专题07等比数列的概念与前n项和（考点清单知识导图+2考点清单+10题型解读）（教师版） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题07等比数列的概念与前n项和【清单01】等比数列的概念与通项公式一．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．二．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±eq\r(ab).三．等比数列的通项公式等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.四．等比数列的性质1.若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．2.在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.3.数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．4.在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.5.当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．【清单02】等比数列的前n项和一．等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))二．等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．【考点题型一】等比数列基本量的计算方法总结：等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一个整体．(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．【例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知等比数列{an}满足an+1A．12 B．1 C．4 D．【答案】C【分析】由an+1=4an【详解】因为等比数列{an}满足an+1所以an+1a解得：a3故选：C.【变式1-1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3A．4 B．−2 C．2 D．−4【答案】C【分析】根据给定条件，结合等比数列通项及前n项和的意义，列式计算作答.【详解】等比数列an的前n项和为Sn，由S3而a1+a2+所以q=2故选：C【变式1-2】（22-23高二上·江苏连云港·期中）记Sn为等比数列an的前n项和．若S2A．24 B．48 C．39 D．36【答案】C【分析】根据等比数列的性质可知S2，S4−【详解】∵Sn为等比数列an的前n项和，∴S2，S∴S2=3，S4−S故选：C【变式1-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）在等比数列{an}中，已知a1a3【答案】−128或128【分析】根据等比数列的公式直接计算得到答案.【详解】设等比数列的公比为q，在等比数列{an}中，aa1a1q2=4a1q则a8=a故答案为：−128或128【变式1-4】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列an的前n项和为Sn，若a2+【答案】−1【分析】根据题意可得出关于q的等式，解之即可.【详解】因为a2+S3=故答案为：−1.【考点题型二】等比数列的通项公式方法总结：定义法:先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式。【例2】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5A．2n−3 B．2n−2 C．【答案】A【分析】由等比数列的性质与累加法求解，【详解】根据题意得，a1+a1qn≥2时，b故b=1故选：A【变式2-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项之和为Sn，满足Sn=2Sn−1n【答案】2【分析】先得到Sn是等比数列，求出Sn=2n【详解】∵Sn=2S∴Sn∴Sn∴n≥2时，a故答案为：2n【变式2-2】（20-21高二上·江苏·期中）设an是正项等比数列，且3a3+2a4=【答案】an=【解析】设出等比数列的公比，列方程求解即可【详解】由an是正项等比数列，3a3+2a3a2q+2a∵an>0，∴q故答案为：an=【变式2-3】（21-22高二上·江苏徐州·期中）(1)已知数列an满足a1=1,(2)已知数列an中，a1=2,a2=3，其前n项和Sn【答案】(1)a(2)a【分析】(1)将给定的递推公式变形构造等比数列求解即可.(2)利用“当n≥2时，Sn−【详解】（1）数列an中，因an+1=2a于是得数列an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，则an所以数列an的通项公式是a（2）因数列an前n项和Sn满足Sn而当n≥2时，Sn−Sn−1=于是得数列an是以2为首项，1为公差的等差数列，则a所以数列an的通项公式是a【变式2-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）设an是公差不为0的等差数列，a1=2，a7为(1)求an(2)设bn=2n，求数列【答案】(1)an(2)Sn【分析】（1）运用等比中项，和已知条件构造方程，解出d=3（2）求出an【详解】（1）设an的公差为dd=0，因为a1=2，a所以2+6d2=2+2d2+16d（2）anSn2S①-②得，−=4+3(=4+3=(4−3n所以Sn【考点题型三】等比数列的前n项和方法总结：注意:(1)公式的推导方法是错位相减法，即先求前n项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数(2)在求等比数列的前n项和时，一要讨论公比q是否能为1【例3】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知数列an是公比为2的等比数列，数列bn是等差数列，a1=b(1)求数列an，b(2)设cn=an+bn【答案】(1)an=(2)2【分析】（1）设数列bn的公差为d，根据所给条件及等差、等比数列通项公式得到关于a1、b1（2）由（1）可得cn【详解】（1）设数列bn的公差为d依题意可得a1=b所以an=2（2）由（1）可得cn所以S==2【变式3-1】（23-24高二下·江苏南京·期中）数列an满足a1=1，a(1)an(2)bn=(a2n+2)log【答案】(1)a(2)T【分析】（1）利用配凑法证得数列an+2是以3为首项，3为公比的等比数列，进而求得（2）利用错位相减法求得数列bn的前n项和T【详解】（1）数列an满足a整理得an+1+2=3即an所以数列an故an整理得an（2）由于an=3所以Tn9T①-②得：−8T所以Tn【变式3-2】（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知数列an满足：a1=1，n(1)求证：bn(2)求数列an(3)求数列an的前n项和S【答案】(1)证明见详解(2)a(3)S【分析】（1）将nan+1=3(n（2）由（1）得到an（3）结合（2）中通项利用错位相减法求得Sn【详解】（1）由a1=1，na因为bn=ann所以数列bn是首项为1，公比为3（2）由（1）可得：bn=3n−1（3）由（2）可知：an则Sn可得3S上面两式相减可得：−2Sn=所以Sn【变式3-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求an(2)求Sn【答案】(1)a(2)S【分析】（1）根据an+1=Sn+1−Sn（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）由2n得2n则当n≥2时，a所以an当n=1所以an（2）由（1）知Sn∴1①-②得，12∴S【变式3-4】（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列an满足a3=4(1)求an(2)设bn=2an【答案】(1)a(2)4【分析】（1）由a3=4，且a2，a（2）由（1）可得bn=2nn【详解】（1）因为a2，a3，又a1q2=4，所以q=2，（2）由（1）可知an=2所以b===2×【考点题型四】等比数列的证明方法总结：判断一个数列是等比数列的常用方法1.定义法：若数列{an}满足eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．2.通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．3.等比中项法：若aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．4.构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．【例4】（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，A．S2=4 C．数列an是等比数列 D．数列S【答案】ABD【分析】根据an,Sn的关系，即可作差求解【详解】因为an+1=3Sn故n≥2时，两式相减得，an+1因为a2故数列{an}则S2a6因为an+1=3即数列{S故选：ABD．【变式4-1】（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列an满足aA．当k=0且a1≠0B．当k=1时，aC．当k=2时，aD．当k=3，且a1=5时，【答案】ACD【分析】利用等差数列，等比数列的定义判断ABC，利用裂项求和来计算D.【详解】对于A：当k=0且a1≠0时，a对于B：当a1+1=0，即a1对于C：当k=2时，an+1=2an+2n对于D：当k=3，an+1则数列an−3n是首项为所以1log1log2a故选：ACD.【变式4-2】（多选）（22-23高二上·江苏宿迁·期中）若数列anA．an2 B．an⋅an【答案】AB【分析】由已知结合等比数列的定义检验各选项即可判断.【详解】若数列an是等比数列，则aA：anB：an当an故选：AB.【变式4-3】（多选）（20-21高二上·江苏南通·期中）设数列{an}前n项和为SA．若an=aB．若Sn=aC．若{an}D．若Sn=1−(−1)【答案】BD【分析】举出反例，如an根据an与Sn的关系，求得数列举出反例，如{an}为1,−1,1,−1,1,−1,⋯根据an与Sn的关系，求得数列【详解】对于A，若an=a对于B，由Sn当n=1时，a当n≥2时，a当n=1时，a所以an则an所以{a对于C，若{an}为等比数列，如{anSn所以Sn对于D，若Sn当n=1时，a当n≥2时，a当n=1时，a所以an则an所以数列{a故选：BD.【变式4-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn(1)求证：数列an−1是等比数列，并求数列(2)设cn=1an−1，数列cn【答案】(1)证明见解析，a(2)证明见解析【分析】（1）根据Sn,an的关系即可作差得（2）根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）∵Sn=2an+两式相减得：Sn−Sn−1∴an−1=2(a令n=1得：S1=a1∴an∴an−1=2（2）由（1）得：cn=1an∴Tn=【考点题型五】等比数列的性质方法总结：1.若数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．注意：如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0.2.等比数列{an}中，若项数为2n，则S奇S偶＝1q；若项数为2n＋1，则eq\f(S奇－a1,S偶)＝q【例5】（20-21高二上·江苏扬州·期中）已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若S3A．50 B．60 C．70 D．80【答案】B【解析】由等比数列前n项和的性质即可求得S12【详解】解：∵数列an∴S3，S6−S即4，8，S9−S易知公比q=2∴S9−S12故选：B.【变式5-1】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设Sn,Tn分别是等差数列anA．若a15+a16>0，aB．若Tn=5nC．S5D．T5【答案】BCD【分析】A由已知可得−292d<a1<−15d，且【详解】令an的公差为d，则a所以a15+a16=2使Sn=n而29<−2a1d<30所以使Sn>0的最大正整数令bn的公比为q且q≠0，则所以q=5b1根据等差、等比数列片段和的性质知：S5,S故选：BCD【变式5-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）两个等比数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知Sn【答案】14/【分析】设数列an，bn的公比分别为q1,q2，在已知式中令n=1得a1=4【详解】设数列an，bn的公比分别为则n=1时，S1T当n=2时，S2T当n=3时，S3T联立2q2−3q1当q1=1q当q1=7q所以a5故答案为：14【变式5-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知Sn是正项等比数列an的前n项和，S4=10，则【答案】−【分析】由等比数列的性质可得：S4，S8−【详解】由等比数列的性质可得：S4，S8−则S4由于S4=102S当且仅当S8=故答案为：−5【变式5-4】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知数列an共有10项，该数列的前5项成等比数列，后6项成等差数列，且a2=4，a6=34，a10=42，则a【答案】30252【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式求出公差公比，进而根据公式计算可得答案.【详解】由已知a1,aa5,a∴d=a∴q∴a数列an所有项的和故答案为：30；252.【考点题型六】等比数列的单调性方法总结：等比数列的单调性基本方法：1a1>0时，=1\*GB3①公比q>1，单调递增;=2\*GB3②q=1无单调性;=3\*GB3③0<q<1，单调递减;=4\*GB3④q<0，无单调性.2a1<0时，=1\*GB3①公比q>1，单调递减;=2\*GB3②q=1无单调性;=3\*GB3③0<q<1，单调递增;=4\*GB3④q<0，无单调性.【例6】（多选）（20-21高二上·江苏无锡·期中）关于递增等比数列anA．当a1>0q>1 B．a1>0【答案】BCD【解析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项a1，公比q【详解】A，当a1>0qB，当a1>0，q<0C，当a1<0，q>1D，若a1>0，an故选：BCD．【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题．【变式6-1】（20-21高二上·江苏连云港·期中）设an是公比为q的等比数列，q>1，令bn=an+1(A．−32 B．−43 C．【答案】A【分析】由题意转化条件得数列an的连续四项在集合−54,−24,18,36,81【详解】∵bn=an+1(∴an=bn−1(因为an是等比数列，等比数列中一定有正项和负项相邻，则q按绝对值的顺序排列上述数值得18,−24,36,−54,81，相邻两项相除−2418则可得−24,36,−54,81是数列an∴q=−32故选:A.【变式6-2】(多选)（20-21高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1>1,a8A．q>1 B．a8>1 C．T【答案】BC【分析】由正项等比数列知q>0，又a1>1且(a8−1)(1−a【详解】由题意知：(a8−1)(1−∵等比数列{an}的各项均为正数，公比为q∴{an}∴综上知：a8>1>a9，即∵T16=a∴T16>1，而故选：BC【点睛】关键点点睛：由等比正项数列性质，结合已知推出a8>1>a9，1>q【变式6-3】(多选)（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项和为SA．若数列an为等差数列，则2B．若数列an为等差数列，Sn>0C．若数列an为等比数列，则SD．若数列an为等差数列，a1>0，S【答案】ACD【分析】用定义法判断数列为等比数列，利用等差数列，等比数列的性质解题.【详解】选项A：若an为等差数列，设公差为d，则2则2a选项B：若数列an为等差数列，设公差为d，首项为a1，则当d=0时，Sn>0恒成立，数列a选项C：若数列an为等比数列，设首项为a1≠0q=1时，an为常数列，a1q≠1时，S2023⋅所以若数列an为等比数列，则S选项D：若数列an为等差数列，a1>0，S又等差数列性质有5a9=0，a9=0所以Sn故选：ACD【变式6-4】（20-21高二上·江苏苏州·期中）在①1，an，Sn成等差数列；②递增等比数列an中的项a2，已知数列an和等差数列bn满足__________，且b1=a4，b2=a2−a3，是否存在k【答案】任选①②，结论都是：不存在k3<k<20,k∈【解析】选①，由an=Sn−Sn−1(n≥2)得出数列{an}是系数，求得其通项公式后，可得选②，由方程的根，及数列的性质得出a2,a4，从而可得an，求出b1,b2，得公差d【详解】若选①，∵1，an，Sn成等差数列，∴即Sn=2an−1n≥2时，an=Sn−S∴b1=a4=8，bTnT1=8，T2=6，T3=−6，∴不存在k3<k<20,k∈若选②，∵递增等比数列an中的项a2，a4∴a2=1,a4=9，则qb1=a4=9Tn=n易知T1=9，n≥2时，T∴不存在k3<k<20,k∈【点睛】关键点点睛：本题考查注等比数列的通项公式，求等差数列的前n项和，解题关键是由基本量法法求得an和Tn，然后分析Tn【考点题型七】等比数列实际应用【例7】（23-24高二上·江苏南通·期中）折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（

）A．2−18 B．2−28 C．【答案】A【分析】根据等比数列的性质，结合等面积法即可求解.【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为22，公比为22，故对折5次后，得到腰长为22设该等腰直角三角形的内切圆半径为r，则由等面积法可得12×2故选：A.【变式7-1】（多选）（23-24高二下·江苏盐城·期中）在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得∠FMN=15°依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第n个正方形的边长为an（其中第1个正方形的边长为a1=AB，第2个正方形的边长为a2=EF，⋯⋯），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为A．a2=6C．数列Sn是公比为63的等比数列 D．数列an2的前n【答案】ABD【分析】利用正方形的特征结合15∘【详解】对A：由题意可知AE=EFAB而sin15°=sin60°cos45°−cos60°sin45°=6−2所以EF=对B：由上可知AE=所以S1对C：易知△MNF而相似比MNEF即an是首项为3，公比为6Sn是首项为34，公比为对D：由上可得an=3⋅6则Tn显然y=23n单调递减，即23故选：ABD.【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出等比数列an【变式7-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有511个正方形，且其最大的正方形的边长为1，则其最小正方形的边长为.【答案】116/【分析】由题意可得方形的边长构成以1为首项，22【详解】由题意，得正方形的边长构成以1为首项，22现已知共含有511个正方形，则有1+2+2解得n=9，所以最小正方形的边长为1×故答案为：116【变式7-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）如图，将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列a1、a2、a5、⋯构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若a3=6，【答案】4【分析】分析可知，a69位于第9行第5项，根据题意得出a2=2a1，a65=【详解】第1行最后一项为a1，第2行最后一项为a22，第3行最后一项为a以此类推可知，第nn∈N因为64=82<69<92，所以，a由题意可知，a2=2aa65=a由①②可得a1=1，故答案为：4.【变式7-4】（23-24高二上·江苏泰州·期中）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A1B1C1D1的边长为3，往里第二个正方形为A2B2C【答案】500243【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n项和公式进行求解.【详解】设第n个正方形的边长为an，则a因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，所以A2B1所以外围第2个正方形的边长为a2同理，外围第n+1个正方形的边长为a即数列an是首项为3，公比为5所以an所以a7所以第7个正方形的周长是4×125所以第n个正方形的面积为an所以前n个正方形的面积之和S=9由8141−5两边取常用对数得，nlg59因为n∈故答案为：500243【考点题型八】等比数列恒成立【例8】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an−2n+1，数列bn满足b【答案】34【分析】先通过递推公式求出an的通项公式，代入求出b【详解】因为Sn=2a所以an=2a两边同除2n可得a又因为n=1时a1=2所以an2n即an所以bn代入不等式可得1+1即m≤令cn=1+所以c==1+因为2n所以2n所以cn+1−cn所以m≤34，即m故答案为：3【点睛】关键点睛：数列的恒成立问题往往需要研究数列的单调性，一般通过作差法来判断单调性.【变式8-1】（20-21高二上·江苏南通·期中）等比数列an的前n项积为Tn，且满足a1>1，a102A．102 B．203C．204 D．205【答案】C【解析】由题意可得a102a103【详解】由a102a103−1>0，即a102所以等比数列an由a102−1a可得：a102所以T204T205故使得Tn故选：C【点睛】关键T204=a1⋅a2⋅…a【变式8-2】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5(1)求数列an(2)设bn①求数列bn的前n项和T②若不等式λTn−Sn【答案】【小题1】an=2n+1；【小题2】①【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；（2）①先计算bn的通项公式，再用错位相减法求解T

②代入Tn,Sn，得到λ≤2−n【详解】（1）依题意得3a1+∴an=（2）①bnanTn3T所以−2Tn=3+2⋅3+2⋅32∴T②由（1）易求得Sn=n(n即转化为λ≤2−n令fn=2−又fn当1≤n≤2时，fn+1−所以f(1)>f(2)>f(3)所以实数λ的最大值为−1【变式8-3】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10=155，a3=8，设数列(1)求数列an和b(2)设cn=anbn，数列cn的前n项和为T【答案】(1)an=3(2)2023【分析】（1）由等差数列的通项公式与前n项和公式列列方程组求解an，由bn与Pn（2）转化为最值问题求解，【详解】（1）设等差数列an的公差为dS10=10a1+45由Pn=当n≥2时，又b1=2适合上式，所以（2）不等式12Tn则m<显然cn=am<正整数m的最大值为2023．【变式8-4】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列an的前n项和记为An，且An=na1+an2，数列bn是公比为q的等比数列，它的前(1)若a1=1，a3(2)求证：数列an(3)若q=2，是否存在正整数m，k，使得Ak=65Bm【答案】(1)a(2)证明见解析(3)存在，m=7，k【分析】（1）根据An=n（2）根据an（3）根据等差、等比数列的求和公式和Ak=65Bm得到260−k=3902m【详解】（1）当n=3时，A因为a1=1，a3（2）由An=n两式相减，得an+1=所以na两式相减，得2an+1（3）依题意：ak=bm=即a1+a因为28=256，且m≥3又因为390=6×65，且2m−1+1为奇数，所以2m−1所以m=7，k【考点题型九】等比数列分奇偶【例9】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列an满足an=n+2,A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A【分析】按奇偶性分类讨论即可求解.【详解】m为奇数时，依题意有m+1又由m≥2可知2m为偶数时，依题意有2m故选：A【变式9-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列an满足an+2=a(1)求通项an(2)求数列a2n−1⋅a【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根据数列递推公式的分段形式，分别求n为奇数和偶数的通项公式;（2）由（1）可知cn【详解】（1）当n为奇数时，由an+2−a2k−1=a当n为偶数时，由an+2=2a2k=a2∴an（2）记cnT=2相减得：−=∴T【变式9-2】（22-23高二上·江苏扬州·期中）在数列an中，a1=2,(1)求证：数列bn(2)设cn=bn,n为偶数【答案】(1)证明见解析；(2)Sn【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明即可；（2）根据等比数列、等差数列前n项和公式分组进行求和即可.【详解】（1）由已知得an+1−(即bn又∵a1−1=1≠0,∴（2）由（1）知，b∴∴

=

=1【变式9-3】（21-22高二上·山东青岛·期中）已知数列an为等差数列，a1=1，a2n=a(1)求数列an和b(2)若cn=an,【答案】(1)an=(2)2【分析】（1）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，根据