2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定学案含解析北师大版必修2

PAGE6垂直关系6．1垂直关系的判定考纲定位重难突破1.了解线面垂直、面面垂直的定义．2.理解线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间角中有关二面角的定义．3.能运用判定定理证明线面、面面垂直.重点：线面垂直、面面垂直的判定．难点：找(作)二面角的平面角．方法：分类探讨思想在垂直关系中的应用.授课提示：对应学生用书第18页[自主梳理]一、直线与平面垂直1．定义：假如一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．判定定理文字语言图形表示符号语言假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,a∩b＝A,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α二、二面角及其平面角二面角定义从一条直线动身的这两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，两个半平面叫作二面角的面如图，记作：α­AB­β或α­l­β范围0°≤θ≤180°画法如图：二面角α­l­β若有①O∈l；②OAα，OBβ；③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角α­l­β的平面角三、平面与平面垂直1．定义：两个平面相交，假如所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直．2．判定定理文字语言图形表示符号语言假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥β,aα))⇒α⊥β[双基自测]1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的多数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内的随意一条直线垂直解析：依据线面垂直的定义，可知当l垂直于α内全部直线时，l⊥α.答案：D2．已知直线l⊥平面β，l平面α，则()A．α⊥β B．α∥βC．α∥β或α⊥β D．α与β相交但不肯定垂直解析：依据面面垂直的判定定理知α⊥β.答案：A3．二面角的平面角是指()A．两个平面相交的图形B．一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形C．从一条直线动身的两个半平面所组成的图形D．以两个相交平面交线上随意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角解析：由定义知，二面角的平面角是指以两个相交平面交线上的随意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角．答案：D4．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°，若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.答案：C5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不确定解析：反例：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第19页探究一直线与平面垂直的判定[典例1]如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．[解析](1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2eq\r(3).如图，连接OB，因为AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)如图，作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°.所以OM＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5).所以点C到平面POM的距离为eq\f(4\r(5),5).1．利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的“三个步骤”：(1)找寻：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直．(2)确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线．(3)判定：依据判定定理得出结论．2．线面垂直的三种判定方法：(1)用定义：证明l和平面α内随意一条直线都垂直．(2)用定理：证明l与平面α内“两条相交”的直线都垂直，即线线垂直⇒线面垂直．(3)用推论：若m⊥α，证明l∥m，即可知l⊥α.1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC平面ABC，BD平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.探究二平面与平面垂直的判定[典例2]如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E在侧棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PBD.[解析]∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC.又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD.1．证明平面与平面垂直，常用两种方法：(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线．(2)证明二面角的平面角是直角．2．用平面与平面垂直的判定定理证明两平面垂直，关键是在一个平面内找寻垂直于另一个平面的直线．在处理详细问题时，应先从已知入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”．2.如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别为CD，DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BGD⊥平面BEF.探究三线面垂直判定的综合应用[典例3]三棱锥P­ABC中，PO⊥平面ABC，PA⊥BC，PB⊥AC.求证：(1)O是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.[解析](1)连接OA，OB.∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC.又PA⊥BC，PO∩PA＝P，∴BC⊥平面PAO.又AO平面PAO，∴BC⊥AO，即O在△ABC的BC边的高线上．同理，由PB⊥AC可得O在AC边的高线上．∴O是△ABC的垂心．(2)连接OC，由(1)可知OC⊥AB.又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，∴AB⊥平面PCO.又PC平面PCO，∴AB⊥PC.依据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；依据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直．本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化．3.如图，在四面体P­ABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，求二面角D­BC­A的大小．解析：取BC的中点E，连接EA，ED，EP(图略)．∵△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE，又AE∩PE＝E，AE，PE平面PAE，∴BC⊥平面PAE.而DE平面PAE，所以BC⊥DE，∴∠AED即为二面角D­BC­A的平面角．又由条件，知AE＝PE＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，AD＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(3,2)，∴DE⊥PA，∴sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\r(3),2)，明显∠AED为锐角，∴∠AED＝60°，即二面角D­BC­A的大小为60°.对定理理解不透彻致误[典例]设α，β为不重合的两个平面，给出下列说法：①若α内的两条相交直线分别平行于平面β，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与平面α垂直的条件是l与α内的两条直线垂直．上面说法中正确的序号是________(写出全部的正确的序号)．[解析]①平面α内的两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．②平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．③如图所示，α∩β＝l，aα，a⊥l，但不肯定有α⊥β，错误．④直线l与α垂直的条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故错误．综上所述，正确说法的序号为①②.[答案]①②[错因与防范]本题易错选③④，错选③是由a⊥l，aα错误得出a垂直于平面β；错选④是忽视了“相交直线”这一前提条件．一些常见的定理要细致领悟，抓住关键字或词，一些推断项中往往不是干脆考查的定理而是对定理的拓展，故要细致分析、推导，以防出错．[随堂训练]对应学生用书第20页1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与BC1A．平面DD1C1C B．平面A1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.答案：B2．给出以下说法：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点动身，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②解析：由二面角的定义，可知①③错误，④正确．由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a，b的平行线，分析知②正确，故选B.答案：B3．给出下列说法：①假如直线l与平面α不垂直，那么在α内不存在与l垂直的直线；②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；③与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行；④过平面外一点和这个平面垂直的直线有且只有一条．其中正确说法的序号是________．解析：①错误，因为在α内至少可以找到一条直线与l垂直；②正确；③错误，因为平面内的随意一条直线都和该平面的垂线垂直，所以直线也可能在平面内；④正确．故正确说法的序号是②④.答案：②④4.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线