期中真题必刷基础100题(50个考点专练)(教师版) 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲(苏教版2019选择性必修第一册)_第1页
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期中真题必刷基础100题(50个考点专练)直线的倾斜角(共2个小题)1.(23-24高二上·江苏徐州·期中)若一条直线经过两点1,0和2,3A.π6 B.π3 C.2π3【答案】B【分析】应用直线斜率公式,结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】因为一条直线经过两点1,0,2,3所以该直线的斜率为3−0则有该直线的倾斜角满足tanα=3所以α=故选:B2.(23-24高二上·四川成都·期中)过两点A3,y,B2,0的直线的倾斜角为120【答案】−【分析】根据倾斜角求出斜率,再用两点坐标表示斜率即可求出y的值.【详解】由过两点A3,y,知其斜率为tan120故答案为:−直线的斜率(共2个小题)3.(23-24高二上·浙江温州·期中)若直线y=2x+3的倾斜角为α,直线y=kxA.43 B.34 C.−4【答案】C【分析】由已知直线斜率可以求得tanα【详解】由直线y=2x+3可知,tan则k=−故选:C4.(22-23高二上·安徽滁州·期中)已知点A−1,2,B2,−2,C0,3,若点Ma,b是线段A.−52,1C.−1,52 【答案】D【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.【详解】由斜率公式可得kAC=2−3由图像可知,当M介于AD之间时,直线斜率的取值范围为1,+∞,当M介于BD之间时,直线斜率的取值范围为−∞,−5所以直线CM的斜率的取值范围为−∞,−5故选:D倾斜角与斜率的关系(共个小题)5.(20-21高二上·河北张家口·期中)设直线l的斜率为k,且−1≤k<3A.0,π3∪C.π6,3π【答案】D【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到−1≤tanα<3,结合正切函数的图象及α【详解】由题意得:−1≤tanα因为α∈0,π,且tan3π画出y=tan所以α故选:D6.(23-24高二上·河南洛阳·期中)已知直线l:x+ycosA.0,π B.π4,π2 C.【答案】C【分析】当cosθ=0时,可得倾斜角为π2,当cos【详解】当cosθ=0时,方程变为x−3=0当cosθ≠0时,由直线方程可得斜率因为cosθ∈−1,1则k∈−∞,−1∪又因为α∈0,π,综上所述:倾斜角的范围是π4故选:C直线的方程(共2个小题)7.(多选)(23-24高二上·浙江金华·期中)过点A3,4A.4x−3yC.x+y−1=0【答案】ABD【分析】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等,则a=b或【详解】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等,即|a|=|b|,则当a=b=0时,则直线设为y=kx此时直线方程为:y=43当a=−b≠0时,则直线设为xa+解得a=−1,b=1,此时直线方程为:x当a=b≠0时,则直线设为xa+解得a=b=7,此时直线方程为:x故选:ABD.8.(22-23高二上·广东东莞·期中)根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式:(1)斜率是−12,经过点(2)经过两点P1【答案】(1)x(2)x【分析】(1)根据题意,结合直线的点斜式方程,即可求解;(2)根据题意,利用斜率公式,求得直线的斜率为k=−1【详解】(1)解:因为直线的斜率是−12,经过点由直线的点斜式方程,可得y−(−2)=−12(2)解:因为直线过两点P13,−2、由直线的点斜式方程,可得y−(−2)=−(x−3)直线过定点(共2个小题)9.(23-24高二上·四川·期中)已知直线ax+a−1y−2=0经过定点【答案】2,−2【分析】对直线方程变形,联立方程组x+【详解】直线ax+a−1y−2=0即a所以点P的坐标为2,−2.故答案为:2,−210.(23-24高二上·四川凉山·期中)已知直线l:a−1x+(1)若不论x取何值,直线l恒过一定点A,求该定点A的坐标;(2)若直线l不过第二象限,求实数a的取值范围.【答案】(1)1,6;(2)a≤−5【分析】(1)根据直线方程直接确定其所过的定点即可;(2)根据直线所过定点及不过第二象限,直线l过原点0,0时倾斜角最小,且直线斜率恒正,列不等式求参数范围.【详解】(1)由a−1x+当x=1时,无论a取何值都有y所以直线l恒过定点1,6.(2)由(1)知,直线l恒过定点1,6,要使直线l不过第二象限,故直线l过原点0,0时倾斜角最小,且直线斜率恒正,所以,只需直线的斜率1−a≥6−0直线与图像(共2个小题)11.(23-24高二上·浙江金华·期中)已知直线l1:yA. B.C. D.【答案】B【分析】由两直线的解析式可得直线l1的斜率为a、纵截距为−b,【详解】选项A,由l1的图象可知,a<0,−b>0,由l2不成立,A错误;选项B,由l1的图象可知,a>0,−b>0,由l2可能成立,B正确;选项C,由l1的图象可知,a<0,−b>0,由l2不成立,C错误;选项D,由l1的图象可知,a>0,−b>0,由l2不成立,D错误.故选:B.12.(多选)(23-24高二上·甘肃白银·期中)同一坐标系中,直线l1:yA. B.C. D.【答案】BC【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y轴上的截距,从而得以判断.【详解】因为l1:y对于A,由图可得直线l1的斜率a<0,在y轴上的截距而l2的斜率b对于B,由图可得直线l1的斜率a>0,在y轴上的截距而l2的斜率b<0,在y轴上的截距−a对于C,由图可得直线l1的斜率a<0,在y轴上的截距而l2的斜率b>0,在y轴上的截距−a对于D,由图可得直线l1的斜率a>0,在y轴上的截距而l2的斜率b故选:BC.直线平行与垂直的判定(共2个小题)13.(多选)(22-23高二上·山东济南·期中)若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α1A.若斜率k1=k2,则l1∥lC.若倾斜角α1=α2,则l1∥【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC,举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率k1=k2,则它们的倾斜角对于B,由两直线垂直的条件可知,若k1k2对于C,由两直线平行的条件可知,若倾斜角α1=α对于D,若α1+α则k1=tanα1=故选:ABC14.(22-23高二上·广东广州·期中)已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),(1)求斜率kMN与斜率k(2)求证:四边形MNPQ为矩形.【答案】(1)k(2)证明见解析【分析】(1)利用斜率公式求解即可;(2)利用直线平行与垂直的性质依次证得MN//PQ,MQ//【详解】(1)因为M(1,1),所以kMN=−1−1(2)因为kMN=−1,k又因为kMQ=2−1所以四边形MNPQ为平行四边形,又因为kMN⋅k所以四边形MNPQ为矩形.由直线的平行与垂直求参数(共2个小题)15.(22-23高二上·四川内江·期中)已知两条直线l1:x+my+6=0, lA.−1 B.3 C.−1或3 D.1或−3【答案】A【分析】根据给定条件,利用两条直线平行的充要条件列式计算即得.【详解】直线l1:x所以m=−1故选:A16.(23-24高二下·上海·期中)直线l1:3x−(k+2)y【答案】−9【分析】分别讨论两直线斜率是否存在,存在时两斜率相等解方程即可解得k=−9【详解】当k+2=0时,即k当2k−3=0时,即当k≠−2且k≠3解得k=1或k又当k=1时,l1:3当k=−9时,l1与故答案为:−9由直线的平行与垂直求直线方程(共2个小题)17.(23-24高二上·河南·期中)过点−1,2且与直线x−A.x+y−3=0 B.x−y+3=0【答案】C【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率,由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解.【详解】因为直线x−又直线l过点−1,2,所以由点斜式方程可知直线l的方程为:y−2=−即x+故选:C18.(23-24高二上·广东肇庆·期中)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1)过C点且与直线AB平行的直线方程一般式;(2)AB边的中垂线的一般式方程.【答案】(1)x(2)x【分析】(1)利用两直线平行的斜率关系及点斜式计算直线方程,再化为一般式即可;(2)利用两直线垂直的斜率关系及中点坐标公式、点斜式计算直线方程,再化为一般式即可.【详解】(1)由A1,2,B4,−1知,又因为直线过C6,5则为y−5=−1×x−6(2)设线段AB的中点为M,则点M1+42,由上可知kAB=−1,所以其中垂线斜率为则可得中垂线的方程为y−整理得AB边的中垂线的一般式方程是x−平面两点间的距离(共2个小题)19.(23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中)三角形的三个顶点为A2,−1,B3,2,A.3 B.5 C.9 D.25【答案】B【分析】求出BC边的中点坐标,根据两点间的距离公式即可求得答案.【详解】设BC边的中点为D,则D点坐标为(3−52,故△ABC的中线AD的长为(2+1)故选:B20.(23-24高二上·海南·期中)在平面直角坐标系xOy中,原点O到直线l1:x−2y+4=0与A.10 B.23 C.13 D.【答案】C【分析】先求解出l1【详解】因为x−2y+4=03x所以原点O到交点的距离为2−02故选:C.点到直线的距离(共2个小题)21.(23-24高二上·河北石家庄·期中)若点P1,3到直线l:4x+3A.2 B.3 C.32 【答案】A【分析】根据点到直线的距离求解.【详解】由点到直线距离公式知,d=解得a=2故选:A22.(多选)(23-24高二上·浙江·期中)已知A−1,−2,B2,4两点到直线l:A.−4 B.3 C.−2 D.1【答案】AC【分析】分AB所在的直线平行于直线l和AB的中点在直线l上两种情况进行讨论求解.【详解】因为A−1,−2,B2,4两点到直线l:当AB所在的直线平行于直线l时,因为kAB=4+22+1=2当AB的中点−1+22,−2+42在直线l上时,故选:AC.平行线间的距离(共2个小题)23.(23-24高二下·上海·期中)设a∈R,若直线2x+y−3=0与直线2x【答案】2或−8【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】由题意可得d=a+322故答案为:2或−824.(23-24高二下·浙江·期中)若直线x−y=1与直线m+3x【答案】−32【分析】根据两直线平行的条件,求出m的值,再利用两条平行直线间的距离公式即可得解.【详解】因为直线x−y=1所以m+31=所以直线m+3x+而直线x−y=1∴它们之间的距离为−16+33故答案为:−32;将军饮马问题(共2个小题)25.(23-24高二上·河南新乡·期中)5xA.1955 B.3 C.2055 【答案】C【分析】根据题意将所求问题转化为y=2x上一点P到A0,1,B−2,0两点的距离之和的最小值,可求出点【详解】因为5表示直线y=2x上一点P到设点B−2,0关于直线y=2x的对称点为Cx,即C65,−85即5x2−4故选:C.26.(22-23高二上·河北石家庄·期中)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河,“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路最短?试求x2A.5 B.10 C.1+5 D.【答案】B【分析】将已知变形设出P0,1,Q1,2,则x2+1+x2−2x【详解】x2=x设P0,1,Q1,2,则x2+1+x2−2x点P关于x轴的对称点的坐标为P'连接P'则PS+当且仅当P',S,Q故选:B.与直线有关的对称问题(共2个小题)27.(21-22高二上·湖北武汉·期中)已知直线:l1:y=ax+3与l2关于直线yA.−12 B.12 C.【答案】C【分析】点x,y关于直线y=x的对称点为y,【详解】直线l1关于直线y=x即l2:x=ay+3,故a=−2故选:C.28.(22-23高二上·山东泰安·期中)已知点A与点B(1,2)关于直线x−yA.(−1,4) B.(4,5) C.(−5,−4) D.(−4,−3)【答案】A【分析】设Ax【详解】设Ax,y,则x故选:A.圆的标准方程(共2个小题)29.(22-23高二上·云南昆明·期中)直线x4−y2=1与x轴,y轴分别交于点AA.x2+yC.x2+y【答案】B【分析】根据直线方程求出A、B点的坐标,从而求出AB的中点即为圆心,AB长的一半为半径,利用圆的标准方程直接写出,再化为一般方程即可.【详解】直线x4−y2=1,即x4+y−2则AB的中点为2,−1,且AB=所以以线段AB为直径的圆的方程为x−22+故选:B30.(23-24高二上·浙江杭州·期中)过A(6,0)和BA.(x−3)2C.(x−3)2【答案】C【分析】求出以AB为直径的圆的方程可得正确的选项.【详解】设过A(6,0)和B(0,−8)两点的圆的圆心为M,半径为则2R故R≥5,当且仅当M为AB故过A(6,0)和B(0,−8)两点的圆的面积最小时直径为此时圆的圆心为3,−4,故其标准方程为(x故选:C.圆的一般方程(共2个小题)31.(23-24高二上·安徽宿州·期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(1)求BC边上的高所在直线的方程;(2)求△ABC【答案】(1)x(2)x【分析】(1)先求kBC,再由斜率之积为−1求出k(2)设出圆的一般方程,带入三点坐标,解出即可.【详解】(1)因为kBC=−1−23−4=3则kBC因为点A1,3所以y−3=−1(2)设△ABC外接圆的方程为x则1+9+D+3E故△ABC外接圆的方程为32.(23-24高二上·新疆塔城·期中)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A0,4,B−3,−1,(1)求AB边中线所在直线的方程;(2)求△ABC外接圆的一般方程.【答案】(1)x(2)x【分析】(1)先求出线段AB的中点坐标,然后利用两点式可求出AB边中线所在直线的方程;(2)设△ABC的外接圆为x2【详解】(1)因为A0,4,B所以线段AB的中点坐标为−32,所以AB边中线所在直线的方程为y−22−3(2)设△ABC的外接圆为x216+4E+F所以圆方程为x2圆的一般方程成立的条件(共2个小题)33.(23-24高二上·北京顺义·期中)若x2+yA.5,+∞ B.−∞,5 C.−∞,−5 D.−5,+∞【答案】D【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.【详解】因为方程x2+y解得m>−5所以m的取值范围是−5,+∞.故选:D34.(多选)(23-24高二上·河南信阳·期中)若方程x2A.2 B.0 C.−12 【答案】AB【分析】根据圆的标准式方程,即可列出不等关系求解.【详解】将x2+y方程表示圆的充要条件为2m+1>0,即故选:AB.点与圆的位置关系(共2个小题)35.(23-24高二上·重庆沙坪坝·期中)若直线ax+by=1与O:xA.点P在圆O内 B.点P在圆O上C.点P在圆O外 D.无法确定【答案】A【分析】由题设及点线距离公式有1a2+【详解】由题设O(0,0)与直线ax+by=1的距离所以点Pa,b故选:A36.(23-24高二上·河北邢台·期中)已知点Ma,2(1)判断点M与圆O的位置关系,并说明理由.(2)若a=1,过点M的直线l与圆O交于A,B两点,且AB【答案】(1)点M在圆O外,理由见解析(2)1或−7【分析】(1)根据点和圆心的距离大于半径得出点在圆外;(2)先设直线再计算点到直线距离即可求参.【详解】(1)点M在圆O外.由题意得圆O的半径为2,圆心为O0,0因为OM=a2+2a(2)由题意得M1,3,设直线l:y因为AB=22,所以圆心O到l的距离为则−k+3k2+1直线与圆的位置关系(共2个小题)37.(23-24高二上·北京西城·期中)过点P−12,32的直线A.π2,5π6 B.2π3,π【答案】A【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12当倾斜角为π2时,即直线l方程为x=−1当斜率存在时,不妨设直线l方程为y=则圆心到其距离为d=12所以直线l的倾斜角取值范围为π故选:A38.(23-24高二下·上海·期中)已知△ABC的顶点坐标分别为A−3,0,B−1,−2(1)求圆M的方程;(2)若直线l:k−3x+5−k【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】(1)设圆M的方程为一般方程,代入三点坐标可得答案;(2)判断出直线l过定点,且定点在圆M内可得答案.【详解】(1)设圆M的方程为x2因为A−3,0所以9+0−3D+0+F=01+8−所以圆M的方程为x2(2)直线l:kx可得x−y=0−3x+5y因为12+12<9所以不论k为何值,直线l与圆M总相交.圆的切线方程(共2个小题)39.(23-24高二上·云南丽江·期中)已知圆C:x−42+y【答案】x【分析】先判断点P在圆上,再由垂直关系得出切线的斜率,利用点斜式即可得解.【详解】因为点P3,−4在圆上,又C:所以kCP易知,直线PC与所求切线垂直,所以所求切线的斜率为:−1所以圆C在点P3,−4处的切线方程为y+4=x故答案为:x40.(22-23高二上·浙江金华·期中)已知平面上有两点A−1,0,B1,0和直线(1)求过点B1,0的圆x(2)动点P在直线l上运动,求PA+【答案】(1)x=1或(2)10【分析】(1)思路一:分切线斜率是否存在,结合相切的条件即可求解;思路二:设出切线方程,然后使用距离公式求解;(2)思路一:找点B的对称点B1,将题目转换为将军饮马模型即可求解;思路二:先用不等式的性质证明PA+PB≥10,然后说明当x=−5【详解】(1)方法一:过点B1,0且斜率不存在的直线为x圆x−32+y−42=4即直线x=1与圆x−32当过点B1,0且斜率存在的直线为y若直线y=kx则2k−4k2+1综上所述,所求切线的方程为x=1或3方法二:所求切线经过点B1,0,设其方程为A则该直线到点3,4的距离为2,即2A所以A+2B=A2故B=0或A=−34B(2)方法一:如图所示:设点B1,0关于直线y=x+2的对称点则y1+02=x1+1设B1A与直线y=则PA+PB=所以PA+PB的最小值为方法二:设Px,y,则x故x==x从而PA==2当x=−54,y=3所以PA+PB的最小值是切线长问题(共2个小题)41.(23-24高二上·江苏无锡·期中)已知圆C:x2+y2−2A.5 B.7 C.3 D.4【答案】B【分析】根据圆的方程求出圆心与半径r,利用两点间的距离公式求得PC,从而切线长为PC【详解】圆C:x2+y2−2x∴切线长为PC故选:B.42.(23-24高二上·山东·期中)已知圆C:x2+y2=4,直线lA.1 B.3 C.2 D.2【答案】D【分析】根据垂径定理,过圆内一点的最短的弦,应垂直于该定点和圆心的连线,再结合弦长公式进行求解即可.【详解】过点(0,1)的直线l被圆C所截得的弦长的最小,即点(0,1)为弦的中点所以若要弦长最小,只要圆心到直线的距离即为圆心到定点(0,1)的距离,圆心到直线距离的最大值为d=1,所以弦长的最小值为2故选:D弦长最短问题(共2个小题)43.(23-24高二上·天津·期中)直线l过点1,1且被圆C:x2+【答案】y【分析】当圆被直线截得的弦最短时,圆心到弦的距离最大,此时圆心与定点的连线垂直于弦,利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】由圆C的方程知圆心C0,2,半径为5当圆被直线截得的弦最短时,圆心C0,2与1,1由圆心C0,2与1,1的连线斜率为−1直线l的方程为y−1=x−1故答案为:y=44.(23-24高二上·北京·期中)已知点A1,−1,点P在圆C:x2+y2+2x=0上,则AP的取值范围是【答案】5−1,5【分析】利用两点间距离公式计算求得AC,进而可得AP的取值范围;若AP与圆C相切,利用勾股定理计算即可求得AP的值.【详解】圆C:x2+y2+2x=0则AC=−1−12+0+1当AP与圆C相切时,可知AP=故答案为:5−1,5圆与圆的位置关系(共2个小题)45.(22-23高二下·上海·期中)圆x2+yA.相交 B.外切 C.外离 D.内含【答案】B【分析】求出圆心距,利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可.【详解】x2+y(x−2)2可知两圆圆心距为2,恰好等于两圆半径之和,所以两圆是外切.故选:B46.(23-24高二上·广东中山·期中)已知圆C1过点(0,0),(1,1),(8,0),圆C(1)求圆C1(2)判断圆C1和圆C【答案】(1)((2)C1和圆C2【分析】(1)先设出圆的一般方程,把已知点代入,可求解;(2)先确定两个圆的圆心和半径,根据圆心距与半径和、差的关系,确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长.【详解】(1)设圆C1的一般方程为:xF=02+D+E所以圆C1的方程为:(2)由(1)得圆C1的标准方程为:(∴C1(4,−3),C2∵5−2<所以圆C1和圆C设交点为A,B,直线AB方程为(x−4)2所以C2到直线AB的距离d=2两圆公共弦的长1617公切线问题(共2个小题)47.(23-24高二上·青海西宁·期中)已知圆C1:x2+A.0,22 B.C.0,26 D.【答案】D【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得:d>【详解】根据题意可知,圆C1,C2外离,故选:D48.(23-24高二上·山东淄博·期中)圆C1:xA.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】根据圆与圆的位置关系与公切线的条数关系求解.【详解】两圆的圆心分别为C1半径分别为r圆心距C1C2所以两圆相交,有2条公切线,故选:B.公共弦问题(共2个小题)49.(23-24高二下·广东·期中)已知圆C1:x2+y2=4【答案】x【分析】两圆作差相减,以能求出两圆的公共弦所在的直线方程.【详解】∵圆C1:x2+y2∴两圆作差相减,得直线方程为x−2经检验,直线方程x−2故答案为:x−250.(多选)(21-22高二上·江苏苏州·期中)已知圆C1:(A.两圆的圆心距为2B.两圆的公切线有3条C.两圆相交,且公共弦所在的直线方程为xD.两圆相交,且公共弦的长度为4【答案】AC【分析】根据圆的方程确定圆心坐标,求出两圆圆心距,判断A;判断两圆的位置关系,即可判断B;将两圆方程相减,即可得两圆公共弦所在的直线方程,判断C;利用几何法求得公共弦长,判断D.【详解】对于A,圆C1:(x与圆C2:(x−1)故两圆的圆心距为|C对于B,由于52即圆C1与圆C对于C,由B可知两圆相交,将圆C1:(得4x−8y对于D,由B可知两圆相交,而r1C1(−1,−1)到直线x−2故两圆公共弦的长度为2(故选:AC椭圆的标准方程(共2个小题)51.(23-24高二上·北京西城·期中)一个椭圆的两个焦点分别是F1−3,0,F2A.x264+y228=1 B.【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8,故2a且F1−3,0,故所以椭圆的标准方程为x2故选:B52.(23-24高二上·陕西宝鸡·期中)已知椭圆x2a2+yA.x25+C.x216+【答案】B【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数,得到椭圆方程即可.【详解】由题意可得b=31a2故选:B焦点三角形(共2个小题)53.(23-24高二下·广西桂林·期中)已知椭圆C:x220+y2A.85 B.20 C.8+45【答案】B【分析】根据条件求得a,b,c,进而得到周长为2a【详解】解:因为a=6,b=25故△PF1故选:B54.(23-24高二上·江西宜春·期中)已知F1,F2是椭圆C:x2(1)求椭圆C的标准方程;(2)若P为C上一点,且PF1⊥【答案】(1)x(2)4【分析】(1)根据条件先求解出c的值,然后根据椭圆定义求解出a的值,结合a2=b(2)根据PF1⊥【详解】(1)设椭圆C的焦距为2c,因为F1F2=2则MF1=由椭圆的定义可得a=MF故椭圆C的标准方程为x2(2)因为PF所以xP=−c所以S△

椭圆的离心率(共2个小题)55.(23-24高二下·安徽亳州·期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为FA.55 B.255 C.3【答案】C【分析】首先根据中位线定理、椭圆定义求得a=5,再结合AF【详解】设C的右焦点为F',因为OM=2,所以AF'=4设Ax因为x0≥−a所以AF=cax故选:C.56.(22-23高二上·北京·期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.0,22 B.0,22 C.【答案】D【分析】依题意,根据图形,根据离心率的计算公式求解即可.【详解】

如图,因为△F1P所以sin∠OPF2则椭圆C的离心率的取值范围是22故选:D.椭圆的几何性质(共2个小题)57.(22-23高二下·上海长宁·期中)已知椭圆x29+y2=1,点P是椭圆上的动点,定点A的坐标为【答案】22/【分析】令P(x,y)且−3≤【详解】令P(x,y)而y2=1−x所以,当x=94故答案为:258.(22-23高二上·天津和平·期中)已知F1,F2是椭圆y2【答案】15【分析】先由椭圆的定义得到PF1=F1【详解】如图,由椭圆y29+所以PF1+所以在△PF1因为cos2∠F1P设P的坐标为x0,y0,且S△所以点P到y轴的距离为152故答案为:152

直线与椭圆的弦长问题(共2个小题)59.(23-24高二下·山西·期中)已知焦点在x轴上的椭圆E的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,坐标原点为O.O,F,A三点满足OF=23OA,且B为椭圆E与圆(1)求椭圆E的方程;(2)设l为过F的直线,l与圆O交于P,Q两点,求【答案】(1)x(2)4,20【分析】(1)由B为上顶点且为与圆O:x2+y2=5的切点,得出b2=5(2)分两种情况讨论,当l斜率存在时,设l:y=kx−2,由点到直线距离公式求得原点到直线PQ的距离,再根据勾股定理得出PQ2【详解】(1)设E:x2a2因为B为上顶点且为与圆O:x2+y令c=a2−b所以a2=9,即E:(2)因为c=2,所以F1°当l斜率存在时,设l:y=所以O到l的距离d=则PQ2所以PQ22°当l斜率不存在时,d=2,PQ综上,PQ2的取值范围为4,2060.(22-23高二上·北京·期中)设直线l与椭圆C:x24+y2(1)直接写出椭圆C的标准方程;(2)设直线l的斜率存在,求弦长AB关于斜率k的表达式,并化简;(3)若设点B的坐标为m,n,求弦长AB关于(4)直接写出弦长AB的最大值.【答案】(1)x(2)AB(3)AB(4)4【分析】(1)根据点A的坐标,求出b,即得答案;(2)设直线方程,联立椭圆方程,可得交点坐标,根据弦长公式,即得答案;(3)由两点间距离公式,即可求得答案;(4)结合二次函数性质,即得答案.【详解】(1)由题意知A0,1在椭圆上,则b=1,故椭圆的标准方程为(2)由于直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+1得1+4k2x故AB=(3)设点B的坐标为m,n,则m2则AB=(4)由于AB=当n=−13∈[−1,1]时,直线与椭圆面积问题(共2个小题)61.(23-24高二下·安徽·期中)已知点P1,32是椭圆C:x2a(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点Q为椭圆C上的第一象限内一点,直线AQ,BQ与直线x=3分别交于M,N点,若△QMN与【答案】(1)x(2)54【分析】(1)由P1,32在椭圆上,△PAB的面积为(2)由A(−2,0),Q(xQ,yQ),M(3,yM)三点共线,可得【详解】(1)因为P1,32在椭圆C:x又△PAB的面积为12×2代入1a2+34(2)由A(−2,0),Q(xQ,yQ同理,由B(2,0),Q(xQ,若△QMN与△QAB的面积分别为S1则S1因为xQ2+4所以S1=2故S1因为xQ∈(0,2),令3−x所以t=(x函数y=−5n2+6n则n=35时,y即当1m=362.(23-24高二下·重庆·期中)已知椭圆E:x2a2+y2b(1)求椭圆E的标准方程和圆O的方程;(2)设P为椭圆的左顶点,过点P作两条相互垂直的直线l1,l2,设直线l1与椭圆E的另一个交点为Q,直线l【答案】(1)椭圆方程为x28(2)4【分析】(1)根据点在椭圆上,以及离心率公式即可列方程组求解,根据圆心和半径即可求解圆的方程,(2)根据垂直关系可得两直线的方程,联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理可得Q22k2−42k2+2,−4【详解】(1)由题意可得4a2+所以椭圆方程为x28(2)P−2由题意可知直线l1,l设直线AB方程为:y=kx+22联立y=−设Qx0,进而可得y0=−1则点Q到直线AB的距离为d=而AB=2故S令k2+2=t所以S△故当1t=512⇒此时圆心到直线AB的距离22故△ABQ面积最大值为4【点睛】方法点睛:圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法:(1)几何法,若题目的条件能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法,若题目的条件能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值,如本题需先将△ABQ直线与椭圆定值、定点问题(共2个小题)63.(23-24高二上·山西太原·期中)已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)若过点P2,1的直线l与椭圆C相交于两个不同的点B,C,直线AB,AC分别与x【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】(1)根据已知条件求得a,b,(2)设出直线l的方程并与椭圆方程联立,化简写出根与系数关系,根据直线AB,AC求得M,【详解】(1)依题意ca=3所以椭圆C的方程为x2(2)依题意,过点P2,1的直线l与椭圆C相交于两个不同的点B画出图象如下图所示,由图可知直线l的斜率k存在,且k>0设直线l的方程为y−1=由y=kx−2+1Δ=8设Bx1,而A0,1,所以直线AB的方程为y=y1−1同理可求得xN则x===2k×所以线段MN的中点为定点2,0.

64.(23-24高二上·重庆沙坪坝·期中)如图,椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点M1,0的直线l交C于A、B两点,交直线x=4于点P.若PA=λAM【答案】(1)x2(2)证明见解析,定值为0.【分析】(1)由已知得a=2c(2)令l:y=k(x−1),A(x【详解】(1)由题设ca=221所以椭圆C的标准方程为x2(2)由题设,直线l斜率一定存在,令l:y=联立直线与椭圆并整理得(1+2k2)令A(x1,y由PA=λAM,则x1−4=同理PB由PB=μBM,则x2−4=所以λ+μ又x1+x2=4k所以λ+双曲线的标准方程(共2个小题)65.(22-23高二下·北京延庆·期中)已知F10,−3,F20,3,动点P满足A.x24−C.x24−【答案】D【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】由PF1−设双曲线的方程为y2a2−x所以a=2,b2=所以双曲线的方程为y2故选:D.66.(23-24高二下·江苏南京·期中)若双曲线x2−yA.7 B.−7 C.22 【答案】D【分析】利用a2【详解】由题意知,1+m=3故选:D.双曲线的焦点三角形(共2个小题)67.(23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中)已知F1,F2分别是双曲线C:y29−x24=1的上、下焦点,过F【答案】36【分析】易得AB的值,结合双曲线的定义即可得结果.【详解】由题意得AB=3×2b=12所以△ABF2故答案为:36.68.(23-24高二上·广东东莞·期中)已知双曲线x2a2−y(1)求双曲线C方程;(2)若点F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,且双曲线C上一点P满足PF【答案】(1)x(2)3【分析】(1)根据双曲线渐近线方程得ab=1,根据点M(2,1)(2)根据双曲线定义和PF1⊥【详解】(1)由题知,ba=1所以双曲线C的方程为:x(2)∵PF根据双曲线的定义得,P∴PFS【点睛】考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解,属基础题.双曲线的离心率(共2个小题)69.(21-22高二下·甘肃金昌·期中)若双曲线x2a2A.32 B.52 C.3 【答案】B【分析】根据离心率公式,结合渐近线方程求解即可.【详解】x2a2−y离心率e=故选:B70.(23-24高二下·上海松江·期中)设a>1,则双曲线x2【答案】2【分析】由双曲线方程得到c2,即可表示出离心率e=1【详解】双曲线x2a2所以离心率e=因为a>1,所以0<1a<1,所以所以2<即e∈故答案为:2双曲线的渐近线(共2个小题)71.(23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中)已知双曲线C:y2A.y=±5x B.y=±6x【答案】C【分析】双曲线的渐近线方程为y=±abx,离心率【详解】曲线的渐近线方程为y=±abx,因为双曲线C的离心率为两边平方,即e2=c2a解得ba=5故双曲线C的渐近线方程为y=±故选:C.72.(23-24高二下·上海青浦·期中)双曲线C:x【答案】y【分析】根据离心率求出ba【详解】双曲线C:x2又离心率e=ca=a2+所以双曲线C的渐近线方程为y=±2故答案为:y双曲线的几何性质(共2个小题)73.(23-24高二上·吉林长春·期中)双曲线x216−y29=1的两个焦点为F1,F【答案】9【分析】利用双曲线的定义及性质计算点P纵坐标即可.【详解】由题意不妨令F1−5,0,由PF1⋅PF2=0,得P联立x02+故答案为:974.(23-24高二上·江苏泰州·期中)设m,n为实数,已知经过点P103,423的椭圆x2【答案】±2【分析】根据点在椭圆上先求出椭圆方程及焦距,再由双曲线的概念计算即可.【详解】将点P坐标代入椭圆方程得19+32因为x2n+1+y当n<−1时,双曲线的焦距为2当n>12综上所述:n=±2故答案为:±2直线与双曲线弦长问题(共2个小题)75.(23-24高二上·青海西宁·期中)已知双曲线C:x2a2(1)求双曲线C的方程;(2)若点A12,0,点P为双曲线C左支上一点,求PA【答案】(1)x(2)23【分析】(1)利用点到直线的距离公式列方程得到b,根据焦距得到c,然后根据a2=c(2)根据双曲线的定义将PA+PF的最小值转化为【详解】(1)x2a2−y点Fc,0到bx−又因为2c=10,所以所以a2=c2−(2)记双曲线C的左焦点为F0,则FPA+当P,F0,A故PA+PF的最小值为76.(23-24高二上·河北保定·期中)已知双曲线C的实轴长为4,且与双曲线y2(1)求双曲线C的方程;(2)已知M0,3,P是C上的任意一点,求PM【答案】(1)y(2)2【分析】(1)根据双曲线的性质求解;(2)利用点在双曲线上以及两点间的距离公式求解.【详解】(1)双曲线y22−所以设双曲线C的方程为y2所以a=2,a2所以双曲线C的方程为y2(2)由y24−x2设P(x0,y0)所以PM=所以当y0=125时,直线与双曲线面积问题(共2个小题)77.(23-24高二下·浙江·期中)已知A−2,0,B(1)求C的方程;(2)直线l:y=(ⅰ)若△TMN(ⅱ)若TM=TN,求【答案】(1)x2(2)(ⅰ)k=−15【分析】(1)根据双曲线的定义即可求解;(2)(ⅰ)由直线MN,OT分别与双曲线联立,得到M,T的横坐标,进而求得OM=3k(ⅱ)根据S△TMN=【详解】(1)根据双曲线的定义,可得C是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线,设其方程为x2a2−y故C的方程为x2(2)(ⅰ)由题意知△TMN显然,直线MN,OT的斜率均存在且不为0,设直线MN,如下图所示:则直线MN的方程为y=kx,直线OT的方程为设Mx1,y1可得3−k2>0,所以0<OM=同理可得:k2>1若△TMN为等边三角形,则OT即3k2+1(ⅱ)若TM=TN,则S△设t=k2+1,设u=1t,则1易知y=−16u2+16uy∈0,1,∴即△TMN的面积的取值范围为3,+∞78.(22-23高二上·四川凉山·期中)已知中心在原点,焦点在x轴的椭圆与双曲线有共同的焦点,且过椭圆的焦点作的弦中,弦长的最小值为92,椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为2,椭圆和双曲线的离心率之比为1(1)分别求椭圆和双曲线的离心率.(2)若P为椭圆和双曲线在第一象限的交点,求三角形PF【答案】(1)椭圆的离心率为74.双曲线的离心率为(2)28π3【分析】(1)依题意列方程即可求解.(2)用椭圆和双曲线的定义结合余弦定理即可求解.【详解】(1)设椭圆方程为:x2a2+y2b根据椭圆与双曲线有共同的焦点,则a2由过椭圆的焦点作的直线中,弦长的最小值为92,则2由椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴之差为2,则a−再根据椭圆和双曲线的离心率之比为12,则m解得a=4,m=2,b椭圆的离心率74.双曲线的离心率7(2)

因为P为椭圆和双曲线在第一象限的交点,∴PF1+PF在三角形PF1F2中,记由余弦定理有cosθ=36+4−28则三角形PF1F2∴三角形PF1F直线与双曲线定值、定点问题(共2个小题)79.(23-24高二上·江苏宿迁·期中)已知双曲线C经过点6,62,两个焦点在x(1)求双曲线C的标准方程;(2)若斜率为kk≠0的直线l与双曲线C相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,点A关于y轴对称点为A1,点B【答案】(1)x(2)是,−【分析】(1)设双曲线C的标准方程为x2(2)法一:由题可得A1(−x1,法二:由题可得A1(−x1,y1),B1(【详解】(1)设双曲线C的标准方程为x2双曲线C经过点6,62因为e=1+b2a所以4a2=1所以双曲线C的标准方程为x2(2)法一:由题可得A1所以k=y2因为x124所以y22−所以k与k1的乘积为定值,定值为−法二:由题可得A1设直线l方程为y=kx+所以A1(−x由y=kx+所以x1所以k1=−k−2t所以k与k1的乘积为定值,定值为−80.(23-24高二下·浙江杭州·期中)已知动圆P过点F2(2,0),并且与圆(1)直线F2Q与圆F1(2)求曲线C的方程;(3)过点F2的直线l1与曲线C交于E,F两点,设直线l:x=12,点D【答案】(1)F(2)x2−y(3)证明见解析,定点1,0【分析】(1)利用直线与圆相切的几何性质,结合勾股定理,即可求解;(2)由圆与圆的位置关系,构造双曲线的定义,即可求解;(3)分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论,并联立直线与双曲线方程,利用韦达定理表示kFQ【详解】(1)由直线与圆的位置关系可知,F1所以点F2(2)由题意可知,设动圆半径为R,PF2=R,即PF所以点P是以F1,F2为焦点的双曲线的右支,2a所以曲线C的方程为x2−y(3)当直线l1的斜率不存在时,E2,3,直线ED:y=x+1,当x=1此时直线过点1,0,当直线l1的斜率存在时,设直线l1:y=直线ED:y=y1M1联立y=kx3−k2≠0,x下面证明直线FM经过点Q1,0,即证kFQ=把y1=kx1即4×−所以直线FM经过点1,0,综上可知,直线FM经过定点,定点坐标为1,0.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为x1(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,注意Δ的判断;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1(5)代入韦达定理求解.抛物线的标准方程(共2个小题)81.(23-24高二下·湖南·期中)过抛物线y2=2pxA.y2=2x B.y2=4x【答案】B【分析】由抛物线定义结合抛物线过焦点的弦长公式即可求得p值,则抛物线方程可求.【详解】设P(x1,y1)又|PQ|=x1+x2故选:B.82.(23-24高二下·上海·期中)已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F,第一象限的A、B两点在抛物线上,且满足BF【答案】y【分析】先根据焦半径公式得到x1,x2的关系,由弦长公式求解出直线【详解】设直线AB的斜率为k,Ax由BF−AF=4,得(又AB=1+k2⋅x1而k=y2−y所以抛物线方程为y2故答案为:y抛物线的准线(共2个小题)83.(23-24高二上·陕西宝鸡·期中)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,直线l过点F且倾斜角为2π3,若抛物线C上存在点A.x=−12 B.x=-1 C.【答案】A【分析】利用对称性建立方程求解参数,得到抛物线方程,最后求解准线即可.【详解】由题意可知,F的坐标为p2,0.设点Mx0,即x0+p2=即kMN=y0−0解得p=1,故抛物线C的准线方程为x故选:A84.(23-24高二上·陕西宝鸡·期中)抛物线y=2A.116 B.14 C.1【答案】B【分析】先将抛物线方程化为标准方程,从而可求出焦点坐标和准线方程,进而可求出焦点到准线的距离.【详解】抛物线y=2x2的标准方程为x2=所以焦点坐标为0,18,准线方程为所以焦点到准线距离为14故选:B.和差距离问题(共2个小题)85.(23-24高二上·重庆·期中)已知抛物线C:y2=4x上一点Px0A.10 B.8 C.5 D.4【答案】B【分析】利用抛物线定义将y022+2PA【详解】由题意知抛物线C:y2=4x上一点P又(21)2>4×3,故则y0因为抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为故y0由于|PF|+PA≥|AF|PF|+PA则y022故选:B86.(23-24高二上·辽宁本溪·期中)已知抛物线E:y2=8x的准线为l,A0,3,点B是E上任意一点,过B作BC⊥【答案】13【分析】根据抛物线的定义BC=BF,可知AB+【详解】

如图,抛物线y2=8x根据抛物线的定义BC=BF,所以故当A,B,F三点共线时,AB+BC取得最小值为AF=故答案为:13抛物线解答题(共2个小题)87.(23-24高二下·福建泉州·期中)已知抛物线C:y2=2px(0<p(1)求抛物线C的方程;(2)O为坐标原点,A,B为抛物线上不同的两点,且(i)求证直线AB过定点;(ii)求△AFO与△【答案】(1)y(2)(i)证明见解析;(ii)8【分析】(1)利用焦半径公式建立方程,解出参数,得到抛物线方程即可.(2)(i)设出x=sy+(ii)利用三角形面积公式写出面积和的解析式,再利用基本不等式求最小值即可.【详解】(1)抛物线C:其焦点为Fp2,0可得QF=m+解得p=2(另一个根舍去),m则抛物线的方程为y2(2)(i)如图,设AB的方程为x=sy+联立x=sy+则16s2+16t>0由OA⊥OB,可得x1所以直线AB恒过定点N(4,0)(ii)由上小问可得y1y2则△AFO与△ABO面积之和为=−1当且仅当y1=−8则△AFO与△ABO面积之和的最小值为88.(23-24高二下·安徽阜阳·期中)已知抛物线C:y2(1)求C的方程;(2)若p<7【答案】(1)y2=4(2)证明见解析【分析】(1)设Px0,y0,根据线段PF的中点坐标得到x(2)设直线MN的方程,然后与抛物线方程联立,利用直线OM,ON的斜率之积为2024和韦达定理列方程得到n,即可得到直线MN过定点.【详解】(1)解:由题意得Fp2,0因为线段PF的中点为Q5所以x0+p22=5代入C的方程得16=2p解得p=8,或p所以C的方程为y2=4x(2)证明:因为p<7,所以C的方程为y设Mx1,y1与y2=4x则y1+y因为直线OM,ON的斜率之积为2024,所以y1所以n=−直线MN的方程为x=my−等差数列基本量的计算(共2个小题)89.(23-24高二下·甘肃庆阳·期中)在数列

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