期中真题必刷基础100题（50个考点专练）（教师版） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）VIP

期中真题必刷基础100题（50个考点专练）直线的倾斜角（共2个小题）1.（23-24高二上·江苏徐州·期中）若一条直线经过两点1,0和2,3A．π6 B．π3 C．2π3【答案】B【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】因为一条直线经过两点1,0，2,3所以该直线的斜率为3−0则有该直线的倾斜角满足tanα=3所以α=故选：B2.（23-24高二上·四川成都·期中）过两点A3,y,B2，0的直线的倾斜角为120【答案】−【分析】根据倾斜角求出斜率，再用两点坐标表示斜率即可求出y的值.【详解】由过两点A3,y,知其斜率为tan120故答案为：−直线的斜率（共2个小题）3.（23-24高二上·浙江温州·期中）若直线y=2x+3的倾斜角为α，直线y=kxA．43 B．34 C．−4【答案】C【分析】由已知直线斜率可以求得tanα【详解】由直线y=2x+3可知，tan则k=−故选：C4.（22-23高二上·安徽滁州·期中）已知点A−1,2，B2,−2，C0,3，若点Ma,b是线段A．−52,1C．−1,52 【答案】D【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.【详解】由斜率公式可得kAC=2−3由图像可知，当M介于AD之间时，直线斜率的取值范围为1,+∞，当M介于BD之间时，直线斜率的取值范围为−∞,−5所以直线CM的斜率的取值范围为−∞,−5故选：D倾斜角与斜率的关系（共个小题）5.（20-21高二上·河北张家口·期中）设直线l的斜率为k，且−1≤k<3A．0,π3∪C．π6,3π【答案】D【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到−1≤tanα<3，结合正切函数的图象及α【详解】由题意得：−1≤tanα因为α∈0,π，且tan3π画出y=tan所以α故选：D6.（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线l:x+ycosA．0,π B．π4,π2 C．【答案】C【分析】当cosθ=0时，可得倾斜角为π2，当cos【详解】当cosθ=0时，方程变为x−3=0当cosθ≠0时，由直线方程可得斜率因为cosθ∈−1,1则k∈−∞,−1∪又因为α∈0,π，综上所述：倾斜角的范围是π4故选：C直线的方程（共2个小题）7.（多选）（23-24高二上·浙江金华·期中）过点A3,4A．4x−3yC．x+y−1=0【答案】ABD【分析】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，则a=b或【详解】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，即|a|=|b|，则当a=b=0时，则直线设为y=kx此时直线方程为：y=43当a=−b≠0时，则直线设为xa+解得a=−1,b=1，此时直线方程为：x当a=b≠0时，则直线设为xa+解得a=b=7，此时直线方程为：x故选：ABD．8.（22-23高二上·广东东莞·期中）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是−12，经过点(2)经过两点P1【答案】(1)x(2)x【分析】（1）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）根据题意，利用斜率公式，求得直线的斜率为k=−1【详解】（1）解：因为直线的斜率是−12，经过点由直线的点斜式方程，可得y−(−2)=−12（2）解：因为直线过两点P13,−2、由直线的点斜式方程，可得y−(−2)=−(x−3)直线过定点（共2个小题）9.（23-24高二上·四川·期中）已知直线ax+a−1y−2=0经过定点【答案】2,−2【分析】对直线方程变形，联立方程组x+【详解】直线ax+a−1y−2=0即a所以点P的坐标为2,−2.故答案为：2,−210.（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：a−1x+(1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标；(2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围．【答案】(1)1,6；(2)a≤−5【分析】（1）根据直线方程直接确定其所过的定点即可；（2）根据直线所过定点及不过第二象限，直线l过原点0,0时倾斜角最小，且直线斜率恒正，列不等式求参数范围.【详解】（1）由a−1x+当x=1时，无论a取何值都有y所以直线l恒过定点1,6．（2）由（1）知，直线l恒过定点1,6，要使直线l不过第二象限，故直线l过原点0,0时倾斜角最小，且直线斜率恒正，所以，只需直线的斜率1−a≥6−0直线与图像（共2个小题）11.（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线l1:yA． B．C． D．【答案】B【分析】由两直线的解析式可得直线l1的斜率为a、纵截距为−b，【详解】选项A，由l1的图象可知，a<0，−b>0，由l2不成立，A错误；选项B，由l1的图象可知，a>0，−b>0，由l2可能成立，B正确；选项C，由l1的图象可知，a<0，−b>0，由l2不成立，C错误；选项D，由l1的图象可知，a>0，−b>0，由l2不成立，D错误.故选：B.12.（多选）（23-24高二上·甘肃白银·期中）同一坐标系中，直线l1:yA． B．C． D．【答案】BC【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y轴上的截距，从而得以判断.【详解】因为l1:y对于A，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距而l2的斜率b对于B，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距而l2的斜率b<0，在y轴上的截距−a对于C，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距而l2的斜率b>0，在y轴上的截距−a对于D，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距而l2的斜率b故选：BC.直线平行与垂直的判定（共2个小题）13.（多选）（22-23高二上·山东济南·期中）若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1A．若斜率k1=k2，则l1∥lC．若倾斜角α1=α2，则l1∥【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率k1=k2，则它们的倾斜角对于B，由两直线垂直的条件可知，若k1k2对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角α1=α对于D,若α1+α则k1=tanα1=故选：ABC14.（22-23高二上·广东广州·期中）已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),(1)求斜率kMN与斜率k(2)求证：四边形MNPQ为矩形.【答案】(1)k(2)证明见解析【分析】（1）利用斜率公式求解即可；（2）利用直线平行与垂直的性质依次证得MN//PQ，MQ//【详解】（1）因为M(1,1),所以kMN=−1−1（2）因为kMN=−1,k又因为kMQ=2−1所以四边形MNPQ为平行四边形，又因为kMN⋅k所以四边形MNPQ为矩形.由直线的平行与垂直求参数（共2个小题）15.（22-23高二上·四川内江·期中）已知两条直线l1:x+my+6=0, lA．−1 B．3 C．−1或3 D．1或−3【答案】A【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式计算即得.【详解】直线l1:x所以m=−1故选：A16.（23-24高二下·上海·期中）直线l1:3x−(k+2)y【答案】−9【分析】分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得k=−9【详解】当k+2=0时，即k当2k−3=0时，即当k≠−2且k≠3解得k=1或k又当k=1时，l1:3当k=−9时，l1与故答案为：−9由直线的平行与垂直求直线方程（共2个小题）17.（23-24高二上·河南·期中）过点−1,2且与直线x−A．x+y−3=0 B．x−y+3=0【答案】C【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解.【详解】因为直线x−又直线l过点−1,2，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：y−2=−即x+故选：C18.（23-24高二上·广东肇庆·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1)过C点且与直线AB平行的直线方程一般式；(2)AB边的中垂线的一般式方程．【答案】(1)x(2)x【分析】（1）利用两直线平行的斜率关系及点斜式计算直线方程，再化为一般式即可；（2）利用两直线垂直的斜率关系及中点坐标公式、点斜式计算直线方程，再化为一般式即可.【详解】（1）由A1,2,B4,−1知，又因为直线过C6,5则为y−5=−1×x−6（2）设线段AB的中点为M，则点M1+42,由上可知kAB=−1，所以其中垂线斜率为则可得中垂线的方程为y−整理得AB边的中垂线的一般式方程是x−平面两点间的距离（共2个小题）19.（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为A2,−1,B3,2,A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【分析】求出BC边的中点坐标，根据两点间的距离公式即可求得答案.【详解】设BC边的中点为D，则D点坐标为(3−52,故△ABC的中线AD的长为(2+1)故选：B20.（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系xOy中，原点O到直线l1：x−2y+4=0与A．10 B．23 C．13 D．【答案】C【分析】先求解出l1【详解】因为x−2y+4=03x所以原点O到交点的距离为2−02故选：C.点到直线的距离（共2个小题）21.（23-24高二上·河北石家庄·期中）若点P1,3到直线l：4x+3A．2 B．3 C．32 【答案】A【分析】根据点到直线的距离求解.【详解】由点到直线距离公式知，d=解得a=2故选：A22.（多选）（23-24高二上·浙江·期中）已知A−1,−2，B2,4两点到直线l：A．−4 B．3 C．−2 D．1【答案】AC【分析】分AB所在的直线平行于直线l和AB的中点在直线l上两种情况进行讨论求解.【详解】因为A−1,−2，B2,4两点到直线l：当AB所在的直线平行于直线l时，因为kAB=4+22+1=2当AB的中点−1+22,−2+42在直线l上时，故选：AC.平行线间的距离（共2个小题）23.（23-24高二下·上海·期中）设a∈R，若直线2x+y−3=0与直线2x【答案】2或−8【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】由题意可得d=a+322故答案为：2或−824.（23-24高二下·浙江·期中）若直线x−y=1与直线m+3x【答案】−32【分析】根据两直线平行的条件，求出m的值，再利用两条平行直线间的距离公式即可得解.【详解】因为直线x−y=1所以m+31=所以直线m+3x+而直线x−y=1∴它们之间的距离为−16+33故答案为：−32；将军饮马问题（共2个小题）25.（23-24高二上·河南新乡·期中）5xA．1955 B．3 C．2055 【答案】C【分析】根据题意将所求问题转化为y=2x上一点P到A0,1,B−2,0两点的距离之和的最小值，可求出点【详解】因为5表示直线y=2x上一点P到设点B−2,0关于直线y=2x的对称点为Cx,即C65,−85即5x2−4故选：C.26.（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求x2A．5 B．10 C．1+5 D．【答案】B【分析】将已知变形设出P0,1，Q1,2，则x2+1+x2−2x【详解】x2=x设P0,1，Q1,2，则x2+1+x2−2x点P关于x轴的对称点的坐标为P'连接P'则PS+当且仅当P'，S，Q故选：B.与直线有关的对称问题（共2个小题）27.（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知直线：l1:y=ax+3与l2关于直线yA．−12 B．12 C．【答案】C【分析】点x,y关于直线y=x的对称点为y,【详解】直线l1关于直线y=x即l2:x=ay+3，故a=−2故选：C.28.（22-23高二上·山东泰安·期中）已知点A与点B(1,2)关于直线x−yA．(−1,4) B．(4,5) C．(−5,−4) D．(−4,−3)【答案】A【分析】设Ax【详解】设Ax,y，则x故选：A.圆的标准方程（共2个小题）29.（22-23高二上·云南昆明·期中）直线x4−y2=1与x轴，y轴分别交于点AA．x2+yC．x2+y【答案】B【分析】根据直线方程求出A、B点的坐标，从而求出AB的中点即为圆心，AB长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】直线x4−y2=1，即x4+y−2则AB的中点为2,−1，且AB=所以以线段AB为直径的圆的方程为x−22+故选：B30.（23-24高二上·浙江杭州·期中）过A(6,0)和BA．(x−3)2C．(x−3)2【答案】C【分析】求出以AB为直径的圆的方程可得正确的选项.【详解】设过A(6,0)和B(0,−8)两点的圆的圆心为M，半径为则2R故R≥5，当且仅当M为AB故过A(6,0)和B(0,−8)两点的圆的面积最小时直径为此时圆的圆心为3,−4，故其标准方程为(x故选：C.圆的一般方程（共2个小题）31.（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知△ABC的三个顶点分别为A(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求△ABC【答案】(1)x(2)x【分析】（1）先求kBC，再由斜率之积为−1求出k（2）设出圆的一般方程，带入三点坐标，解出即可.【详解】（1）因为kBC=−1−23−4=3则kBC因为点A1,3所以y−3=−1（2）设△ABC外接圆的方程为x则1+9+D+3E故△ABC外接圆的方程为32.（23-24高二上·新疆塔城·期中）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A0,4，B−3,−1，(1)求AB边中线所在直线的方程；(2)求△ABC外接圆的一般方程．【答案】(1)x(2)x【分析】（1）先求出线段AB的中点坐标，然后利用两点式可求出AB边中线所在直线的方程；（2）设△ABC的外接圆为x2【详解】（1）因为A0,4，B所以线段AB的中点坐标为−32,所以AB边中线所在直线的方程为y−22−3（2）设△ABC的外接圆为x216+4E+F所以圆方程为x2圆的一般方程成立的条件（共2个小题）33.（23-24高二上·北京顺义·期中）若x2+yA．5,+∞ B．−∞,5 C．−∞,−5 D．−5,+∞【答案】D【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.【详解】因为方程x2+y解得m>−5所以m的取值范围是−5,+∞.故选：D34.（多选）（23-24高二上·河南信阳·期中）若方程x2A．2 B．0 C．−12 【答案】AB【分析】根据圆的标准式方程，即可列出不等关系求解.【详解】将x2+y方程表示圆的充要条件为2m+1>0，即故选：AB.点与圆的位置关系（共2个小题）35.（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线ax+by=1与O:xA．点P在圆O内 B．点P在圆O上C．点P在圆O外 D．无法确定【答案】A【分析】由题设及点线距离公式有1a2+【详解】由题设O(0,0)与直线ax+by=1的距离所以点Pa,b故选：A36.（23-24高二上·河北邢台·期中）已知点Ma,2(1)判断点M与圆O的位置关系，并说明理由．(2)若a=1，过点M的直线l与圆O交于A,B两点，且AB【答案】(1)点M在圆O外，理由见解析(2)1或−7【分析】（1）根据点和圆心的距离大于半径得出点在圆外；（2）先设直线再计算点到直线距离即可求参.【详解】（1）点M在圆O外．由题意得圆O的半径为2，圆心为O0,0因为OM=a2+2a（2）由题意得M1,3，设直线l:y因为AB=22，所以圆心O到l的距离为则−k+3k2+1直线与圆的位置关系（共2个小题）37.（23-24高二上·北京西城·期中）过点P−12,32的直线A．π2,5π6 B．2π3,π【答案】A【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12当倾斜角为π2时，即直线l方程为x=−1当斜率存在时，不妨设直线l方程为y=则圆心到其距离为d=12所以直线l的倾斜角取值范围为π故选：A38.（23-24高二下·上海·期中）已知△ABC的顶点坐标分别为A−3,0,B−1,−2(1)求圆M的方程；(2)若直线l:k−3x+5−k【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）设圆M的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案；（2）判断出直线l过定点，且定点在圆M内可得答案.【详解】（1）设圆M的方程为x2因为A−3,0所以9+0−3D+0+F=01+8−所以圆M的方程为x2（2）直线l:kx可得x−y=0−3x+5y因为12+12<9所以不论k为何值，直线l与圆M总相交.圆的切线方程（共2个小题）39.（23-24高二上·云南丽江·期中）已知圆C:x−42+y【答案】x【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线的斜率，利用点斜式即可得解.【详解】因为点P3,−4在圆上，又C:所以kCP易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：−1所以圆C在点P3,−4处的切线方程为y+4=x故答案为：x40.（22-23高二上·浙江金华·期中）已知平面上有两点A−1,0，B1,0和直线(1)求过点B1,0的圆x(2)动点P在直线l上运动，求PA+【答案】(1)x=1或(2)10【分析】（1）思路一：分切线斜率是否存在，结合相切的条件即可求解；思路二：设出切线方程，然后使用距离公式求解；（2）思路一：找点B的对称点B1，将题目转换为将军饮马模型即可求解；思路二：先用不等式的性质证明PA+PB≥10，然后说明当x=−5【详解】（1）方法一：过点B1,0且斜率不存在的直线为x圆x−32+y−42=4即直线x=1与圆x−32当过点B1,0且斜率存在的直线为y若直线y=kx则2k−4k2+1综上所述，所求切线的方程为x=1或3方法二：所求切线经过点B1,0，设其方程为A则该直线到点3,4的距离为2，即2A所以A+2B=A2故B=0或A=−34B（2）方法一：如图所示：设点B1,0关于直线y=x+2的对称点则y1+02=x1+1设B1A与直线y=则PA+PB=所以PA+PB的最小值为方法二：设Px,y，则x故x==x从而PA==2当x=−54，y=3所以PA+PB的最小值是切线长问题（共2个小题）41.（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆C:x2+y2−2A．5 B．7 C．3 D．4【答案】B【分析】根据圆的方程求出圆心与半径r,利用两点间的距离公式求得PC,从而切线长为PC【详解】圆C:x2+y2−2x∴切线长为PC故选:B.42.（23-24高二上·山东·期中）已知圆C:x2+y2=4，直线lA．1 B．3 C．2 D．2【答案】D【分析】根据垂径定理，过圆内一点的最短的弦，应垂直于该定点和圆心的连线，再结合弦长公式进行求解即可.【详解】过点(0,1)的直线l被圆C所截得的弦长的最小，即点(0,1)为弦的中点所以若要弦长最小，只要圆心到直线的距离即为圆心到定点(0,1)的距离，圆心到直线距离的最大值为d=1，所以弦长的最小值为2故选：D弦长最短问题（共2个小题）43.（23-24高二上·天津·期中）直线l过点1,1且被圆C：x2+【答案】y【分析】当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】由圆C的方程知圆心C0,2，半径为5当圆被直线截得的弦最短时，圆心C0,2与1,1由圆心C0,2与1,1的连线斜率为−1直线l的方程为y−1=x−1故答案为：y=44.（23-24高二上·北京·期中）已知点A1,−1，点P在圆C:x2+y2+2x=0上，则AP的取值范围是【答案】5−1,5【分析】利用两点间距离公式计算求得AC,进而可得AP的取值范围；若AP与圆C相切，利用勾股定理计算即可求得AP的值.【详解】圆C:x2+y2+2x=0则AC=−1−12+0+1当AP与圆C相切时，可知AP=故答案为：5−1,5圆与圆的位置关系（共2个小题）45.（22-23高二下·上海·期中）圆x2+yA．相交 B．外切 C．外离 D．内含【答案】B【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可.【详解】x2+y(x−2)2可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切.故选：B46.（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆C1过点(0,0),(1,1),(8,0)，圆C(1)求圆C1(2)判断圆C1和圆C【答案】(1)((2)C1和圆C2【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解；（2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长.【详解】（1）设圆C1的一般方程为：xF=02+D+E所以圆C1的方程为：（2）由（1）得圆C1的标准方程为：(∴C1(4,−3)，C2∵5−2<所以圆C1和圆C设交点为A，B，直线AB方程为(x−4)2所以C2到直线AB的距离d=2两圆公共弦的长1617公切线问题（共2个小题）47.（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆C1:x2+A．0,22 B．C．0,26 D．【答案】D【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：d>【详解】根据题意可知，圆C1,C2外离，故选：D48.（23-24高二上·山东淄博·期中）圆C1:xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据圆与圆的位置关系与公切线的条数关系求解.【详解】两圆的圆心分别为C1半径分别为r圆心距C1C2所以两圆相交，有2条公切线，故选：B.公共弦问题（共2个小题）49.（23-24高二下·广东·期中）已知圆C1：x2+y2=4【答案】x【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程.【详解】∵圆C1：x2+y2∴两圆作差相减，得直线方程为x−2经检验，直线方程x−2故答案为：x−250.(多选)（21-22高二上·江苏苏州·期中）已知圆C1:(A．两圆的圆心距为2B．两圆的公切线有3条C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为xD．两圆相交，且公共弦的长度为4【答案】AC【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D.【详解】对于A，圆C1:(x与圆C2:(x−1)故两圆的圆心距为|C对于B，由于52即圆C1与圆C对于C，由B可知两圆相交，将圆C1:(得4x−8y对于D，由B可知两圆相交，而r1C1(−1,−1)到直线x−2故两圆公共弦的长度为2(故选：AC椭圆的标准方程（共2个小题）51.（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是F1−3,0，F2A．x264+y228=1 B．【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8，故2a且F1−3,0，故所以椭圆的标准方程为x2故选：B52.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆x2a2+yA．x25+C．x216+【答案】B【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可.【详解】由题意可得b=31a2故选：B焦点三角形（共2个小题）53.（23-24高二下·广西桂林·期中）已知椭圆C：x220+y2A．85 B．20 C．8+45【答案】B【分析】根据条件求得a，b，c，进而得到周长为2a【详解】解：因为a=6，b=25故△PF1故选：B54.（23-24高二上·江西宜春·期中）已知F1,F2是椭圆C:x2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P为C上一点，且PF1⊥【答案】(1)x(2)4【分析】（1）根据条件先求解出c的值，然后根据椭圆定义求解出a的值，结合a2=b（2）根据PF1⊥【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，因为F1F2=2则MF1=由椭圆的定义可得a=MF故椭圆C的标准方程为x2（2）因为PF所以xP=−c所以S△

椭圆的离心率（共2个小题）55.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为FA．55 B．255 C．3【答案】C【分析】首先根据中位线定理、椭圆定义求得a=5，再结合AF【详解】设C的右焦点为F'，因为OM=2，所以AF'=4设Ax因为x0≥−a所以AF=cax故选：C.56.（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．0,22 B．0,22 C．【答案】D【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可.【详解】

如图，因为△F1P所以sin∠OPF2则椭圆C的离心率的取值范围是22故选：D.椭圆的几何性质（共2个小题）57.（22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆x29+y2=1，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为【答案】22/【分析】令P(x,y)且−3≤【详解】令P(x,y)而y2=1−x所以，当x=94故答案为：258.（22-23高二上·天津和平·期中）已知F1,F2是椭圆y2【答案】15【分析】先由椭圆的定义得到PF1=F1【详解】如图，由椭圆y29+所以PF1+所以在△PF1因为cos2∠F1P设P的坐标为x0,y0,且S△所以点P到y轴的距离为152故答案为：152

直线与椭圆的弦长问题（共2个小题）59.（23-24高二下·山西·期中）已知焦点在x轴上的椭圆E的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，坐标原点为O.O，F，A三点满足OF=23OA，且B为椭圆E与圆(1)求椭圆E的方程；(2)设l为过F的直线，l与圆O交于P,Q两点，求【答案】(1)x(2)4,20【分析】（1）由B为上顶点且为与圆O：x2+y2=5的切点，得出b2=5（2）分两种情况讨论，当l斜率存在时，设l：y=kx−2，由点到直线距离公式求得原点到直线PQ的距离，再根据勾股定理得出PQ2【详解】（1）设E：x2a2因为B为上顶点且为与圆O：x2+y令c=a2−b所以a2=9，即E：（2）因为c=2，所以F1°当l斜率存在时，设l：y=所以O到l的距离d=则PQ2所以PQ22°当l斜率不存在时，d=2，PQ综上，PQ2的取值范围为4,2060.（22-23高二上·北京·期中）设直线l与椭圆C:x24+y2(1)直接写出椭圆C的标准方程；(2)设直线l的斜率存在，求弦长AB关于斜率k的表达式，并化简；(3)若设点B的坐标为m,n，求弦长AB关于(4)直接写出弦长AB的最大值.【答案】(1)x(2)AB(3)AB(4)4【分析】（1）根据点A的坐标，求出b，即得答案；（2）设直线方程，联立椭圆方程，可得交点坐标，根据弦长公式，即得答案；（3）由两点间距离公式，即可求得答案；（4）结合二次函数性质，即得答案.【详解】（1）由题意知A0,1在椭圆上，则b=1，故椭圆的标准方程为（2）由于直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1得1+4k2x故AB=（3）设点B的坐标为m,n，则m2则AB=（4）由于AB=当n=−13∈[−1,1]时，直线与椭圆面积问题（共2个小题）61.（23-24高二下·安徽·期中）已知点P1,32是椭圆C：x2a(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线AQ，BQ与直线x=3分别交于M，N点，若△QMN与【答案】(1)x(2)54【分析】（1）由P1,32在椭圆上，△PAB的面积为（2）由A(−2,0)，Q(xQ,yQ)，M(3,yM)三点共线，可得【详解】（1）因为P1,32在椭圆C：x又△PAB的面积为12×2代入1a2+34（2）由A(−2,0)，Q(xQ,yQ同理，由B(2,0)，Q(xQ,若△QMN与△QAB的面积分别为S1则S1因为xQ2+4所以S1=2故S1因为xQ∈(0,2)，令3−x所以t=(x函数y=−5n2+6n则n=35时，y即当1m=362.（23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆E：x2a2+y2b(1)求椭圆E的标准方程和圆O的方程；(2)设P为椭圆的左顶点，过点P作两条相互垂直的直线l1，l2，设直线l1与椭圆E的另一个交点为Q，直线l【答案】(1)椭圆方程为x28(2)4【分析】（1）根据点在椭圆上，以及离心率公式即可列方程组求解，根据圆心和半径即可求解圆的方程，（2）根据垂直关系可得两直线的方程，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得Q22k2−42k2+2,−4【详解】（1）由题意可得4a2+所以椭圆方程为x28（2）P−2由题意可知直线l1，l设直线AB方程为：y=kx+22联立y=−设Qx0,进而可得y0=−1则点Q到直线AB的距离为d=而AB=2故S令k2+2=t所以S△故当1t=512⇒此时圆心到直线AB的距离22故△ABQ面积最大值为4【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将△ABQ直线与椭圆定值、定点问题（共2个小题）63.（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程；(2)若过点P2,1的直线l与椭圆C相交于两个不同的点B,C，直线AB,AC分别与x【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得a,b,（2）设出直线l的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线AB,AC求得M,【详解】（1）依题意ca=3所以椭圆C的方程为x2（2）依题意，过点P2,1的直线l与椭圆C相交于两个不同的点B画出图象如下图所示，由图可知直线l的斜率k存在，且k>0设直线l的方程为y−1=由y=kx−2+1Δ=8设Bx1,而A0,1，所以直线AB的方程为y=y1−1同理可求得xN则x===2k×所以线段MN的中点为定点2,0.

64.（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M1,0的直线l交C于A、B两点，交直线x=4于点P．若PA=λAM【答案】(1)x2(2)证明见解析，定值为0.【分析】（1）由已知得a=2c（2）令l:y=k(x−1)，A(x【详解】（1）由题设ca=221所以椭圆C的标准方程为x2（2）由题设，直线l斜率一定存在，令l:y=联立直线与椭圆并整理得(1+2k2)令A(x1,y由PA=λAM，则x1−4=同理PB由PB=μBM，则x2−4=所以λ+μ又x1+x2=4k所以λ+双曲线的标准方程（共2个小题）65.（22-23高二下·北京延庆·期中）已知F10,−3，F20,3，动点P满足A．x24−C．x24−【答案】D【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】由PF1−设双曲线的方程为y2a2−x所以a=2，b2=所以双曲线的方程为y2故选：D.66.（23-24高二下·江苏南京·期中）若双曲线x2−yA．7 B．−7 C．22 【答案】D【分析】利用a2【详解】由题意知，1+m=3故选：D.双曲线的焦点三角形（共2个小题）67.（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知F1，F2分别是双曲线C:y29−x24=1的上、下焦点，过F【答案】36【分析】易得AB的值，结合双曲线的定义即可得结果.【详解】由题意得AB=3×2b=12所以△ABF2故答案为：36.68.（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线x2a2−y(1)求双曲线C方程；(2)若点F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，且双曲线C上一点P满足PF【答案】(1)x(2)3【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得ab=1，根据点M(2,1)（2）根据双曲线定义和PF1⊥【详解】（1）由题知，ba=1所以双曲线C的方程为：x（2）∵PF根据双曲线的定义得，P∴PFS【点睛】考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题.双曲线的离心率（共2个小题）69.（21-22高二下·甘肃金昌·期中）若双曲线x2a2A．32 B．52 C．3 【答案】B【分析】根据离心率公式，结合渐近线方程求解即可.【详解】x2a2−y离心率e=故选：B70.（23-24高二下·上海松江·期中）设a>1，则双曲线x2【答案】2【分析】由双曲线方程得到c2，即可表示出离心率e=1【详解】双曲线x2a2所以离心率e=因为a>1，所以0<1a<1，所以所以2<即e∈故答案为：2双曲线的渐近线（共2个小题）71.（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知双曲线C:y2A．y=±5x B．y=±6x【答案】C【分析】双曲线的渐近线方程为y=±abx，离心率【详解】曲线的渐近线方程为y=±abx，因为双曲线C的离心率为两边平方，即e2=c2a解得ba=5故双曲线C的渐近线方程为y=±故选：C.72.（23-24高二下·上海青浦·期中）双曲线C:x【答案】y【分析】根据离心率求出ba【详解】双曲线C:x2又离心率e=ca=a2+所以双曲线C的渐近线方程为y=±2故答案为：y双曲线的几何性质（共2个小题）73.（23-24高二上·吉林长春·期中）双曲线x216−y29=1的两个焦点为F1,F【答案】9【分析】利用双曲线的定义及性质计算点P纵坐标即可.【详解】由题意不妨令F1−5,0,由PF1⋅PF2=0，得P联立x02+故答案为：974.（23-24高二上·江苏泰州·期中）设m，n为实数，已知经过点P103,423的椭圆x2【答案】±2【分析】根据点在椭圆上先求出椭圆方程及焦距，再由双曲线的概念计算即可.【详解】将点P坐标代入椭圆方程得19+32因为x2n+1+y当n<−1时，双曲线的焦距为2当n>12综上所述：n=±2故答案为：±2直线与双曲线弦长问题（共2个小题）75.（23-24高二上·青海西宁·期中）已知双曲线C:x2a2(1)求双曲线C的方程；(2)若点A12,0，点P为双曲线C左支上一点，求PA【答案】(1)x(2)23【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到b，根据焦距得到c，然后根据a2=c（2）根据双曲线的定义将PA+PF的最小值转化为【详解】（1）x2a2−y点Fc,0到bx−又因为2c=10，所以所以a2=c2−（2）记双曲线C的左焦点为F0，则FPA+当P,F0,A故PA+PF的最小值为76.（23-24高二上·河北保定·期中）已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线y2(1)求双曲线C的方程；(2)已知M0,3，P是C上的任意一点，求PM【答案】(1)y(2)2【分析】（1）根据双曲线的性质求解；（2）利用点在双曲线上以及两点间的距离公式求解.【详解】（1）双曲线y22−所以设双曲线C的方程为y2所以a=2,a2所以双曲线C的方程为y2（2）由y24−x2设P(x0,y0)所以PM=所以当y0=125时，直线与双曲线面积问题（共2个小题）77.（23-24高二下·浙江·期中）已知A−2,0,B(1)求C的方程；(2)直线l：y=（ⅰ）若△TMN（ⅱ）若TM=TN，求【答案】(1)x2(2)（ⅰ）k=−15【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解；（2）（ⅰ）由直线MN,OT分别与双曲线联立，得到M,T的横坐标，进而求得OM=3k（ⅱ）根据S△TMN=【详解】（1）根据双曲线的定义，可得C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为x2a2−y故C的方程为x2（2）（ⅰ）由题意知△TMN显然，直线MN,OT的斜率均存在且不为0，设直线MN,如下图所示：则直线MN的方程为y=kx，直线OT的方程为设Mx1,y1可得3−k2>0，所以0<OM=同理可得：k2>1若△TMN为等边三角形，则OT即3k2+1（ⅱ）若TM=TN，则S△设t=k2+1，设u=1t，则1易知y=−16u2+16uy∈0,1，∴即△TMN的面积的取值范围为3,+∞78.（22-23高二上·四川凉山·期中）已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆与双曲线有共同的焦点，且过椭圆的焦点作的弦中，弦长的最小值为92，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为2，椭圆和双曲线的离心率之比为1(1)分别求椭圆和双曲线的离心率．(2)若P为椭圆和双曲线在第一象限的交点，求三角形PF【答案】(1)椭圆的离心率为74．双曲线的离心率为(2)28π3【分析】（1）依题意列方程即可求解.（2）用椭圆和双曲线的定义结合余弦定理即可求解.【详解】（1）设椭圆方程为：x2a2+y2b根据椭圆与双曲线有共同的焦点，则a2由过椭圆的焦点作的直线中，弦长的最小值为92，则2由椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴之差为2，则a−再根据椭圆和双曲线的离心率之比为12，则m解得a=4，m=2，b椭圆的离心率74．双曲线的离心率7（2）

因为P为椭圆和双曲线在第一象限的交点，∴PF1+PF在三角形PF1F2中，记由余弦定理有cosθ=36+4−28则三角形PF1F2∴三角形PF1F直线与双曲线定值、定点问题（共2个小题）79.（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线C经过点6,62，两个焦点在x(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为kk≠0的直线l与双曲线C相交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，点A关于y轴对称点为A1，点B【答案】(1)x(2)是，−【分析】（1）设双曲线C的标准方程为x2（2）法一：由题可得A1(−x1,法二：由题可得A1(−x1,y1),B1(【详解】（1）设双曲线C的标准方程为x2双曲线C经过点6,62因为e=1+b2a所以4a2=1所以双曲线C的标准方程为x2（2）法一：由题可得A1所以k=y2因为x124所以y22−所以k与k1的乘积为定值，定值为−法二：由题可得A1设直线l方程为y=kx+所以A1(−x由y=kx+所以x1所以k1=−k−2t所以k与k1的乘积为定值，定值为−80.（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点F2(2,0)，并且与圆(1)直线F2Q与圆F1(2)求曲线C的方程；(3)过点F2的直线l1与曲线C交于E，F两点，设直线l:x=12，点D【答案】(1)F(2)x2−y(3)证明见解析，定点1,0【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解；（2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解；（3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示kFQ【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，F1所以点F2（2）由题意可知，设动圆半径为R，PF2=R，即PF所以点P是以F1,F2为焦点的双曲线的右支，2a所以曲线C的方程为x2−y（3）当直线l1的斜率不存在时，E2,3，直线ED:y=x+1，当x=1此时直线过点1,0，当直线l1的斜率存在时，设直线l1:y=直线ED:y=y1M1联立y=kx3−k2≠0，x下面证明直线FM经过点Q1,0，即证kFQ=把y1=kx1即4×−所以直线FM经过点1,0，综上可知，直线FM经过定点，定点坐标为1,0.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为x1（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意Δ的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1（5）代入韦达定理求解.抛物线的标准方程（共2个小题）81.（23-24高二下·湖南·期中）过抛物线y2=2pxA．y2=2x B．y2=4x【答案】B【分析】由抛物线定义结合抛物线过焦点的弦长公式即可求得p值，则抛物线方程可求.【详解】设P(x1,y1)又|PQ|=x1+x2故选：B.82.（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足BF【答案】y【分析】先根据焦半径公式得到x1,x2的关系，由弦长公式求解出直线【详解】设直线AB的斜率为k，Ax由BF−AF=4，得(又AB=1+k2⋅x1而k=y2−y所以抛物线方程为y2故答案为：y抛物线的准线（共2个小题）83.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为2π3，若抛物线C上存在点A．x=−12 B．x=-1 C．【答案】A【分析】利用对称性建立方程求解参数，得到抛物线方程，最后求解准线即可.【详解】由题意可知，F的坐标为p2,0.设点Mx0,即x0+p2=即kMN=y0−0解得p=1，故抛物线C的准线方程为x故选：A84.（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）抛物线y=2A．116 B．14 C．1【答案】B【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出焦点坐标和准线方程，进而可求出焦点到准线的距离.【详解】抛物线y=2x2的标准方程为x2=所以焦点坐标为0,18，准线方程为所以焦点到准线距离为14故选：B.和差距离问题（共2个小题）85.（23-24高二上·重庆·期中）已知抛物线C：y2=4x上一点Px0A．10 B．8 C．5 D．4【答案】B【分析】利用抛物线定义将y022+2PA【详解】由题意知抛物线C：y2=4x上一点P又(21)2>4×3，故则y0因为抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为故y0由于|PF|+PA≥|AF|PF|+PA则y022故选：B86.（23-24高二上·辽宁本溪·期中）已知抛物线E：y2=8x的准线为l，A0,3，点B是E上任意一点，过B作BC⊥【答案】13【分析】根据抛物线的定义BC=BF，可知AB+【详解】

如图，抛物线y2=8x根据抛物线的定义BC=BF，所以故当A，B，F三点共线时，AB+BC取得最小值为AF=故答案为：13抛物线解答题（共2个小题）87.（23-24高二下·福建泉州·期中）已知抛物线C:y2=2px(0<p(1)求抛物线C的方程；(2)O为坐标原点，A,B为抛物线上不同的两点，且（i）求证直线AB过定点；（ii）求△AFO与△【答案】(1)y(2)（i）证明见解析；（ii）8【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可.（2）（i）设出x=sy+（ii）利用三角形面积公式写出面积和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】（1）抛物线C:其焦点为Fp2,0可得QF=m+解得p=2（另一个根舍去），m则抛物线的方程为y2（2）（i）如图，设AB的方程为x=sy+联立x=sy+则16s2+16t>0由OA⊥OB，可得x1所以直线AB恒过定点N(4,0)（ii）由上小问可得y1y2则△AFO与△ABO面积之和为=−1当且仅当y1=−8则△AFO与△ABO面积之和的最小值为88.（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知抛物线C:y2(1)求C的方程；(2)若p<7【答案】(1)y2=4(2)证明见解析【分析】（1）设Px0,y0，根据线段PF的中点坐标得到x（2）设直线MN的方程，然后与抛物线方程联立，利用直线OM，ON的斜率之积为2024和韦达定理列方程得到n，即可得到直线MN过定点.【详解】（1）解：由题意得Fp2,0因为线段PF的中点为Q5所以x0+p22=5代入C的方程得16=2p解得p=8，或p所以C的方程为y2=4x（2）证明：因为p<7，所以C的方程为y设Mx1,y1与y2=4x则y1+y因为直线OM，ON的斜率之积为2024，所以y1所以n=−直线MN的方程为x=my−等差数列基本量的计算（共2个小题）89.（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）在数列