2024春新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3.3第1课时距离问题分层演练含解析新人教A版必修第二册

PAGE6.4平面对量的应用A级基础巩固1.设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在河岸边选定一点C,测出AC的距离是100m,∠BAC=60°,∠ACB=30°,则A,B两点的距离为 ()A.40m B.50m C.60m D.70m解析:如图所示,由题意可知,△ABC是直角三角形,AB=12AC,所以AB=50m答案:B2.要干脆测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行),由于受地理条件和测量工具的限制,可采纳如下方法:如图所示,在河的一岸边选取A,B两点,视察对岸的点C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,且AB=120m,由此可得河宽为(精确到1m)()A.170mB.98mC.95mD.86m解析:在△ABC中,AB=120m,∠CAB=45°,∠CBA=75°,则∠ACB=60°.由正弦定理,得BC=120sin45°sin60°=40设在△ABC中,AB边上的高为h,则h即为河宽,所以h=BC·sin∠CBA=406×sin75°≈95(m).答案:C3.已知A,B,C三地,其中A,C两地被一个湖隔开,A,B在湖的同侧,若测得AB=3km,B=45°,C=30°,则A,C两地的距离为32km.解析:依据题意,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB,代入数值得3sin30°=ACsin454.一船以15km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B位于北偏东60°方向,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔间的距离为302km.解析:如图所示,在△ABC中,AC=15×4=60(km),∠BAC=30°,∠ACB=105°,所以∠ABC=45°.依据正弦定理,得BC=ACsin∠BACsin∠ABC=60sin305.如图所示,一架飞机从A地飞到B地,两地相距700km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从机场起飞后,就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行,飞行到中途,再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向接着飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来路程远了多少?解:在△ABC中,AB=700km,∠ACB=180°-21°-35°=124°.依据正弦定理,得700sin124°=ACsin35所以AC=700·sin35°sin124°AC+BC=700·sin35°sin124°+700·sin21°所以飞机的飞行路程比原来路程远了86.89km.B级实力提升6.已知船A在灯塔C北偏东85°,且到C的距离为2km,船B在灯塔C北偏西65°,且到C的距离为3km,则A,B两船的距离为()A.23km B.32kmC.15km D.13km解析:据图可知∠ACB=85°+(90°-25°)=150°,AC=2km,BC=3km,所以AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos150°=13,所以AB=13km.答案:D7.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛动身,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15min时,两船的距离是 ()A.7km B.13kmC.19km D.10-解析:如示意图所示.由题意知AM=8×1560=2(km),BN=12×1560=3(km),MB=AB-AM=3-2=1(km),所以由余弦定理,得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×（-12）=13,所以MN=答案:B8.一条船以24km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是5.2km.(精确到0.1km)解析:作出示意图如图.由题意知AB=24×1560=6(km),∠ASB=35°由正弦定理,知6sin35°=解得BS≈5.2(km).9.如图所示,某炮兵阵地位于地面A处,两视察所分别位于地面点C和D处,已知CD=6000m.∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°,∠BDC=15°.求炮兵阵地到目标的距离AB.(结果保留根号)解:在△ACD中,∠CAD=60°,AD=CD·sin45°在△BCD中,∠CBD=135°,BD=CD·sin30°在Rt△ABD中,AB=AD2+BD2=C级挑战创新10.多空题一只船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔68nmile的M处