吉林省2024八年级数学上册第12章整数的乘除全章整合与提升课件新版华东师大版

第12章整数的乘除全章整合与提升

一个概念——因式分解1.

[中考·济宁]下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是

(

C

)A.(

a

＋3)2＝

a2＋6

a

＋9B.

a2－4

a

＋4＝

a

(

a

－4)＋4C.5

ax2－5

ay2＝5

a

(

x

＋

y

)(

x

－

y

)D.

a2－2

a

－8＝(

a

－2)(

a

＋4)C234567891011121314151617181

两种运算

幂的运算2.

若2

a

＋2

a

＋2

a

＋2

a

＝220，则

a

的值为

⁠.18

2345678910111213141516171813.

[长春第二实验中学期中]已知8

x

＝2，8

y

＝3，则83

x＋2

y

的

值为

⁠.72

234567891011121314151617181

整式的运算4.

【创新题·新考法】若规定新运算为

m

★

n

＝

n

(

m

－6)－

mn

，则

x

★(

x

＋1)＝

⁠.点拨：根据题意，得

x

★(

x

＋1)＝(

x

＋1)(

x

－6)－

x

(

x

＋1)

＝

x2－6

x

＋

x

－6－

x2－

x

＝－6

x

－6.－6

x

－6

2345678910111213141516171815.

[长春月考]计算：(1)(9

a5－15

a3＋6

a

)÷3

a

；解：原式＝3

a4－5

a2＋2.(2)(

a

＋2

b

)2－(

a

＋2

b

)(

a

－2

b

)＋6

b2.解：原式＝

a2＋4

ab

＋4

b2－(

a2－4

b2)＋6

b2

＝

a2＋4

ab

＋4

b2－

a2＋4

b2＋6

b2

＝14

b2＋4

ab

.234567891011121314151617181

两个公式

平方差公式6.

[长春四十五中期中]下列式子为多项式

x2－36的因式的是

(

B

)A.

x

－3B.

x

－6C.

x

－4D.

x

－9B2345678910111213141516171817.

【创新题·新设问】当2

024－(－2

a

－3

b

)2取最大值时，2

024＋4

a2－9

b2＝

⁠.2

024

2345678910111213141516171818.

利用平方差公式计算：(1)(

a

＋5

b

)(

a2＋25

b2)(

a

－5

b

)；解：原式＝[(

a

＋5

b

)(

a

－5

b

)](

a2＋25

b2)＝(

a2－25

b2)(

a2＋25

b2)＝

a4－625

b4.(2)(3＋2

a

＋

b

)(3＋2

a

－

b

).解：原式＝[(3＋2

a

)＋

b

][(3＋2

a

)－

b

]＝(3＋2

a

)2－

b2

＝9＋12

a

＋4

a2－

b2.234567891011121314151617181

两数和(差)的平方公式9.

[中考·东营]因式分解：3

ma2－6

mab

＋3

mb2＝

⁠

⁠.3

m

(

a

－

b

)2

23456789101112131415161718110.

若有理数

a

，

b

满足

a2＋

b2＝5，(

a

＋

b

)2＝9，则－4

ab

的值为(

D

)A.2B.

－2C.8D.

－8

D23456789101112131415161718111.

若(

x

＋

k

)2＝

x2＋24

x

＋

k2，则

k

＝

⁠.12

234567891011121314151617181

三种应用

应用整式乘法解决面积问题12.

甲、乙两个长方形的长和宽如图所示(

m

为正整数)，其

面积分别为

S1，

S2.(1)请比较

S1和

S2的大小；234567891011121314151617181解：(1)

S1＝(

m

＋1)(

m

＋5)＝

m2＋6

m

＋5，

S2＝(

m

＋2)(

m

＋4)＝

m2＋6

m

＋8.

因为

S1－

S2＝

m2＋6

m

＋5－(

m2＋6

m

＋8)＝

m2＋6

m

＋5－

m2－6

m

－8＝－3＜0，所以

S1＜

S2.234567891011121314151617181(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之

和，求该正方形的面积(用含

m

的代数式表示).12.

甲、乙两个长方形的长和宽如图所示(

m

为正整数)，其

面积分别为

S1，

S2.234567891011121314151617181解：(2)因为甲、乙两个长方形的周长和为2(

m

＋1＋

m

＋5＋

m

＋4＋

m

＋2)＝8

m

＋24，所以正方形的边长为(8

m

＋24)

÷4＝2

m

＋6.所以该正方形的面积为(2

m

＋6)2＝4

m2＋

24

m

＋36.234567891011121314151617181

应用乘法公式解决规律问题13.

观察下列各式：

a1＝32－12，

a2＝52－32，

a3＝72－

52，….(1)试探索第

n

个式子

an

是多少？解：(1)

an

＝(2

n

＋1)2－(2

n

－1)2.234567891011121314151617181(2)试探索

an

能否被8整除？并说明理由.解：(2)

an

能被8整除.理由如下：

因为

an

＝(2

n

＋1)2－(2

n

－1)2＝[(2

n

＋1)＋(2

n

－1)]

·[(2

n

＋1)－(2

n

－1)]＝8

n

(

n

≥1，且

n

是整数)，

所以

an

能被8整除.13.

观察下列各式：

a1＝32－12，

a2＝52－32，

a3＝72－

52，….234567891011121314151617181

应用因式分解解决整除问题14.

试说明：32

025－4×32

024＋10×32

023能被7整除.解：因为32

025－4×32

024＋10×32

023＝32

023(32－4×3＋10)

＝32

023×7，

所以32

025－4×32

024＋10×32

023能被7整除.23456789101112131415161718115.

【教材改编题】对于任意自然数

n

，(

n

＋7)2－(

n

－5)2

是否能被24整除？解：(

n

＋7)2－(

n

－5)2＝[(

n

＋7)＋(

n

－5)][(

n

＋7)－(

n

－5)]

＝(

n

＋7＋

n

－5)(

n

＋7－

n

＋5)＝(2

n

＋2)×12＝24(

n

＋1).

因为24(

n

＋1)中含有24这个因数，

所以(

n

＋7)2－(

n

－5)2能被24整除.234567891011121314151617181

三种数学思想

数形结合思想16.

[中考·随州]设有边长分别为a和b(a＞b)的A类和B类正方形纸片，长为a、宽为b的C类长方形纸片若干张，如图，要拼一个边长为a＋b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a＋

b、宽为2a＋2b的长方形，则需要C类纸片的张数为

(

C

)234567891011121314151617181A.6B.7C.8D.9点拨：因为(3

a

＋

b

)(2

a

＋2

b

)＝6

a2＋6

ab

＋2

ab

＋2

b2

＝6

a2＋8

ab

＋2

b2，所以要拼一个长为3

a

＋

b

、宽为2

a

＋2

b

的长方形，需要C类纸片的张数为8.故选C.

答案：C234567891011121314151617181

整体思想17.

若

x

－

y

＝6，

xy

＝7，求

x2＋

y2的值.解：因为

x