一次函数（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

第10讲一次函数(精讲精练)

1.结合具体情境体会一次函数的意义，能画出一次函数的图像。理解正比例函

数。

2.能根据已知条件确定一次函数的关系式。会利用待定系数法确定一次函数的

关系式。

3.根据一次函数的图像和关系式y=kx+b(kW0)探索并理解k>0和k<0时，图像

的变化情况。

4.体会一次函数与二元一次方程的关系。

5.能用一次函数解决简单实际问题。

国考支hl

考点1:一次函数图像与性质..........................................................2

考点2：一次函数解析式的确定.......................................................11

考点3：一次函数图像的平移.........................................................19

考点4：一次函数与方程不等式的关系................................................22

考点5：一次函数的应用..............................................................29

课堂总结：思维导图..................................................................42

分层训练：课堂知识巩固.............................................................42

考点1：一次函数图像与性质

(1)概念：一般来说，形如y=Ax+b(4W0)的函数叫做一次函数.特别地，当b=0时,

称为正比例函数.

（2）图象形状：一次函数夕=丘+6是一条经过点（0力）和（-2,0）的直线.特别地，正比

k

例函数y=辰的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.

1.求一次函数与x轴的交点，只需令尸0,解出x即可；

2.求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.

故一次函数了=履+/左/0）的图象与x轴的交点是（—2,0）,与y轴的交点是（0,b）；

k

3.正比例函数y=去（攵W0）的图象恒过点（0,0）.

学霸堇记

1t

〔-审例抬十帮

【例题精析1】｛一次函数的定义★）以下函数中），是X的一次函数的是（）

12

@j/=2x2+x+1；®y=2TTX；（3）^=—；®y=42x；⑤y=l——x；©y=2x.

x4

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】一般地，形如y=fcr+b6/0,k、b是常数）的函数，叫做一次函数.根据一次

函数的定义条件进行逐一分析即可.

【解答】解：①y=2f+x+l是二次函数，故此选项不符合题意；②y=2c是一次函数，

故此选项符合题意；③了=,不是一次函数，是反比例函数，故此选项不符合题意；④了=历

X

是一次函数，故此选项符合题意；⑤y=l-3x是一次函数，故此选项符合题意；⑥y=2x是

4

一次函数，故此选项符合题意.故选：C.

【点评】本题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数y=Ax+6的定义条件:

k、b为常数,自变量次数为1.

【例题精析2】｛正比例函数的定义★｝若函数y=（2机+l）f+（i-2Mx（胴为常数）是正

比例函数，则，"的值为

2

【分析】根据正比例函数的定义列出方程2加+1=0,通过解该方程求得加值即可.

【解答】解：,函数y=（2加+1了为常数）是正比例函数，.•.2〃?+1=0,且

1-2〃?w0,

解得，m=--.故答案是：-L.

22

【点评】本题考查了正比例函数的定义.解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函

数卜=日的定义条件是：左为常数且％H0,自变量次数为1.

【例题精析3】｛一次函数的图像★｝直线4：y=fcc+b和=在同一平面直角

坐标系中的图象可能是（）

【分析】先看一条直线，得出％和人的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得

出答案.

【解答】解：A>直线4=Ax+b中％>0,Z?>0,直线6：y=bx—左中〃<0,/?<0,k、

b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；B、直线4=Ax+b中左>0,b>0,直线

/2：>=版一人中左>0,b>0,k、b的取值一致，故本选项符合题意；C、直线4:y=kx+b

中左<0,b>0,直线4：歹=云一左中左>0，/?>0,k、6的取值相矛盾，故本选项不符合

题意；D直线4=Ax+6中％<0,6>0,直线（=6%一〃中左>0，Z?<0,k、6的

取值相矛盾，故本选项不符合题意.故选：B.

【点评】此题考查了一次函数图象与4和6符号的关系，关键是掌握当6>0时，（0,6）在y轴

的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当方<0时，（0力）在y轴的负半轴，直线与y轴交于

负半轴.

【例题精析4】｛一次函数的图像★）已知一次函数、=自+仅%#0）的图象如图所示，

则y=-fcv-A的图象可能是（）

yfFAyiy

A.IB.卜C.ID.I

【分析】根据是一次函数y=+b的图象经过一、三、四象限得出上，。的取值范围解答即

可.

【解答】解：因为一次函数y=+b的图象经过一、三、四象限，可得：k>0,b<0,

所以直线y=-bx-左的图象经过一、三、四象限，故选：C.

【点评】此题考查一次函数图象，关键是根据是一次函数歹=履+人的图象经过一、三、四

象限得出4,6的取值范围.

【例题精析5】｛一次函数的性质★｝若点儿见必），点B（M+/+1,%）都在一次函数

y=5x+4的图象上，贝1（）

A.yt<y2B.yt=-y2C.>y2D.y,=y2

【分析】由偶次方的非负性可得出aL.o,进而可得出〃?+/+1>机，由左=5>0,利用一

次函数的性质可得出y随x的增大而增大，进而可得出必<必.

【解答】解：：a?...。，；.a?+1>0,mm+a?+1.:=5>0,y随x的增大而增大,

又•.,点，（〃?,必），点8（，“+。2+],%）都在一次函数夕=5*+4的图象上，故选：

A.

【点评】本题考查了偶次方的非负性以及一次函数的性质，牢记“A>0,y随x的增大而

增大；k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键.

【例题精析6】｛一次函数的性质★｝下列关于一次函数y=-2x+2的图象的说法中，错

误的是（）

A.函数图象经过第一、二、四象限

B.函数图象与x轴的交点坐标为（2,0）

C.当x>0时，y<2

D.y的值随着x值的增大而减小

【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题.

【解答】解：/、=6=2>0,.•.函数图象经过第一、二、四象限，说法正确;

3、；y=0时，x=l,.•.函数图象与x轴的交点坐标为（1,0）,说法错误；C、当x>0时,

><2,说法正确；。、♦.»=-2<0,二y的值随着x值的增大而减小，说法正确；故选：B.

【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

三."刊珠

【对点训练1]｛一次函数的定义★）已知函数夕=（加-l）xM：+2x+l为一次函数，则m=

1或0.

【分析】根据一次函数的定义列方程即可得到结论.

【解答】解：由一次函数的定义可得：苏印或0,加_]片_2,.•.机=1或0,故答案为：1

或0.

【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=Ax+6的定义条件是：左、b为常数,

k^O,自变量次数为1.4工0是考查的重点.

【对点训练2】｛一次函数的图像★｝若劭<0,b-k>0,函数、=+与y=6x+%在

同一坐标系中的图象是（）

【分析】根据他<0,b-k>0,可以得到〃、6的正负情况，从而可以得到函数夕=日+6

与y=bx+k的图象经过哪几个象限.

【解答】解：kb<0,:.k、b异号,b-k>0,:.b>0,k<0,函数夕=fcc+6的图

象经过一、二、四象限，函数y=bx+k的图象经过第一、三、四象限，故选：D.

【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由4、6的正

负情况，可以写出一次函数图象经过的象限.

【对点训练3】｛一次函数的图像★｝若实数%,用满足上+加=0,B.k-m>0,则函

【分析】根据题意可以得到左和加的正负，从而可以得到函数>=6+，〃的图象在哪几个象

限，从而可以解答本题.

【解答】解：...实数%,块满足％+"?=0,且k>0,机<0,...函数夕=米+〃？

的图象在第一、三、四象限，故选：D.

【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用数形结合

的思想解答.

【对点训练4】｛一次函数的图像★）函数y=|x-l|的图象是（）

yv

【分析】根据函数解析式求得该函数的性质，然后再作出选择.

【解答】解：•.•函数y=|x-l|=[xTa/)，，当x>l时，y随x的增大而增大；当x<l时，

[-X+1(%<1)

y随x的增大而减小；故选：B.

【点评】本题考查了一次函数图象.熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

【对点训练5】｛一次函数的性质★｝用描点法画一次函数图象，在如表格中有一组数据

错误，这组错误的数据是()

X-2-112

y1211108

A.(-2,12)B.(-1,11)C.(1,10)D.(2,8)

【分析】在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论

【解答】解：根据表格数据描点，如图，则点(-2,12),(-1,11),(2,8)在同一直线上，点(1,10)

没在这条直线上，故选：C.

【点评】本题考查一次函数图象，根据坐标系中的点判断即可.

【对点训练6】｛一次函数的性质★｝下列有关一次函数y=-6x-5的说法中，正确的是

()

A.y的值随着x值的增大而增大B.函数图象与y轴的交点坐标为(0,5)

C.当x>0时，y>-5D.函数图象经过第二、三、四象限

【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，

从而可以解答本题.

【解答】解：,/y=-6x-5,-6<0,-5<0,y随x的增大而减小，故选项/不符合题

意；当x=0时，^=-6xO-5=-5,即函数图象与y轴的交点坐标为(0,-5),故选项8不符

合题意；当x>0时，><-5,故选项C不符合题意；函数图象经过第二、三、四象限，故

选项。符合题意；故选：D.

【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

【对点训练7】｛一次函数的性质★)对于一次函数夕=x+6,下列结论错误的是()

A.y随x的增大而增大B.函数图象与x轴所成的锐角是45°

C.函数图象与x轴交点坐标是(0,6)D.函数图象不经过第四象限

【分析】根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断.

【解答】解：/、一次项系数大于0,则函数值随自变量的增大而增大，故/选项正确；8、

函数图象与x轴正方向成45。角，故8选项正确；C、当x=0时，y=6,则函数图象与y轴

交点坐标是(0,6),故C选项错误；D、函数经过一、二、三象限，不经过第四象限，故。

选项正确.故选：C.

【点评】本题考查了一次函数的性质，在直线y=+b中，当％>0时，y随x的增大而增

大；当上<0时，y随x的增大而减小.

X铉襄*粒

【实战经典1】(2020•济南)若机<-2,则一次函数y=O+l)x+l-机的图象可能是(

【分析】由"?<-2得出m+l<0,l-m>0,进而利用一次函数的性质解答即可.

【解答】解：：<-2,加+1<0,1-机>0,所以一次函数y=(/«+l)x+l-/M的图象经

过一，二，四象限，故选：D.

【，点:评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与我、〃的关系.解答本题注意理

解：直线了=履+6所在的位置与4、6的符号有直接的关系.A>0时，直线必经过一、三

象限；《<0时，直线必经过二、四象限.6>0时，直线与y轴正半轴相交；6=0时，直线

过原点；b<0时，直线与V轴负半轴相交.

【实战经典2]（2021•沈阳）一次函数y=-3x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断该函数的图象经过哪几个象

限，不经过哪个象限，本题得以解决.

【解答】解：•••一次函数夕=-3》+1,k=-3,6=1,.•.该函数图象经过第一、二、四象限,

不经过第三象限，故选：C.

【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

【实战经典3】（2020•牡丹江）两个一次函数y=ox+b和y=bx+a,它们在同一个直

角坐标系的图象可能是（）

【分析】根据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到哪个选项中的图象是符合题意

的.

【解答】解：当a>0,b>0时，一次函数^="+6和、=以+。的图象都经过第一、二、

三象限，

当a>0,6<0时，一次函数y=nx+b的图象经过第一、三、四象限，函数y=bx+a的图

象经过第一、二、四象限，当a<0,b>0时，一次函数夕=。丫+6的图象经过第一、二、

四象限，函数y=6x+a的图象经过第一、三、四象限，当人<0时，一次函数y=ax+6

和y=6x+”的图象都经过第二、三、四象限，

由上可得，两个一次函数y=ax+b和y=bx+a,它们在同一个直角坐标系的图象可能是8

中的图象，

故选：B.

【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

昌加机枝理

考点2:一次函数解析式的确定

(1)常用方法：待定系数法，其一般步骤为：

①设：设函数表达式为y=Ax+6(4W0)；

②代：将己知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；

③解：求出X与b的值，得到函数表达式.

(2)常见类型：

①已知两点确定表达式；

②已知两对函数对应值确定表达式；

③平移转化型：如已知函数是由尸2x平移所得到的，且经过点(0,1),则可设要求函数

的解析式为广2x+b,再把点(0,1)的坐标代入即可.

♦…I学春里记

”镇的必错布

【例题精析1】｛确定一次函数解析式★｝一次函数y=6+b的图象经过（1,1）,（2,4）,

则%与人的值为（）

【分析】由于一次函数y=自+b经过（1,1）,（2,4）,应用待定系数法即可求出函数的解析式.

k+b=\（k=3

■，解得：■.故选:

｛2k+b=4[b=-2

A.

【点评】本题考查用待定系数法求解函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

【例题精析2】｛确定一次函数解析式★★｝已知一次函数y=/nx-4机，当Lx.3时，

2.1%6,则m的值为（）

A.3B.2C.-2D.2或-2

【分析】结合一次函数的性质，对w分类讨论，当％＞0时，一次函数少随x增大而增大，

此时x=1,y=2且x=3,y=6；当机＜0时，一次函数y随x增大而减小，此时x=1,y=6

且x=3,y=2；最后利用待定系数法求解即可.

【解答】解：当机＞0时，一次函数y随x增大而增大，，当x=l时，y=2且当x=3时，、=6,

令x=l,y=2,解得m=—不符题意，令x=3,y=6,解得加=-6,不符题意，

当加＜0时，一次函数y随x增大而减小，.,.当x=l时，y=6且当x=3时，y=2,

令x=l,y=6,解得加=-2,令x=3,y=2,解得“=-2,符合题意，；.故选：C.

【点评】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质

是解题关键.

【例题精析3】｛确定一次函数解析式*｝已知y+3与x+2成正比例，且当x=-3时，

y—1.

（1）写出y与x之间的函数表达式；

（2）当x=-3时，求y的值；

（3）若y的取值范围是-3“入3,求x的取值范围.

【分析】（1）设＞+3=以、+2）,把x、y的值代入求出左的值，即可求得函数表达式；（2）

把x=-3代入函数表达式，即可求得y的值；（3）由题意得出关于x的不等式组，求解即可

得到x的取值范围.

【解答】解：（1）设y+3=A（x+2）,把x=-3,y=7代入得：-4=10,解得：4=-10,

y+3=-10x-20,y与x之间的函数表达式为：j=-1Ox-23；

(2)把x=-3代入y=-10x-23得：y=-10x(-3)-23=7；

(3)根据题意得：-3,,-1Ox-23..3,解得：一26,X,-2,的取值范围为：-2.0不,-2.

【点评】本题考查的是用待定系数法求一•次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征以

及一元一次不等式组的解法，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

【例题精析4】｛确定一次函数解析式*｝如图，直线/是一次函数了=依+人的图象，且

经过点4(0,1)和点8(3,-2).

(1)求直线/的表达式；

(2)求直线/与两坐标轴所围成的三角形的面积.

【分析】(1)把点工(0,1)和点8(3,-2)代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即

可；

(2)根据解析式求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得.

【解答】解：(1)把点4(0,1)和点3(3,-2)代入>=点+6,

得产"=-2,解得：.直线/的表达式为yi+1；

[p=1[6=1

(2)在+1中，令歹=0,则一x+l=0,解得x=l,C(l,0),・・・B(OJ),:.OA=\,

08=1,.•.直线/与两坐标轴所围成的三角形的面积为g.

【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式,

三角形的面积，数形结合是解此题的关键.

te珠

【对点训练。｛确定一次函数解析式外如图，在平面直角坐标系中，直线>=彳+3

交x轴于点交y轴于点8,以点N为圆心，长为半径画弧，交X轴的负半轴于

点C,则直线8c的解析式为_y=3x+3_.

【分析】先求得4、8的坐标，然后利用勾股定理得出48的长，再利用圆的性质得出C。

的长，即可得出C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BC的解析式.

【解答】解：在直线y=——x+3中，令y=0,求得x=4；令x=0,求得y=3,

4

点/的坐标为(4,0),点8的坐标为(0,3),..80=3,20=4,="+甲=5,•.•以

点/为圆心，48长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C,，C。=5-4=1,则点C的坐标

[6=3

为：设直线8C的解析式为y=Ax+b,把8(0,3),代入得(，解

H+6=0

得，一，，.•.直线8c的解析式为k3x+3.

[6=3

故答案为y=3x+3.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股

定理的应用等，求得C的坐标是解题的关键.

【对点训练2】｛确定一次函数解析式*｝已知y与x-2成正比例，当x=3时，y=2.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当夕=-2时，求自变量x的值.

【分析】(I)利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)代入夕=-2计算即可.

【解答】解：(1)•jy与(x-2)成正比例，.,.设y=%(x-2),由题意得，2=%(3-2),

解得，k=2,则y=2x-4；(2)当y=-2时，贝iJ-2=2x-4,解得x=l.

【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，掌握

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键.

【对点训练3】｛确定一次函数解析式*｝如图，已知一次函数y=Ax+b的图象经过点

4-2,-1)和点8(1,3),并且交y轴于点。.

(1)求该一次函数的解析式和点。的坐标;

(2)求A4O8的面积.

【分析】(1)根据待定系数法即可求得；(2)求得。的坐标，然后根据S4MB=SAB8+SM8

即可求得.

k=+

【解答】解：(1)将4-2,7),8(1,3)代入y=H+b得：\~2k+h=-X,解得<3

[4+6=3

b=-

454555

一次函数的表达式为y=—x+—；(2)在卜=一刀+—中，令工=0得了=一，0D--,

■333333

。。°15,15,5

=XX+XX2=

SMOS=SABOD+SMOD23232'

【点评】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三

角形的面积，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键.

【对点训练4】｛确定一次函数解析式*｝如图，一次函数y=-(x+6的图象与x轴、y

轴分别交于点/、B,线段的中点为。(3,2).将A4O8沿直线C。折叠，使点力与

点8重合，直线C。与x轴交于点C.

(1)求此一次函数的解析式；

(2)求点C的坐标.

【分析】(1)根据线段中点的性质，可得B点，/点坐标，根据待定系数法，可得函数解

析式；

(2)如图，连接8C,设OC=x,则ZC=C8=6-x,根据翻折变换的性质用x表示出8c

的长，再根据勾股定理求解即可.

【解答】解：(1)设/点坐标为(。,0),8点坐标为(0,6),由线段的中点为。(3,2),得

0+a、0+b-

-------=3,--------=2,

22

解得a=6,6=4.即N(6,0),B(0,4),.•.一次函数的解析式为y=-：x+4.

(2)如图，连接8C,设OC=x,MAC=CB=6-x,

■：ABOA=90°,OB2+OC2=CB2,42+x2=(6-x)2,解得x=g,即点C的坐标为g,

0).

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，正确的求

出一次函数的解析式是解题的关键.

X侵囊*抬

【实战经典1】(2021•呼和浩特)在平面直角坐标系中，点/(3,0),5(0,4).以AB为

一边在第一象限作正方形则对角线8。所在直线的解析式为()

A.y=x+4B.y=-—x+4C.y=-■-x+4D.y=4

742

【分析】过。点作_Lx轴于〃，如图，证明\ABO=\DAH得到N"=OB=4,

DH=OA=3,则0(7,3),然后利用待定系数法求直线8。的解析式.

【解答】解：过。点作。H_Lx轴于4,如图，•.•点4(3,0),5(0,4).：.OA=3,OB=4,

•.•四边形N8C。为正方形，:.AB=AD,ZBAD=90°,•：Z.OBA+Z.OAB=90°,

AAOB=ZDHA

NOAB+NDAH=90°,ZABO=ADAH,在\ABO和\DAH中，■ZABO=ZDAH,

AB=DA

:.\ABO=\DAH{AAS),:.AH=OB=4,DH=OA=3,:.D(7,3),设直线8。的解析式为

y=kx+b,把。(7,3),8(0,4)代入得十八，，解得.“=一，，.•.直线8。的解析式为

\b=4..

I6=4

y=--x+4.故选：A.

7

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=Ax+b,需要两组x,y

的值.利用全等三角形的性质求出D点坐标是解决问题的关键.

【实战经典2](2021•乐山)如图，已知直线4:y=-2x+4与坐标轴分别交于Z、8两

点，那么过原点。且将ZUO8的面积平分的直线4的解析式为()

A.y=­xB.y=xD.y=2x

2

【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出力(2,0),8(0,4),则的中点为(1,2),所以4经

过的中点，直线“把ZU08平分，然后利用待定系数法求的解析式；

【解答】解：如图，当y=0,-2x+4=0,解得x=2,则4(2,0)；当x=0,y=4,则8(0,4),

.•.48的中点坐标为(1,2),•.•直线4把&面积平分.•.直线4过力8的中点，设直线右的解

析式为y=kx,

把(1,2)代入得2=&,解得％=2,二〃的解析式为y=2x,故选：D.

hK4i-

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线4过48的中点是解题的关

键.

【实战经典3】如图，在平面直角坐标系中，菱形0/8C的一个顶点在原点。处，且

ZAOC=60°,/点的坐标是(0,4),则直线/C的表达式是_y=—半》+4_.

【分析】根据菱形的性质，可得0C的长，根据三角函数，可得。。与CQ,根据待定系数

由菱形0Z8C的一个顶点在原点。处，/点的坐标是（0,4）,得。。=。/=4.又

•••Nl=60°,

Z2=30°.sinZ2=—=-,：.CD=2.cosZ2=cos30°=—=—,。。=2百，

OC2OC2

C（2V3,2）.设ZC的解析式为y=b+将/,C点坐标代入函数解析式，得

心瓜+'=2,解得）=一乎，直线zc的表达式是夕=一立》+4,故答案为：

J卜=43

出4

y=-----x+4.

3

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解

题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式.

图L小叁J

考点3：一次函数图像的平移

规律：“左加右减，上加下减”

①一次函数图象平移前后左不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.

②若向上平移〃单位，则b值增大力；若向下平移〃单位，则6值减小/?.

【例题精析1】｛一次函数的平移★｝将直线y=2x向右平移1个单位，再向上平移1

个单位后，所得直线的表达式为()

A.y=2x-\B.y=2xC.y=2x+4D.y=2x-2

【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可.

【解答】解：将直线y=2x向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的解析式

为y=2(x-l)+l,即y=2x-l.故选：A.

【，点:评】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一

个规律“左加右减，上加下减”.

【例题精析2】｛一次函数的平移★｝在平面直角坐标系中，将直线y=2x+2绕原

点。顺时针旋转90。后得到的直线的表达式为y=--x+\.

一2

【分析】求得直线y=2x+2与坐标轴的交点，进一步求得旋转后对应的点的坐标，然后根

据待定系数法即可求得.

【解答】解:由直线y=2x+2可知,直线与x轴的交点为(-1,0),与歹轴的交点为(0,2),

.•・交点绕原点。顺时针旋转90。后得到(0,1)、(2,0),设旋转后的直线解析式为歹=区+6,

(h=\k=-

代入点(0,1)和(2,0)得…,解得2，.•・旋转90。后得到的直线的表达式为

2%+力=0.,

i[b=1

1,

y=—x+1，

2

故答案为：y=--x+1.

2

【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，一次函数图象上点的

坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

【例题精析3】｛一次函数的平移★｝已知直线夕=h+6与直线y=-3x+7关于y轴对

称，贝k=3.b=.

【分析】根据若两条直线关于夕轴对称，则与x轴的交点关于y轴对称，这两条直线交于y

轴上同一点，即b值相同可以直接写出答案.

【解答】解：直线y=-3x+7关于y轴对称的解析式为y=3x+7.•.•直线夕=依+6与直线

y=-3x+7关于y轴对称，.•.后=3,b=1.故答案为：3,7.

【点评】此题主要考查了一次函数得几何变换，关键是利用数形结合来分析此类型的题，根

据图形，发现4和6值之间的关系.

防对支利珠

【对点训练1】｛一次函数的平移★｝将直线y=3x先向右平移3个单位，再向下平移2

个单位得到的直线解析式是_y=3x-ll_.

【分析】根据图象平移规律：左加右减，上加下减，即可解决问题.

【解答】解：•.•直线y=3x先向右平移3个单位，.•.y=3(x-3),再向下平移2个单位得到

y=3(x-3)-2,即y=3x-ll.故答案为y=3x-ll.

【点评】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟记平移规律是解决问题的捷径.

【对点训练2】｛一次函数的平移★｝直线y=2x+4沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴

向下平移3个单位所得直线解析式为_y=2x-3_

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，直线y=2x+4沿x轴向右平移2个单位所得直

线的解析式为y=2(x-2)+4由“上加下减”的原则可知，直线y=2(x-2)+4沿y轴向下

平移3个单位，所得直线的函数关系式为y=2(x-2)+4-3,即y=2x-3；

故答案为：y=2x-3.

【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的

关键.

【对点训练3】｛一次函数的平移★｝将直线y=3x-2向上平移2个单位，再向左平移

1个单位长度后，所得直线的解析式是_y=3x+3_.

【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式即可.

【解答】解：将直线y=3x-2向上平移2个单位，再向左平移1个单位长度后，所得直线

的解析式是y=3(x+l)-2+2,即y=3x+3,故答案为y=3x+3.

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规

律，属于基础题，中考常考题型

二发建儿疆

【实战经典1](2021•陕西)在平面直角坐标系中，将直线y=-2x向上平移3个单位,

平移后的直线经过点则加的值为()

A.-1B.1C.-5D.5

【分析】先根据平移规律求出直线y=-2x向上平移3个单位的直线解析式，再把点(-1,加)

代入，即可求出用的值.

【解答】解：将直线y=-2x向上平移3个单位，得到直线y=-2x+3,把点(-1,〃?)代入，

得机=—2x(―1)+3=5.

故选：D.

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平

移后的直线解析式是解题的关键.

【实战经典2](2021•桂林)如图，与图中直线y=-x+l关于x轴对称的直线的函数表

达式是—y=x-1_.

【分析】关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数.

【解答】解：••・关于x轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数，

直线y=-x+l关于x轴对称的直线的函数表达式是-y=-x+l,即y=x-l.故答案为

y=x-\.

【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解

答此题的关键.

【实战经典3](2020•广安)一次函数y=2x+b的图象过点(0,2),将函数y=2x+b的

图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为=2x+7_.

【分析】根据待定系数法求得6,然后根据函数图象平移的法则“上加下减”，就可以求出

平移以后函数的解析式.

【解答】解：•.•一次函数y=2x+b的图象过点(0,2),.•)=2,.•.一次函数为y=2x+2,

将函数y=2x+2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x+2+5,即

y=2x+l.故答案为y=2x+7.

【点:评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象平移的规律是解题关键，注意

求直线平移后的解析式时要注意平移时段的值不变.

图2强£仁

考点4:一次函数与方程不等式的关系

(1)一次函数与方程：一元一次方程丘+%=0的根就是一次函数尸依+6(晨6是常数，原0)

的图象与x轴交点的横坐标.

y=k.x+b

(2)一次函数与方程组：二元一次方程组《的解=两个一次函数y=Kx+b和

y=k2x+b

y-左2》+b图象的交点坐标.

(3)一次函数与不等式

(1)函数尸丘+6的函数值y>0时，自变量x的取值范围就是不等式b+b>0的解集

(2)函数严履+6的函数值y<0时，，自变量x的取值范围就是不等式b+6<0的解集

厅与学春笔记

二掇网融易新

【例题精析1】｛一次函数与方程★｝已知函数卜=履+6的部分函数值如表所示，则关

于X的方程履+6-5=0的解是()

X-2-11

y53-1

A.x=2B.x=—2C.x=3D.x=—3

【分析】首先根据表格数据可得当y=5,x=-2,即y=fcc+b=5时，x=-2,进而利用函

数解析式求出y=5时x的值即可.

【解答】解：,当y=5,x=-2,.,.当y=a+/>=5时，自变量x=-2,关于x的方程

去+6-5=0的解是x=-2,故选：B.

【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确连接一次函数解析式和一元

一次方程的关系.

【例题精析2】｛一次函数与方程★）如图，直线了=履+6/=0）与y=-[x+|相交于

y=kx+b

点（2,⑼，则关于x,y的方程组，43的解是()

y=——x+一

’55

X=1x=2

C.D.

尸2y=-l

，〃，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成

的方程组的解可得到答案.

43一,43

【解答]解：把尸（2,加）代入y=_]%+g得加=.,.直线y=依+6（左w0）与y=+g相

交于点（2,-1）,

y=kx+b

X=2;故选：D.

关于x,y的方程组<43的解是

y-——x+—y=-i

55

【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析

式组成的方程组的解.

【例题精析3]｛一次函数与不等式★｝已知一次函数必=履+36为常数，且女工0）和

必=x-3.当x<2时，必>%，则人的取值范围是（）

A.1且左wOB.k-2C.%.」D.-2〈人<1且心0

【分析】解不等式fcv+3>x-3,根据题意得出4-l<0且-工…2且4寸0,解此不等式即

k-\

可.

【解答】解：•.•一次函数必=履+3（左为常数，且左/0）和8=工一3,当x<2时，必〉歹2,

kx+3>x—3,kx—x>—6,/.Zr—1<0且-----...2且k于0,当％—1<0时，-----...2时,

k—\k—1

k...-2,所以不等式组的解集为-2,左<1且左二