑴求每千克苹果和每千克梨的售价；

⑵如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

|x+3y=26,

解：(1)设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元.依题意，得：］,

,2x+y=22.

x=8,

解得：，

ly=6.

答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元.

(2)设购买m千克苹果，则购买(15—m)千克梨.

依题意，得：8m+6(15-m)^100.

解得：mW5.

答：最多购买5千克苹果.

2.(2019•福建)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日

废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产

规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量

的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理

一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，

5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.

⑴求该车间的日废水处理量m；

(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理

的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.

解：（l）：35X8+30=310（元），310070,

，m<35.依题意，得30+8m+12(35-m)=370,解得m=20.

答：该车间的日废水处理量为20吨.

⑵设一天产生的工业废水量为x吨.

①当0<x<20时，依题意，得8x+30W10x,解得x215,所以15WxW20;

②当x>20时，依题意，得12(x-20)+8X20+30W10x.解得xW25,所以20Vx近25.

综上所述，15WxW25.

故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.

3.(2019•柳州)小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价

比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数

量相同.

(1)求大本作业本与小本作业本每本各多少元；

(2)因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的

2倍，总费用不超过15元.则大本作业本最多能购买多少本？

解：(1)设小本作业本每本x元，则大本作业本每本(x+0.3)元.

QS

依题意，得：.解得x=0.5.

x+0.3x

经检验，x=0.5是所列方程的解，且符合题意，

x+0.3=0.8.

答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元.

(2)设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本.

依题意，得：0.8m+0.5X2m《15.解得mW磐.

；m为正整数，m的最大值为8.

答：大本作业本最多能购买8本.

4.（2019♦玉林）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策的号召，今年起采用“场内+农户”

养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产

蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg,现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.

（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；

（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多

为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点

的基础上至少再增加多少个销售点？

解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为X.

根据题意，得2.5（1+x）2=3.6,

解得xi=0.2,X2=—2.2（舍去）.

答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%.

9

（2）设至少再增加y个销售点，根据题意，得3.6+0.32y，3.6X（l+20%）.解得

・；y取整数，最小取3.

答：至少再增加3个销售点.

类型画方程与函数应用题

1.（2019•雅安）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：

商品甲乙

进价（元/件）x+60X

售价（元/件）200100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.

⑴求甲、乙两种商品的进价是多少元；

(2)若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件(a，30),设销售完50

件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值.

解：(1)依题意可得方程：黑^=攀.

解得x=60.

经检验x=60是所列方程的根，.•.x+60=120.

答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元.

(2),.,销售甲种商品为a件(a230),

...销售乙种商品为(50—a)件.

根据题意，得：w=(200-120)a+(100-60)(50-a)=40a+2000(a^30),

V40>0,w的值随a值的增大而增大.

:.当a=30时，w或小值=40X30+2000=3200(元).

2.为了抗击新冠病毒疫情，全国人民众志成城，守望相助，春节后某地一水果购销商安

排15辆汽车装运A,B,C三种水果共120吨销售，所得利润全部捐赠湖北抗疫.已知

按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种水果，每种水果所用车辆均不少于3

辆，汽车对不同水果的运载量和每吨水果销售获利情况如表.

水果品种ABC

汽车运载量(吨/辆)1086

水果获利(元/吨)80012001000

(1)设装运A种水果的车辆数为x辆，装运B种水果的车辆数为y辆，根据上表提供的信

息，

①求y与x之间的函数关系式;

②设计车辆的安排方案，并写出每种安排方案；

⑵若原有获利不变的情况下，当地政府按每吨50元的标准实行运费补贴，该经销商打算

将获利连同补贴全部捐出.问应采用哪种车辆安排方案，可以使这次捐款次数w(元)最大

化？捐款w(元)最大是多少？

解：(1)①由题意得装C种水果的车辆是(15—x—y)辆

贝I10x+8y+6(15-x-y)=120

即10x+8y+90-6x-6y=120

则y=15—2x

f15-2x5=3

②根据题意得：

115-x-(15-2x)23

解得：3WxW6

•:x为正整数

.♦.x=3,4,5,6

则有四种方案：A,B,C三种水果的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆；或4辆、7辆、

4辆；或5辆、5辆、5辆；或6辆、3辆、6辆

(2)w=10X800x4-8X1200(15-2x)+6X1000[15-x-(15—2x)]+120X50=-5

200x+150000

根据一次函数的性质，

Vk=-5200<0,w随x的增大而减小，

...当x=3时，w有最大值，最大值为一5200X3+150000=134400(元)

应采用A,B,C三种水果的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆.

3.(2019•绵阳)辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间.按现有定价:

若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业

额为5000元.

(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元；

(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间

会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲.如果游客居

住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时,

乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？

解：(1)设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元.

15x+20y=8500,

根据题意，得,

10x+10y=5000.

x=300,

解得

y=200.

答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元.

(2)设每间房间定价为a元.根据题意，得

a-200

m=(a-80)(20—-X2)

=—需(a-240)2+2560.

,当a=240时，m取得最大值，此时m=2560.

答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利涧是2560

元.

4.(2019•潍坊)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了

市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年

降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.

(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多

少元；

(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为41

元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千

克.设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的

利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其他费用忽略不计.)

解：(1)设今年这种水果每千克的平均批发价是x元，由题意，得

100000(1+20%)100000

••----x-----^+r=1。。。，

解得x=24或x=-5(舍去).

答：今年这种水果每千克的平均批发价是24元.

(2)设每千克的平均售价为m元.依题意，得

(41—m,、,,

w=(m-24)1---X180+3001=-60(m-35)2+7260.

V-60<0,

/.当m=35元时，w取最大值为7260.

答：每千克的平均销售价为35元时，一天的利润最大，最大利润是7260元.

类型园方程、不等式与函数应用题

1.(2019•内江)某商店准备购进A,B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的

进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.商店将

A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.

(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

⑵商店计划用不超过1560元的资金购进A,B两种商品共40件，其中A种商品的数量

不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

(3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m(10<m<20)元,

B种商品售价不变，在⑵条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.

解：(1)设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是(x—20)元.

七%省了30001800主尸

由四忌，彳于一斛彳等x—50.

xX—20

经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，

50-20=30.

答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元.

(2)设购买A种商品a件，则购买B种商品(40—a)件.

50a+30(40-a)/1560,

由题意得,40—a

a2-2"

40

解得手WaW18.

Ta为正整数，.\a=14,15,16,17,18.

答：商店共有5种进货方案.

⑶设销售A,B两种商品共获利w元.

由题意得：w=(80-50-m)a+(45-30)(40-a)=(15-m)a+600.

①当10cme15时，15—m>0,w随a的增大而增大，

.•.当a=18时，获利最大，即此时应购进18件A商品，22件B商品；

②当m=15时，15-m=0,w=600,(2)中所有进货方案获利相同；

③当15Vm<20时，15-m<0,w随a的增大而减小，

.•.当a=14时，获利最大，即此时应购进14件A商品，26件B商品.

2.（2019•荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织

八年级全体学生前往松滋潴水研学基地开展研学活动.在此次活动中，若每位老师带队

14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带

6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车乙型客车

载客量（人/辆）3530

租金（元/辆）400320

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有

2名老师.

（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数

为8辆:

（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人.

14x+10=y,x=16,

依题意，得<解得

、“0=234.

答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人.

（2）:（234+16）+35=7（辆）...5（人），

16+2=8（辆），

工租车总辆数为8辆;

⑶设租甲型客车m