深圳初中数学八年级下册期中典型试卷3

2021-2022学年下学期深圳初中数学八年级期中典型试卷3

选择题（共10小题）

1.（2021春•罗湖区期中）下列图形中是中心对称图形的是（）

c谣6029

2.（2021春♦罗湖区期中）x的■1与x的和不超过5用不等式可以表示为（）

8

A.三+xW5B.—+x<5C.—+x^5D.—+x>5

8888

3.（2021春•龙华区期中）龙华区正推行垃圾分类政策，下列垃圾分类标识中，是中心对称

图形的是（）

C.

4.（2021春•龙华区期中）把二次三项式，-5x-14分解因式，下列结果正确的是（）

A.(x+2)(x+7)B.(x-2)(x-7)C.(x-2)(x+7)D.(x+2)(x-7)

2

5.(2021春•济阳区期末)化简的结果是()

x-11-x

A.xB.-xC.x-1D.x+1

6.(2020•信阳一模)把不等式组］2X+3>1的解集表示在数轴上，正确的是()

,x-3<0

B.-10123

c.-10123

一A

D.-10123

7.（2020秋•东西湖区期末）根据分式的基本性质，分式二工可变形为（）

a-b

A.—B.C.D.__2-

-a-ba+ba-ba+b

8.（2019春•金山区期中）用换元法解分式方程7-'+二一=1时，如果设/-x=y,则

2

x-x

原方程可化为关于y的整式方程是（）

A.y2+2y+l=0B.y^+2y-1=0C.y2-y+2—QD.y^+y-2=0

9.（2021春♦罗湖区校级期末）如图，已知在aABC中，CQ是48边上的高线，BE平分/

ABC,交CD于点、E,BC=5,DE=2,则4BCE的面积等于（）

C.4D.7

10.（2021春•罗湖区校级期末）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且NMPN

与NAOB互补.若NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、08相交于M、N

两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PA/ON

的面积不变,其中，正确结论的是（)

A.①②③B.①②④C.①③④D.@(3)(4)

二.填空题（共5小题）

x〉l解集是

11.（2021春•罗湖区期中）不等式组J

x）2

12.（2021春•罗湖区期中）如图，当y<0时，自变量x的取值范围是

13.（2019秋•当涂县期末）如图，一次函数yi=x+b与一次函数”=息+4的图象交于点P

（1,3）,则关于x的不等式x+8>h+4的解集是.

14.（2016•邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20,OB、OC分别平分NA8C和N

15.（2021春•宝安区期中）如图，在△ABC中，NA8c=30°,将线段C4绕点C顺时针

旋转30°至CA',过点A'作A'EVBC,垂足为E,若AB=8,CE=5,则BC的长

16.（2021春•宝安区期中）分解因式:

(1)cr'b-ab

(2)-9?+6x-1

5x-l<3(x+1)

17.(2021春•大东区期末)解不等式组(2x-l5x+l/，并把它们的解集表示在数轴上・

-2-

112

18.(2021春•罗湖区校级期末)解分式方程：一.

x+11-x*2-]

19.(2021秋•临江市期末)如图，在△ABC中，A8=AC,点。、E、尸分别在48、BC、

AC边上，SLBE=CF,BD=CE.

(1)求证：是等腰三角形；

(2)当NA=40°时，求/。的度数.

20.(2021春•罗湖区校级期末)如图，AD平分NB4C,DELAB,DF±AC,垂足分别为点

E,F,DB=DC.

(1)求证：BE=CF；

(2)如果BO〃4C,ZDAF=15°,求证：AB=2DF.

21.(2019秋•怀集县期末)已知，如图，/MBC为等边三角形，AE=CD,AD,8E相交于

点P,BQLAQ于Q.

(1)求证：BE=AD；

(2)求N8PQ的度数；

(3)若PQ=3,PE=\,求AO的长.

E

p.

\

~D------、C

22.(2021春•罗湖区期中)已知AAOB和△MON都是等腰直角三角形，NAOB=NMON

=90°.

(1)如图1：连AM,BN,求证：△AOM四△8ON；

(2)若将RtZ\MON绕点O顺时针旋转，当点A,M,N恰好在同一条直线上时，如图2

所示，线段O”〃BN,0〃与AM交点为H,若08=4,ON=3,求出线段AM的长；

(3)若将△M0N绕点。顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN

与AO交点为P,求证：MP2+PN1=2PO2.

M

图1图2图3

2021-2022学年下学期深圳初中数学八年级期中典型试卷3

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2021春•罗湖区期中）下列图形中是中心对称图形的是（）

.逸D.W

【考点】中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、是中心对称图形，故本选项符合题意；

。、不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与原图重合.

2.（2021春•罗湖区期中）x的工与x的和不超过5用不等式可以表示为（）

8

A.三+xW5B.A+X<5C.三+X25D.三+X>5

8888

【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；符号意识；运算能力.

【分析】理解：x的工，即工，然后与x的和即表示为工+x,不超过5即W5,据此可

888

得答案.

【解答】解："x的工与x的和不超过5”用不等式表示为L+X<5,

88

故选：A.

【点评】此题考查一元一次不等式问题，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺

序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.

3.(2021春•龙华区期中)龙华区正推行垃圾分类政策，下列垃圾分类标识中，是中心对称

图形的是()

【考点】中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形.

【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后与原图重合.

4.(2021春•龙华区期中)把二次三项式/-5x-14分解因式，下列结果正确的是()

A.(x+2)(x+7)B.(%-2)(x-7)C.(%-2)(x+7)D.(x+2)(x-7)

【考点】因式分解-十字相乘法等.

【专题】整式；运算能力.

【分析】根据整式乘法逐项进行判断即可.

【解答】解：因为(x+2)(x+7)=/+9x+14,

(x-2)(x-7)=x1-9x+14,

(.x-2)(x+7)=/+5x-14,

(x+2)(x-7)—x1-5x-14,

所以选项。符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查因式分解，掌握因式分解的意义是解决问题的前提.

2

5.（2021春♦济阳区期末）化简—+上的结果是（）

x-11-x

A.xB.-xC.x-1D.x+1

【考点】分式的加减法.

【专题】分式；运算能力.

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=/z£=x（x-l）

X-1X-1

故选：A.

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型.

6.（2020•信阳一模）把不等式组]2X+3>1的解集表示在数轴上，正确的是（

)

lx-3<0

1•••(

D.-10123

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集.

【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用：运算能力.

【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可.

【解答】解：（2X+3>1①

[x-340（2）

由①得x>-I,由②得xW3,

故此不等式组的解集为-1<XW3,

在数轴上的表示如选项B所示.

故选：B.

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表

示出来（〉,》向右画；V,w向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某

一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有

几个就要几个.在表示解集时“》”，“W”要用实心圆点表示；要用空心圆

点表示.

7.（2020秋•东西湖区期末）根据分式的基本性质，分式二工可变形为（）

a-b

A.aB.acaD.2—

-a-ba+ba-ba+b

【考点】分式的基本性质.

【专题】计算题.

【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一

个非0的数或式子，分式的值不变.

【解答】解：依题意得：二-=」_,

a-ba-b

故选：C.

【点评】此题考查的是分式的性质，将负号提出不影响分式的值.

8.（2019春•金山区期中）用换元法解分式方程/-x+_2_=l时，如果设/-x=y,则

x2-x

原方程可化为关于y的整式方程是（）

A.y2+2y+l=0B.y2+2y-1=0C.y2->'+2=0D.y2+y-2=0

【考点】换元法解分式方程.

【分析】根据换元法，可得答案.

【解答】解：设』-x=y,原方程等价于y-1+2=0,

y

两边都乘以y,得

y2-y+2=0,

故选：C.

【点评】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键.

9.（2021春•罗湖区校级期末）如图，已知在AABC中，8是AB边上的高线，8E平分N

ABC,交CD于点、E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于（）

A

D,

E

--------------”

A.10B.5C.4D.7

【考点】角平分线的性质.

【分析】作EFYBC于F,根据角平分线的性质定理得到E尸=DE=2,根据三角形面积

公式计算即可.

【解答】解：作EFL8c于尸，

「BE平分/ABC,EF1.BC,ED1.AB,

：.EF=DE=2,

二ZYBCE的面积=1X8C义EF=5.

2

故选：B.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等

是解题的关键.

10.（2021春•罗湖区校级期末）如图，点P为定角N4O8平分线上的一个定点，且NMPN

与NA08互补.若NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、。8相交于M、N

两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变：③MN的长不变；④四边形尸MON

的面积不变，其中，正确结论的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.

【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】如图作PE10A于E,PFVOB于F.只要证明出△尸OF,△PEM丝△尸/W,

即可一一判断

【解答】解：如图作PEJ_04于E,P/JLOB于R

,：NPEO=NPFO=90°,

：.ZEPF+ZAOB=\SOQ,

：/MPN+N4OB=180°,

NEPF=ZMPN,

NEPM=ZFPN,

；0尸平分/AOB,PEIOA^E,PFLOB^F,

...NPEO=/PFO=90°,

在△POE和△PO产中，

rZP0E=ZP0F

<NPE0=/PF0，

PO=PO

:.△POEmAPOF(AAS),

：.OE=OF,PE=PF,

在△户创和△PFN中，

，ZMPE=ZNPF

<PE=PF，

ZPEM=ZPFN

：./\PEM^/\PFN(ASA),

：.EM=NF,PM=PN,故①正确，

SAPEM=S&PNF，

*,•S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故④正确,

-：OM+ON=OE+ME+(OF-NF)=20E,是定值，故②正确，

在旋转过程中，△2〃汽是等腰三角形，形状是相似的，因为尸M的长度是变化的，所以

MN的长度是变化的，故③错误，

故选：B.

A

【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

二.填空题（共5小题）

11.（2021春•罗湖区期中）不等式组解集是x22.

Ix）2

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】根据“同大取大”解答即可.

【解答】解：不等式组（x>l解集是xZ2.

\x>2

故答案为：x》2.

【点评】本题考查的是不等式解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大

大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

12.（2021春•罗湖区期中）如图，当y<0时，自变量x的取值范围是-2.

【考点】函数自变量的取值范围.

【专题】函数及其图象；模型思想.

【分析】根据图象可直接得到答案.

【解答】解：由函数图象可知，当x<-2时，函数图象在x轴的下方，即当x<-2时,

y<0.

故答案为：x<-2.

【点评】此题主要考查了一次函数的性质，关键是能从图象中获取信息.

13.（2019秋•当涂县期末）如图，一次函数yi=x+〃与一次函数”=履+4的图象交于点P

【考点】一次函数与一元一次不等式.

【分析】观察函数图象得到当x>l时-，函数yi=x+b的图象都在），2=自+4的图象上方，

所以关于x的不等式x+b>kx+4的解集为x>\.

【解答］解：当X>1时，x+h>kx+4,

即不等式x+Z?>fcr+4的解集为x>l.

故答案为x>l.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函

数y=or+8的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确

定直线y=fcv+6在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

14.（2016•邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20,08、OC分别平分乙48c和/

ACB,0£>_LBC于。，且OD=a,则△A8C的面积是10。.

【考点】角平分线的性质.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点。到AB、AC、BC的距离都

相等（即OE=OD=OF）,从而可得到△48C的面积等于周长的一半乘以3,代入求出即

可.

【解答】解：如图，连接04,过。作0E_LA8于E,0ELAC于凡R

,JOB.OC^\^^ZABC^ZACB,

：.0E=0F=0D=a,

•.♦△48C的周长是20,0£»_LBC于。，且0。=小

•••SAABC=』XA8X0E+"8CX00+1XACX0F=JLX(A8+BC+AC)a

2222

――x20«=10«)

2

故答案为：10”.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面

积与周长的关系是解题的关键.

15.(2021春•宝安区期中)如图，在△48C中，NABC=30°,将线段CA绕点C顺时针

旋转30°至CA',过点A'作A'ELBC,垂足为E,若AB=8,CE=5,则8C的长

为_2向_・

【考点】旋转的性质.

【专题】平移、旋转与对称；应用意识.

【分析】过C作CF_LA8,尸为垂足，根据一个三角形的外角等和它不相邻的两个内角

和，可得NA=N4'CE,即可证△AFC名△CE4',在48尸C中，再利用解直角三角可

得8C的值.

【解答】解：过C作CFLAB,F为垂足，

ZACE=ZABC+ZA,

又•.•/4BC=30°,

AZACE=30°+NA,

又；/ACE=30°+ZA'CE,

二/4=/4'CE,

在△AFC与△CE4'中，

'/AFC=/A'CE=90"

■ZA=ZAZCE，

AC=CAy

A/\AFC^/\CEA'(A45),

：.AF=CE=5,

在RtABFC中，

cos30°=BF_=^l5_=_3_,

BCBCBC

BC=——3

cos30展

~2~

故答案为2我.

【点评】本题考查全等三角形的判定，解直角三角形，解本题关键要熟练掌握全等三角

形的判定，解直角三角形和外角性质等.

三.解答题(共7小题)

16.(2021春•宝安区期中)分解因式：

(1)a'b-ab

(2)-9?+6x-1

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】因式分解；运算能力.

【分析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

(2)原式提取-1,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：⑴原式="id-1)

=ab(。+1)(«-1)；

(2)原式=-(9?-6x+l)

=-(3x-1)2.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键.

5x-l<3(x+1)

17.（2021春•大东区期末）解不等式组42x-l5x+l并把它们的解集表示在数轴上.

32<f

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集.

【专题】常规题型.

【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解.

’5x-l<3（x+1）①

【解答】解：,2x7_5x+l

32

解不等式①得，x<2,

解不等式②得，1,

在数轴上表示如下：

^2~~~~0123^

所以不等式组的解集为：-lWx<2.

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解.求

不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）.

18.（2021春♦罗湖区校级期末）解分式方程：=1--—

x+11-x

【考点】解分式方程.

【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力.

【分析】根据解分式方程的过程进行计算即可.

【解答】解：去分母得：X-l+x+l=f-1-

移项，合并同类项得2x=-1,

系数化为1得x=-2，

2

检验：把工=-工代入/-1W0,

2

所以原方程的解为x=

2

【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是掌握解分式方程的方法，注意解分

式方程要验根.

19.（2021秋•临江市期末）如图，在△ABC中，AB=AC,点。、E、F分别在AB、BC、

AC边上，S.BE=CF,BD=CE.

(1)求证：△DEF是等腰三角形；

(2)当NA=40°时，求/。EF的度数.

【考点】等腰三角形的判定与性质.

【专题】计算题；证明题.

【分析】(1)由AB=AC,ZABC=ZACB,BE=CF,BD=CE.利用边角边定理证明△

DBE^/\ECF,然后即可求证△OEF是等腰三角形.

(2)根据/A=40°可求出/ABC=/ACB=70°根据△OBE四&£(下,利用三角形内角

和定理即可求出NOE尸的度数.

【解答】证明：\'AB=AC,

：.ZABC^ZACB,

在△OBE和尸中

'BE=CF

,ZABC=ZACB>

BD=CE

ADBE会/\ECF,

：.DE=EF,

.•.△OE尸是等腰三角形；

(2)VADBE^AECF,

；./l=/3,N2=/4,

VZA+ZB+ZC=180°,

/.ZB=A(180°-40°)=70°

2

：.Zl+Z2=110°

.*.Z3+Z2=110°

NOEk=70°

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了

三角形内角和定理和平角是180°,因此有一定的难度，属于中档题.

20.(2021春•罗湖区校级期末)如图，AO平分NB4C,DEVAB,DFLAC,垂足分别为点

E,F,DB=DC.

(1)求证：BE=CF；

(2)如果8£>〃AC,ND4F=15°,求证：AB=2DF.

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；几何直观.

【分析】(1)证明。E=£)F,NE=NDFC=90°；进而证明RtZ\B£»E丝RtZiQFC,即可

解决问题；

(2)根据平行线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可.

【解答】证明：(1)平分NBAC,DE1AB,DF1AC,

：.DE=DF,NE=NDFC=90°；

在RtABDE和RtADFC中，

<fBD=CD)

1DE=DF'

ARtABDE^RtADFC(HL),

：.BE=CF-,

(2)平分NBAC,ZDAF=15°,

：.ZBAC=30°,NBAD=/DAF,

".'BD//AC,

:.NDBE=NBAC=30°,ZDAF=ZBDA,

.'.ZBAD^ZBDA,

：.AB=BD,

在RtZ\8DE中，ZDBF=30",

：.BD=2DE,

：.AB=2DE,

平分/8AC,DEI.AB,DFLAC,

：.DE=DF,

：.AB=2DF.

【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点问

题；应牢固掌握全等三角形的判定.

21.（2019秋•怀集县期末）已知，如图，ZVIBC为等边三角形，AE=CD,AD,BE相交于

点P,BQLAQ于Q.

（1）求证：BE=AD；

（2）求/BP。的度数；

（3）若PQ=3,PE=\,求AO的长.

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得/BPQ=60°；

（3）利用（2）的结果求得/P8Q=30°,所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”

得至lj2PQ=BP=6,则易求BE=BP+PE=7.

【解答】（1）证明：:△ABC为等边三角形，

：.AB=CA,/BAE=NC=60°,

在△4EB与△CD4中，

'AB=CA

<ZBAE=ZC，

AE=CD

/./\AEB^/^CDA(SAS),

：.BE=AD-,

(2)解：由(1)知，ZVIEB丝△COA,则/ABE=NCAD,

，NBAD+/ABD=NBAD+/CAD=/BAC=60°,

NBPQ=ZBAD+ZABD=6Q°；

(3)解：如图，由(2)知N8PQ=60°.

'：BQ±AD,

：.ZPBQ=30°,

:.PQ=LBP=3,

2

：.BP=6

；.BE=BP+PE=1,即A£>=7.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形.全等三角形的

判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关

键是选择恰当的判定条件.

22.(2021春•罗湖区期中)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，ZAOB=ZMON

=90°.

(1)如图1：连AM,BN,求证：△AOM丝△BON；

(2)若将RtZ\MON绕点。顺时针旋转，当点A,M,N恰好在同一条直线上时，如图2

所示，线段O//〃BN,OH与AM交点为4,若08=4,ON=3,求出线段AM的长；

(3)若将△MON绕点。顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN

与AO交点为P,求证：MP1+PN2=2PO1.

【考点】几何变换综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【分析】(1)根据SAS证明三角形全等即可.

(2)分别求出4〃即可.

(3)如图2中，在OB上取一点7,使得。T=OP,连接PT,NT.证明

NONT=90：可得P^MPM+N^MPM+PM?,即可得出结论.

【解答】(1)证明：如图1中，

图1

VZAOB=ZMON=90°,

：./AOM=/BON,

'：AO=BO,OM=ON,

:.△AOM9XBON(SAS').

(2)如图3-1中，设OA交BN于J,过点。作。H_LMN于H.

H,

B

图3-1

:△AOM丝△BOM

：.AM=BN,NOAM=NOBN,

,：NAJN=NBJO,

:.NANJ=NJOB=90°,

,：OM=ON=3,NMON=90°,OHLMN,

:.MN=3®,MH=HN=0H=^^,

2_

-，MH=VOA2-OH2=^42-(-^-)2=^'

BN=AM=MH+AH='^+WM.

2

(3)证明：如图2中，在OB上取一点T,使得OT=OP,连接尸T,NT.

图2

■:NMON=/POT=90°,

ZMOP=ZNOT,

•：OM=ON,OP=OT,

.•.△POM名△TON(SAS),

：.PM=TN,NM=NONT=45°,

■:NONM=NONT=45°,

:.NPAN=NONM+NONT=90°,

...p展=P/U+NF=Pl^+PM1

•.•△POT是等腰直角三角形，

:.PT2=20A,

：.PM1+NN1=20P1.

解法二：连结AM,证明△AMO与△BN。全等，然后说明NM4N是直角，可得结论.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形

的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考

题型.

考点卡片

1.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

2.因式分解-十字相乘法等

借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法.

①/+(p+q)x+pq型的式子的因式分解.

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；

可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

X2+(p+q)x+pq—Cx+p)(x+q)

②o^+bx+c(a#0)型的式子的因式分解

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数,ai的积GP2，

把常数项c分解成两个因数ci，C2的积并使aiC2+a2cl正好是一

次项6,那么可以直接写成结果：(v?+bx+c—(aix+ci){aix+ci').

3.分式的基本性质

(1)分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.

(2)分式中的符号法则：

分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变.

【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题

1.分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式

的分子、分母中的系数化为整数.

2.解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两

个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指

改变分子、分母中各项的符号.

3.处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的.

4.分式的加减法

(1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

(2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，

经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.

说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多

项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘.

②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较

简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式

变成分母相同的较复杂的形式.约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分

式来说的.

5.解分式方程

(1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

(2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代人最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

6.换元法解分式方程

1，解数学题时.，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，

这叫换元法.

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将

问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得

容易处理.

2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母

来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.

7.在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，

若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.

【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为x>“，其验证方法可以先将。代入原不等式，则两边相等，其

次在X,。的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.

8.由实际问题抽象出一元一次不等式

用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、

是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号.

因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系.

9.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解