2024-2025学年高中数学第二章变化率与导数2.3计算导数学案含解析北师大版选修2-2

PAGE3计算导数授课提示：对应学生用书第17页[自主梳理]一、计算函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤1．通过自变量在x0处的变更量Δx，确定函数在x0处的变更量：Δy＝________________.2．确定函数y＝f(x)在x0处的平均变更率：eq\f(Δy,Δx)＝________________.3．当Δx趋于0时，得到导数：f′(x0)＝________________.二、导函数一般地，假如一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝____________，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的________，通常也简称为________．三、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α是实数)y′＝αxα－1y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlna特殊地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝eq\f(1,xlna)特殊地(lnx)′＝eq\f(1,x)y＝sinxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinxy＝tanxy′＝eq\f(1,cos2x)y＝cotxy′＝－eq\f(1,sin2x)[双基自测]1．若f(x)＝eq\r(3,x)，则f′(x)等于()A.eq\f(1,\r(3,x2)) B.eq\f(1,3\r(3,x2))C.eq\f(\r(3,x2),3) D.eq\f(1,3x\r(x))2．f(x)＝0的导数是()A．0B．1C．不存在D．不确定3．若f(x)＝coseq\f(π,4)，则f′(x)＝()A．－sineq\f(π,4) B．sineq\f(π,4)C．0 D．－coseq\f(π,4)4．给出下列结论：①若y＝eq\f(1,x3)，则y′＝－eq\f(3,x4)；②若y＝eq\r(3,x)，则y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若y＝eq\f(1,x2)，则y′＝－2x－3；④若y＝f(x)＝3x，则f′(1)＝3；⑤若y＝cosx，则y′＝sinx；⑥若y＝sinx，则y′＝cosx.其中正确的个数是()A．3 B．4C．5 D．65．若函数f(x)＝xn在x＝2处的导数值为12，则n＝________.[自主梳理]一、1.f(x0＋Δx)－f(x0)2.eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)3.eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)二、eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)导函数导数[双基自测]1．Bf(x)＝xeq\f(1,3)，∴f′(x)＝eq\f(1,3)xeq\f(1,3)－1＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3\r(3,x2)).2．A常数函数的导数为0，故选A.3．Cf(x)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，故f′(x)＝0.4．B由求导公式可知，①③④⑥正确．5．3f′(2)＝n·2n－1＝12，所以n＝3.授课提示：对应学生用书第18页探究一利用导函数定义求导数[例1]求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数．[解析]f′(x)＝eq\f(x＋Δx2＋5x＋Δx－x2＋5x,Δx)＝eq\f(2Δx·x＋Δx2＋5Δx,Δx)＝(2x＋Δx＋5)＝2x＋5.∴f′(3)＝2×3＋5＝11.利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).1．利用导数定义求f(x)＝1的导函数，并求f′(2)，f′(3)．解析：f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x)＝1－1＝0，eq\f(Δy,Δx)＝0.Δx趋于0时，eq\f(Δy,Δx)趋于0.所以f′(x)＝0.所以有f′(2)＝0，f′(3)＝0.探究二利用导数公式求导数[例2]求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝eq\f(1,x3)；(3)y＝log2x.[解析](1)y′＝(x8)′＝8x7.(2)y′＝(eq\f(1,x3))′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4.(3)y′＝(log2x)′＝eq\f(1,xln2).1．用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较烦琐．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．2．利用导数公式求导，应依据所给问题的特征，恰当地选择求导公式将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．2．求下列函数的导数：(1)y＝xeq\f(3,2)；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x))；(3)y＝2e3；(4)y＝2cosx.解析：(1)y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2).(2)y′＝(eq\f(1,\r(3,x)))′＝(x－eq\f(1,3))′＝－eq\f(1,3)x－eq\f(4,3).(3)y′＝(2e3)′＝0.(4)y′＝(2cosx)′＝2(cosx)′＝－2sinx.探究三导数的综合应用[例3]点P是曲线y＝ex上随意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解析]依据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f′(x0)＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为eq\f(\r(2),2).利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数求解．3．已知直线y＝kx是y＝lnx的一条切线，求k的值．解析：设切点坐标为(x0，y0)．∵y＝lnx，∴y′＝eq\f(1,x).∴f′(x0)＝eq\f(1,x0)＝k.∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝lnx上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0，①,y0＝lnx0，②))把k＝eq\f(1,x0)代入①式得y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.∴k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e).利用分类探讨思想处理两曲线的公切线问题[例4]求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率．[解析](1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y1′＝2x，y2′＝3x2.令2x＝3x2，解得x＝0或x＝eq\f(2,3).①当x＝0时，2x＝3x2＝0；②当x＝eq\f(2,3)时，2x＝3x2＝eq\f(4,3).此时C1的切线方程为y－eq\f(4,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))，而C2的切线方程为y－eq\f(8,27)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3))).明显两者不是同一条切线，所以x＝eq\f(2,3)舍去．(2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y1′＝2x1，y2′＝3xeq\o\al(2,2)，因为AB的斜率为kAB＝eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(3,2),x1－x2)，所以有2x1＝3xeq\o\al(2,2)＝eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(3,2),x1－x2).由2x1＝3xeq\o\al(2,2)，得x1＝eq\f(3,2)xeq\o\al(2,2)，代入3xeq\o\al(2,2)＝eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(3,2),x1－x2)中，解得x2＝eq\f(8,9)，x1＝eq\f(32,27).此时公切线的斜率为2x1＝eq\f(64,27).综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，