2021届人教a版（文科数学） 空间向量与立体几何 单元测试

2021届人教A版（文科数学）空间向量与立体几何单元测试

1、平面a经过三点A（—l,0,l）,Bd,1,2）,C（2,-1,0）,则下列向量中与平面

a的法向量不垂直的是（）

A.（―,—1,—1）B.（6,—2,—2）

2

C.（4,2,2）D.（-1,1,4）

2、已知点A点,-2,11）,B（4,2,3）,C（6,-1,4）则三角形ABC的形状是（）

（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）斜三角形

3、点（2,0,3）位于（）

A.y轴上B.无轴上C.xoz平面内D.yoz平面内

4、在正方体ABCD-A[B]C]DI中，直线％、与平面AB]D]所成角的正弦值为（）

A.3B.3C.3D.3

5、在三棱锥P-ABC中，PC±底面ABC,NBAC=90",AB=AC=4,/BC=60",贝1J点

C到平面PAB的距离是（）

3版4版5板6匹

A.7B.7C.7D.7

6、如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，卜卜=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段

GD,AC上，则线段PQ长度的最小值是（）.

7、在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-ABCD棱长为2,E为正方体的

棱AAi的中点，F为棱AB上的一点，且/GEF=90°,则点F的坐标为（）

A.(2,1,0)B.(2,1,0)C.(2,1,0)D.(2,2,0)

2343

8、如图，在长方体ABCD-A]B]CR中，A]A=2AB=2AD,则异面直线与AD1所成角

的余弦值为()

1234

A.5B.5&5D.5

9、已知、・'=0,同=2,由=3,且(3a+2,)•(遥一‘)=0,则A等于()

33

A.2B.-2

3

C.+2D.1

10、AABC的三个顶点分别是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD

长为()

A.5B.弧C.4D.2/

11、如图，在三棱柱AB。-A46中，O,底面ABC,M=3,

AB^AC^BC^l,则疑]与平面A&G所成角的大小为()

12、已知直线1过点P(1,0,—1),平行于向量2=(2,1,1),平面a过直线1与点

M(1,2,3),则平面a的法向量不可能是()

B.C.(一《,1,一；)

A.(1,-4,2)D.(0,-1,1)

13、已知空间中AABC的三个顶点的坐标分别为A(l,l,0),B(O,1,2),6(24,1),则BC边

上的中线的长度为o

14、若向量a=(l,1,x),b=(l,2,1),c=(l,1,1),若(c+a)•2b=-2,则实数x=.

15、如图，正方体ABCD—ABCD的棱长为1,0是底面ABCD的中心，则点。到平

面ABC.D,的距离为.

16、若平面a、p的法向量分别为m=(l,2,-2),m=(—3,—6,6),则平面

a,B的位置关系是.

17、已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).

⑴若而IIAC,DCIIAB,求点D的坐标；

(2)问是否存在实数a,6,使得Ada就+BBC成立?若存在，求出a,0的值;若不

存在，说明理由.

18、在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简人/1一EF+DF+AB+CC、并在图中标出

化简结果的向量.

19、如图，四棱锥P-ABCD中，R4,底面ABC。AB〃CO,AD=CD^\,

ZBAZ)=120°,PA=g,ZACB=90°,M是线段PO上的一点(不包括端点).

(I)求证：平面PAC；

(II)求二面角。—PC—A的正切值；

(III)试确定点"的位置，使直线MA与平面PCO所成角。的正弦值为半.

20、已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)若司=m，且a分别与AB,AC垂直，求向量a的坐标；

(2)若而〃BC,且网=2/,求点P的坐标.

21、正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.

⑴证明：平面AED_L平面A1FD1;

(2)在AE上求一点M,使得A1M_L平面DAE.

22、如图，在五面体ABCDEF中，FA,平面ABCD,AD〃BC〃FE,AB±AD,M

1

为EC的中点，AF=AB=BC=FE=2AD.

(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;

⑵证明平面AMD,平面CDE；

(3)求二面角A-CD-E的余弦值.

参考答案

1、答案D

设平面a的法向量为n,则n，Z分,n±AC,n±BC,所有与耳耳（或衣、BC）

平行的向量或可用而与正线性表示的向量都与n垂直，故选D.

2、答案A

3、答案C

4、答案C

通过题干条件得到面的法向量，BC〃B[CI,求法向量和BC的夹角即可.

详解

1+3-2下

_n_COSZ-BCA=--------尸=一

由题知，A：为平面ABR的一个法向量，又因为BC〃B£,所以12x433

故答案为：C.

名师点评

求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面

角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线

面角即可。

5、答案B

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐

标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离.

详解

・•・在三棱锥P-ABC中，PC1底面ABC,NBAC=90",AB=AC=4,"BC=60°,

二以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，

过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系,

则CO*0),P(0,4,4狗,A(0Q,0),

B(4,0,0),

=(0,Q-=(4,

AC4,0),AB0,0),

=(0,/c.

AP4,4j6),

T=(X,

设平面PAB的法向量n'y,Z),

-=4y+4、后z=0

nAP

"•"=4x=0

则(nAB,

,1(0,-而1)

取Z=l,得n,

I

ACn4拜4V142

d=------=——=-----

nJ?7

二点C到平面PAB的距离n

故选：B.

名师点评

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

6、答案C

本题建立如图所示的空间直角坐标系；则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),

CL(0,1,2),

设点P的坐标为(0,入，2人)，1],点Q的坐标为(1—u,M,0),yG[0,

1]，

/z)2+(Jl-/Z)2+412=^2/12+512-2/z+l

152

当且仅当A=5,口=3时，线段PQ的长度取得最小值5.

考查目的：运用空间坐标化为代数的最值问题用配方法解决.

7、答案A

解：由题意得E(2,0,1),Ci(0,2,2),设F(2,y,0),

则西=(-2,2,1),EF=(0,y,-1),

VZClEF=90°,

二EC：?EF=2y-1=0,解得y=_L,

则点F的坐标为(2,1,0),

2

故选：A

本题主要考查空间向量的应用，根据直线垂直转化为西？而=0是解决本题的关键.

8、答案D

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，D%为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出异面直线A.B与AD所成角的余弦值.

详解

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，

设AAi=2AB=2AD=2,

贝ijAi(1,0,2),B(1,1,0),A(1,0,0),Di(0,0,2),

AiB=(0,1,-2),ADi=(-1,0.2).

设异面直线AB与A%所成角为0,

IA]B'AD1[44

则cos。ABIIADJJ'

4

...异面直线AB与AD,所成角的余弦值为5.

故选：D.

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法

的合理运用.

9、答案A

由向量垂直得a-b=(),令(3a+2b)?(入a-b)=0即可解出入

详解

»»­»■>-»->->->

ya1b,/.a-b=o,V3a+2b±Xa-b,(3a+2b)?(Xa-b)=Q,

3

9>>•>T

BP3xa2+(2X-3)a•b-2^=0,12入-18=0,解得入=2.

故选：A.

名师点评

本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.

10、答案A

设京=人辰，又曲=(o,4,-3),

则Ab=(0,4A,-3X),

-»

AB=(%-5,0),

BD=(-4,4X+5,-3X),

由AC♦BD=Q

4912

得x=-5,.­.Bb=(-4,5,5).

.•.廊|=5.

11、答案A

建立空间坐标系，计算A、坐标，计算平面44G的法向量，运用空间向量数量积公式,

计算夹角即可。

详解

取AB的中点D,连接CD,以AD为x轴，以CD为y轴，以'片为z轴，建立空间直角

坐标系，

可得A(1,O,O),40,0,3),故丽=(1,0,3)—(1,0,0)=(0,0,3),而

B,(-l,0,3),C,(0,^,3)；设平面MG的法向量为和(。,叱)

,根据

比•福=0,沅•菊=0,解得玩=('一&'2),

四优质)=牛组」

\'/网如2

故'A与平面ABC所成角的大小为30°,故选A。

名师点评

考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难。

12、答案D

由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量1=(2,1,1),和向量AM,,

而AA/=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),

选项A,(2,1,1)-(1,-4,2)=0,(0,2,4)-(1,-4,2)=0满足垂直，故正确;

选项B,(2,1,1)(-,T,-)=0,(0,2,4)-1,-)=0满足垂直,

4242

故正确；

选项C,(2,1,1)(——111?—)=0,(0,2,4)(_—,1>?—)=0满足垂

4242

直，故正确；

选项D,(2,1,1)(0,-1,1)=0,但(0,2,4)■(0,-1,1)W0,故错误.

考查目的：平面的法向量

3

13、答案2

写出BC中点坐标E,进而得AE长度.

详解

322323

£(1,1,-)A|AE|=02+02+H=-

设BC中点E,则

名师点评

本题考查空间向量的坐标运算，两点间距离，是基础题.

14、答案-8

由数量积的坐标运算可解得X。

详解

由已知得(c+a)=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+l)=-2,解得x=-8.填-8.

名师点评

若；=%,丫/1)6=仅2%】2),则=x1x2+y1y2+z1z2

15、答案也＜

4

16、答案平行

*/n2=_3ni，'.n\//n2,a//^.

17、答案(1)D(-l,l,2).(2)a=3=l

试题分析：(1)设D(x,y,z),由向量平行的坐标运算可求得D点坐标。(2)假设存在,

由待定系数法求解。

详解

⑴设D(x,y,z),则DB=(-x,1-y,-z),&=(T,0,2),DC=(-x,-y,2-z),^=(-1,1,0).

因为FBIIAC,DCII

f(-x,l-y,-z)=m(-1,0,2),

所以i(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),

(X=-1,

y=1,

解得Iz=2.BPD(-1,1,2).

(2)依题意A*B=(T,1,0),晶=(T,0,2),BG=(0,-l,2).

假设存在实数a,B,使得&=aAB+BR成立,则有

(-1,0,2)=a(-1,l,0)+P(0,-1,2)=(-a,a-p,2P),

/a=1,

a-P=0,__.

所以|20=2,故存在a=B=1,使得扇=aAB+p展成立.

名师点评

T—♦

xz=

已知a=仅1,丫111)力=(x2,y2,z2)^若a〃，则a=Xb(b00),(i*Ypi)人华斗马),所以

X]=Xx2,y1=Xy2,z1=Xz2

18、答案：：根据向量的加减法的三角形法则，结合六棱柱图形，即可化简所求式子.

详解

A1F1-EF+AB+CC1+DF=AF+FE+ED+DD1+=AF、在图中表示如下图所示。

名师点评

本题主要考查了向量加法、减法的运算法则，及相反向量，属于中档题.

19、答案（I）：PAJ_底面ABCD,BCM»平面AC,.\PA1BC

VZACB=90°,ABCIAC,又PAAAC=A,，BC_L平面PAC,

（H）取CD的中点E,则AELCD,.-.AE±AB,又PAL底面ABCD,...PALAE建立如图所示

空间直角坐标系，则

A(0,,0,0),P(0,0,山），c（朋①，0),D(A3,0)

uaAD二CD二卜BAD

易求为平面PAC的一个法向量•ACLB为平面PDC的一个法向量,

AcosJVdT故二面角D-PC-A的正切值为2.

（in）设/=^上二>，则<233^，

解得点AJL<17即D—PC-A

由得MA（不合题意舍去）或PCD

所以当夕为冬的中点时,直线AM与平面PCD所成角的正弦值为巫.

20、答案⑴Q，l，l)或(T，T，T)；⑵(6,-2,1)或(-6,6,5)

试题分析：(1)AB=(-2,-1,3),AC=(i,-3,2).设a=(x,y,z),由于©=4,

-»今今-2x-y+3z=0一一

且a分别与AB、AC垂直，可得［x-3y+2z=0,解出即可.⑵设久日=题(入CR),

即43入)2+(-2入)2+(-入)2=264,解之即得人的值，即得而=化，-4,—2)或AP=(—

6,4,2).再求出点P的坐标.

详解

今今

⑴AB=(-2,-1,3),AC=(i,-3,2).

与

设a二(x,y,z),

•;a1=4,且a分别与AB、AC垂直，

-2x-y+3z=0

.・.x-3y+2z=0,

(X=l/X=-l

)y=1,y=-1

解得|z=1,或［z二・1.

・,.a二(1,1,1),(-1,-1,-1).

(2)因为而〃BC,所以可设|R|=入BC0WR).

因为BC=(3,-2,-1),

所以6P=(3入，-2X,-X).

又因为|AP|=2标，

所以J(3入八(-2入)2+(-心=2眄

解得入=±2.

所以而=(6,-4,—2)或而=(-6,4,2).

设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(x,y—2,z—3).

/x=6,/x=-6,

y-2=-4,y-2=4,

所以|z-3=-2或［z-3=2.

(x=6,/X=-6,

y=-2,y=6,

解得Iz=1或(z=5.

故所求点P的坐标为(6,—2,1)或(-6,6,5).

名师点评

本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行和垂直的坐标表示，考查向量的模的计算,

意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

21、答案：：(1)证明建立空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为2,

则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),Ai(2,0,2),0.(0,0,2).求出平面AED的法向量为n,

平面AFDi的法向量由m•n2=0即可得证.

(2)因为点M在直线AE上，所以可设尿生入•AE=X•(0,2,1)=(0,2入，入)，可得

-»

M(2,2入，入)，于是AIM=(O,2入，入-2),要使AMJ_平面DAE,需有AMLAE,即可求出X

从而确定点M.

详解

A"

(1)司力证明建立空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为2,

则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A.(2,0,2),»(0,0,2).

,[Dk=的,丫14・(2,0,0)=0,

设平面AED的法向量为山=区,y„z),则1rVDE=(^^-[2,2,1)=0,

•*.2xi=0,2xi+2yi+zi=0.

令yi=l,得111=(0,1,-2).

同理可得平面AFDi的法向量(0