专题01直线与方程（考点清单知识导图+4考点清单+9题型解读）（教师版） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题01直线与方程【清单01】直线的倾斜角与斜率一、直线倾斜角的定义1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，3.范围：[0,π)4.图形：二、直线的斜率1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为α，则当α≠90°时，称k=tanα为直线l的斜率；当α=90°时，称直线l的斜率不存在.2.公式：已知点A(x1,y1)、B(x2,y【清单02】直线方程的五种形式名称已知条件标准方程使用范围点斜式斜率k,直线上一点（x0，yy-yo=k（x-x0）k存在斜截式斜率k,y轴上截距by=kx+bk存在两点式直线上的两点P1（x1，y1）,y−直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于y轴截距式直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，x直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于)轴,且不过原点一般式A,B不同时为0Ax+By+C=0通用【清单03】两条直线的平行与垂直一、两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件αα对应关系k1=k两直线斜率都不存在⇔l1∕∕图示二、两条直线垂直与斜率之间的关系类型斜率存在且不为0斜率不存在或斜率为0条件αα对应关系k两直线的斜率一个不存在，一个斜率为0⇔图示三、一般式判断两条直线的位置关系l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0l1A1l1A1l1A1l1A1【清单04】距离公式一、两点间距离公式点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（二、点到直线距离公式1.点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))2.点到特殊直线的距离公式点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|.三、两条直线距离公式1.两条平行线之间的距离两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.两条平行线之间的距离公式两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【考点题型一】直线的倾斜角方法总结：直线的倾斜角需要注意符合倾斜角的取值范围，（0，π]【例1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）若一条直线经过两点1,0和2,3A．π6 B．π3 C．2π3【答案】B【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】因为一条直线经过两点1,0，2,3所以该直线的斜率为3−0则有该直线的倾斜角满足tanα=3所以α=故选：B【变式1-1】（22-23高二上·福建福州·期中）已知倾斜角为θ的直线l与直线x+3y−3=0的夹角为A．30°或150° B．60°或0° C．90°或30° D．60°或180°【答案】C【分析】设直线的倾斜角为φ，根据tanφ=−3【详解】x+3y设直线的倾斜角为φ，φ∈0,π，则tanφ夹角为60°，故θ=90°或θ故选：C.【变式1-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）设直线l1:2xA．α<β<γ B．β<α【答案】D【分析】首先根据直线方程分别求解每条直线斜率，然后根据斜率判断倾斜角的范围，根据范围比较大小即可.【详解】∵l1:2x+y−1=0∵l2:x−3y=0∵l3:x−3=0综上所述可得：β<故选：D【变式1-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）若过两点M3,y，N0,A．0 B．−23 C．43【答案】B【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.【详解】由于直线MN的倾斜角为2π3，则该直线MN的斜率为k又因为M3,y，N0,3，所以故选：B【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线l经过两点A2,m、B−m,2m−1A．12 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数m的等式，解之即可.【详解】由斜率的定义可得kAB=tan45∘，即故选：D.【考点题型二】直线的斜率方法总结：1.定义：倾斜角α的正切值，（α≠90°）2.记法：k=tanα3.经过两点A(x1【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过A−1,2，BA．2 B．−2 C．12 D．【答案】B【分析】直接代入直线斜率公式即可.【详解】经过A−1,2，B−4,8两点的直线的斜率是故选：B.【变式2-1】（22-23高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距PiPi+1i=1,2,3,…,9约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距AiAiA．±0.40 B．±0.42 C．±0.43 D．±0.45【答案】B【分析】根据题意利用已知长度可分别计算OA10，【详解】解：如图，以O为原点建系，根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足OP且PiPi+1i=1,2,3,⋯,9均为则OA10=同理B10又OP10=所以kA10P即最长拉索所在直线的斜率为±0.42.故选：B.【变式2-2】（23-24高二上·山东·阶段练习）若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为15°，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（

）A．0 B．233 C．−23【答案】B【分析】不妨把三角形的一个顶点放在原点，然后作图分析直角边所在直线的倾斜角，结合直线垂直的斜率关系可解.【详解】不妨把三角形的一个顶点放在原点，如图所示，因为直线OA的倾斜角为15°，∠AOB所以直线OB的倾斜角为150°或60°，即kOB=−3因为OB⊥AB，所以当kOB当kOB=3所以kOB故选：B【变式2-3】（22-23高二上·江苏徐州·期中）若三点A1,2，B3,m，C7,【答案】3【分析】利用AB,【详解】由A1,2，B3,m可得kAB=k解得m=3故答案为：3【变式2-4】(多选)（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台ABCD，AB=3AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则

A．19 B．12 C．1 【答案】AC【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论．【详解】因为AB=3AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落当是图一时，如图：A关于DC的对称点为E，C关于AB的对称点为F；

如图；根据直线的对称性可得：tanα当是图2时，如图：A关于BC的对称点为G，C关于AD的对称点为E，

如图：根据直线的对称性可得：tanα故选：AC．【考点题型三】斜率与倾斜角的变化方法总结：:已知线段AB的两端点及线段外一点P，求过点P且与线段AB有交点的直线l斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率都存在，解题步骤如下:①连接PA,PB;②由k=y2−y1x③结合图形写出满足条件的直线l斜率的取值范围【例3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线l经过点A(−1,2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率kA．(−2,0] B．(−∞,−2]∪[0,+∞) C．[1,2] D．[−2,0]【答案】D【分析】直接根据图像观察可得直线斜率的取值范围.【详解】因为直线l经过点A(−1,2)所以kOA又kOA所以−2≤k故选：D.【变式3-1】（多选）（21-22高二上·江苏南通·期中）若经过A1−a,1+a和A．−2 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】利用kAB=1+【详解】据题意可知kAB即2+a>0，所以故选：BCD．【变式3-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点A2,3，B−5,2，若过点C−1,5的直线l与线段AB相交，则直线l【答案】−∞,−【分析】数形结合，观察倾斜角的变换情况确定斜率的变换情况.【详解】如图直线l与线段AB相交，因为kAC结合图形可知l的斜率取值范围是−∞,−2故答案为：−∞,−【变式3-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）直线x−ay−1=0的倾斜角大于π【答案】0,1【分析】求得直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，直线x−ay−1=0，可得直线的斜率为k因为直线的倾斜角大于π4，可得1a>1所以正实数a的取值范围0,1.故答案为：0,1.【变式3-4】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）直线xcosA．−∞,3 B．2,+∞ C．−∞,0∪0,【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由xcosθ+当θ=π2当θ∈(0,π2因为θ∈(0,5π所以k=−所以k∈(−∞,故选：A【考点题型四】直线方程的五种形式方法总结：求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，但在待定条件下，应考虑下面的设法。(1)已知直线的纵截距，常设方程的斜截式;(2)已知直线的横截距和纵截距，常设方程的截距式(截距均不为0)(3)已知直线的斜率和所过的定点，常设方程的点斜式，但如果只给出一个定点，一定不要遗漏斜率不存在的情况;(4)仅知道直线的横截距，常设方程形式:x=my+a(其中a是横截距，m是参数)，注意此种设法不包含斜率为0的情况，且在后面要学的圆锥曲线章节中经常使用如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+c=0(A，B不同时为0.)【例4】（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x【答案】3【分析】先将点代入得到两条直线方程，再由两点都在直线上得到过该两点的直线.【详解】将点A3,2代入两条直线可得3所以点P1a1而经过两点的直线只有一条，所以直线方程是3x故答案为：3x【变式4-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线l1：x−2y−2=0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2【答案】4【分析】确定tanθ=1【详解】直线l1：x−2y−2=0的倾斜角为故tan2θ=2tanθ1−tan2故直线方程为y=43故答案为：4【变式4-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线l经过1,2(1)当直线的倾斜角为45°时，求直线l的方程；(2)当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l的方程.【答案】(1)x(2)x+y【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为k=tan45°=1（2）当直线过原点时，得到2x−y=0；当直线不过原点时，设方程为xa【详解】（1）由题意，直线l的倾斜角为45°时，可得直线l的斜率为k=tan45°=1又由直线l经过1,2，所以直线l的方程为y−2=x−1，即直线l（2）当直线l过原点时，因为直线l经过1,2，可得直线l方程为y=2x，即当直线不过原点时，可设直线l的方程为xa因为直线l过点1,2，可得1a+2a=1，解得a综上所述，直线l的方程为x+y−3=0【变式4-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点P2,1的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当△A．x+2y−4=0C．x+3y−5=0【答案】A【分析】令直线为xa+yb=1【详解】由题设，令直线为xa则2a+1当且仅当a=4,b=2时等号成立，此时△所以直线方程为x4故选：A【变式4-4】（20-21高二上·浙江·期中）已知直线l1:(1)若直线l1在两坐标轴上的截距相等，求实数a(2)若l1∥l2，求直线【答案】(1)a(2)x【分析】（1）由一般方程求截距，根据条件，列式求解；（2）代入两直线平行的公式，即可求解.【详解】（1）由题意可知，a≠0直线l1在x轴上的截距为2a−4a，在则2a−4a（2）若l1则4a=−2a2且此时直线l2的方程为x【考点题型五】两条直线的平行与垂直方法总结：判断两条直线平行时，注意检验重合；判断两条直线的垂直时，注意考虑斜率不存在与斜率为0的情况【例5】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线ax+2ay+1=0A．0或3 B．3C．0或−3 D．−3【答案】D【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出a的值【详解】∵直线l1:ax∴a即a(解得a=−3或a=0(不满足直线l故选：D.【变式5-1】（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线l1:ax+3yA．−1 B．1C．3 D．−1或3【答案】C【分析】根据两直线平行的条件，列式求解即可.【详解】因为l1：ax由l1//l2可得解得a=3故选：C.【变式5-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）直线a+1x+3y+3=0A．2 B．1C．−2 D．2或−2【答案】C【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解.【详解】当直线a+1x+3y+3=0与直线x当a=2时，直线3x+3当a=−2时，直线−x+3y+3=0所以实数a的值为−2.故选：C【变式5-3】（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2,3)和N(4,0)，点Q在x轴上．若直线MQ与直线MN的夹角为π2【答案】(1【分析】翻译垂直条件，利用直线斜率建立方程求解即可.【详解】设Q横坐标为a，且由题意得kMQ=∵MQ与MN相互垂直，∴kMQ⋅k故答案为：(【变式5-4】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）若a，b为正实数，直线2a−1x+y+1=0与直线【答案】18【分析】由直线垂直的条件求得a,【详解】由题意2a−1+b由基本不等式得1=2a+b≥22ab，所以故答案为：18【考点题型六】由直线的平行与垂直求直线方程方法总结：1.根据平行关系求直线方程的方法(1)若直线l与已知直线y=kx+b平行，则可设l的方程为y=kx+m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程(2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax+By+m=0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线的方程.2.根据垂直关系求直线方程的方法(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y=kx+b垂直，则可设直线l的方程为y=-1k(2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx-Ay+m=0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程.【例6】（23-24高二上·江苏南通·期中）过点3,4且与直线2xA．3x−2yC．3x+2y【答案】B【分析】由题可得直线2x【详解】2x则所求直线斜率为32，又过点3,4，则直线方程为：y故选：B【变式6-1】（22-23高二·贵州贵阳·阶段练习）过点(1,2)且垂直于直线3xA．2x+3yC．3x−2y【答案】A【分析】设垂直于直线3x−2y+5=0的直线为2x【详解】设垂直于直线3x−2y代入点(1,2)得C=−8则所求直线为2x故选：A.【变式6-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点1,2且与直线x−2y−3=0【答案】2【分析】根据垂直关系设直线方程为2x+2y【详解】设与直线x−2y−3=0代入点1,2可得2+2+c=0，解得所以过点1,2且与直线x−2y−3=0故答案为：2x【变式6-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知△ABC的顶点A5,1，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，(1)求顶点C的坐标.(2)求直线BC的方程.【答案】(1)4,3(2)22【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可；（2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可.【详解】（1）∵边AC上的高BH所在直线方程为x−2∴kAC⋅kBH∵△ABC的顶点A5,1，∴直线AC方程;即2x+y−11=0与解得：x=4y=3，∴顶点C（2）∵CM所在直线方程为2x−∵M是AB中点，A5,1，∵B2m−5,4m∴2m−5−24m−11∴BC的方程为：y−3=22【变式6-4】（20-21高二上·北京海淀·期中）已知直线l的倾斜角为60°，且l过点P(（1）求l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.【答案】（1）3x−y−4=0；（2）【分析】（1）由题设可得k=tan60°=（2）由直线平行可设直线m为3x−y【详解】（1）由题设，直线l的斜率k=tan60°=3，又l过点∴y+1=3(（2）由题设，令直线m为3x−y∴C=10或C=−2，故直线m为3x【考点题型七】直线过定点问题方法总结：直线方程过定点问题常用的三种方法:1.将方程化为点斜式y-y0=k(x-x0),其中k为参数,求得直线恒过定点(x02.分离参数法:将方程变形,把x,y作为参数的系数,即有参数的放在一起，没参数的放在一起,因为此式子对任意的参数的值都成立,故需系数为零,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标.3.赋值法:因为参数取任意实数,所以给参数任取两次值,得到关于x,y的二元一次方程组,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标.【例7】（20-21高二上·安徽六安·期末）直线kx−y+1−3A．3,1 B．0,1C．0,0 D．2,1【答案】A【分析】直线方程转化为：x−3k−【详解】解：直线方程转化为：x−3令x−3=0−y所以直线过定点3,1，故选：A．【变式7-1】（22-23高二上·福建三明·阶段练习）已知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2:y-4=-mA．56 B．C．52 【答案】C【分析】首先确定定点A和定点B的坐标,再判定两条直线是垂直关系,从而得到PA2【详解】根据题意:动直线l1:x-my动直线l2:y-4=-mAB=∵直线l1:x-my+m-2=0和直线∴l1∵直线l1与直线l2交于点∴PA⊥∴PA2∴△PAB为直角三角形,且AB设∠PAB=θ,θ∴PA+∵θ∴θ∴当θ+π4=π2即故选:C.【变式7-2】（多选）（21-22高二上·江苏常州·期中）已知直线l1:xA．不存在k，使得l2的倾斜角为90° B．对任意的k，直线lC．对任意的k，l1与l2都不重合 D．对任意的k，l1【答案】BD【分析】对A，令k=0对B，化简直线方程，根据定点满足k的系数为0，且满足方程即可；对C，令k=−对D，根据B可得l2过定点(0,−1)【详解】对A，当k=0时，l对B，l2:(k+1)x+ky+k对C，当k=−12时，l对D，l2过定点(0,−1)，而(0,−1)也在l1:x−y−1=0故选：BD【变式7-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设m∈R，过定点A的动直线x+my+2=0和过定点B的动直线mx−y−2【答案】25【分析】根据直线方程得到A−2,0，B2,3，PA⊥【详解】直线x+my+2=0直线mx−y−2m+3=0可整理为m所以B2,3因为1⋅m+m⋅−1=0，所以直线所以点P的轨迹为以AB为直径的圆，AB=−2−22所以PA⋅PB≤故答案为：252【变式7-4】（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：(4λ(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l被两平行直线l1：x−2y+2=0与l2：x【答案】(1)证明见解析；(2)λ=【分析】（1）将直线方程化为λ(4x−（2）联立直线方程分别求出C，D的坐标，求其中点M的坐标，易知其同时为AB的中点，最后代入题设直线方程求参数λ即可.【详解】（1）由已知：(4λ+1)x令{4∴直线l恒过定点(1,4).（2）设直线l1，l2分别与直线由{2x+由{2x+∴CD的中点M的坐标为(－2,－2)，不妨设A在直线l1上，B在直线l2上，则△AMC将M代入直线l的方程得：(4λ+1)(−2)−(λ【考点题型八】距离公式及应用方法总结：距离公式综合应用的三种常用类型最值问题:①利用对称转化为两点之间的距离问题②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离，③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值(3)求方程的问题:立足确定直线的几何要素--点和方向、利用直线方程的各种形式、结合直线的位置关系：平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.【例8】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线l1:2xA．255 C．3510 【答案】C【分析】利用平行直线的距离公式可得.【详解】将直线l1方程化为4由平行直线的距离公式得d=故选：C【变式8-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过A(m,2),B(−A．2 B．6C．22 D．【答案】C【分析】利用倾斜角求出m=1【详解】由题知，m−1−2解得m=1，故A则A,B两点间的距离为故选：C【变式8-2】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线l过点P−2,−3，若点M2,−1和点N4,5到直线lA．3x−yC．x−y−1=0【答案】BC【分析】由题意，直线l存在斜率，设直线l的方程为y+3=【详解】当直线l的斜率不存在时，方程为x=−2，M2,−1和N4,5因此直线l存在斜率，设直线l的方程为y+3=kx若点M2,−1和点N4,5到直线则|2k+1+2k−3|k2+1∴直线l的方程为3x−y故选：BC.【变式8-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,−2)，B(−3,4)(1)求BC边所在的直线方程；(2)求△ABC【答案】(1)2(2)15【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程；（2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积.【详解】（1）因为B(−3,4)，C(0,6)，所以BC所在的直线方程为即2x（2）B，C两点间的距离为BC=点A到直线BC的距离d=所以△ABC的面积为1【变式8-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线l：m+n(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程.【答案】(1)证明见解析，1,1；(2)3x【分析】（1）直线方程整理为关于m,n的方程，然后由（2）记定点为Q(1,1)，由直线l【详解】（1）直线方程整理为(x由x−y=0所以直线过定点(1,1)．（2）记定点为Q(1,1)，易知点P到直线l的距离d≤PQ，当dkPQ=5−14−1直线l方程为y−1=−34【考点题型九】和差最值与对称问题方法总结：将军饮马问题：利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两