专题11.1 平方根【八大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

专题11.1平方根【八大题型】【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平方根的性质与数轴的综合】 1【题型2依据平方根的性质求字母的值】 3【题型3依据非负性的性质求值】 5【题型4利用平方根的概念解方程】 7【题型5依据平方根和算术平方根的概念求值】 9【题型6估算算术平方根的取值范围】 11【题型7求算术平方根的整数部分和小数部分】 12【题型8有关算术平方根的探究规律题】 15【学问点1平方根和算术平方根】平方根：①定义：假如x2=a(a≥0)，那么②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±负根号a，其中a叫做被开方数.③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．算术平方根：(1)定义：正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；②负数没有算术平方根.当a≥0时，③算术平方根具有双重非负性：a≥0；【题型1平方根的性质与数轴的综合】【例1】（2025春·八班级单元测试）已知a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：a2+b2+(a−b)2+(b−1)2

【答案】3a−3b【分析】a，b在数轴上对应点的位置推断a，b的符号，进而推断a−b，b−1，a−1的符号，再由算术平方根化简方法进行计算即可．【详解】解：由a，b在数轴上对应点的位置可知b<−1<0<a<1，∴a−b>0，b−1<0，a−1<0，∴原式==a−b=3a−3b．【点睛】本题考查算术平方根的性质与化简，数轴表示数，把握数轴表示数的定义，算术平方根化简的方法是正确解答的前提．【变式1-1】（2025春·湖北武汉·八班级校联考期中）如图，已知x2＝3，那么在数轴上与x对应的点可能是（

）A．P1 B．P4C．P2或P3 D．P1或P4【答案】D【详解】解：∵x2=3，∴x=±3，∴对应的点为P1或P4．故选：D．【变式1-2】（2025春·八班级单元测试）已知a，b在数轴上位置如图，化简(a−b)2【答案】b【分析】据数a、b在数轴上的位置确定a−b，a的符号，再依据算术平方根的性质进行开方运算，再合并同类项．【详解】解：从数轴上可以得出：a<0，∴a−b<0，∴(a−b)2故答案为：b．【点睛】本题考查的是利用数轴比较的大小，算术平方根，把握算术平方根的概念是解题的关键．【变式1-3】（2025春·辽宁辽阳·八班级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（

）A．−7 B．7−1 C．1−7【答案】C【分析】由于面积为7的正方形ABCD边长为7，所以AD=7，而AD=AE，得AE=7，A点的坐标为1，故E点的坐标为【详解】解：∵面积为7的正方形ABCD为7，∴AD=7∵AD=AE，∴AE=7∵A点表示的数为1，∴E点表示的数为1−7故选：C．【点睛】本题考查了数轴与、平方根的应用，关键是结合题意求出AD=AE=7【题型2依据平方根的性质求字母的值】【例2】（2025春·广东云浮·八班级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别为m+3和2m−15．(1)这个正数是多少？(2)m+21的算术平方根是多少？【答案】(1)这个正数是49(2)m+21的算术平方根是5【分析】（1）依据“一个正数的两个平方根互为相反数”可得m+3+（2）由（1）可求m+21=25，即可求解．【详解】（1）解：由题意得m+3+解得：m=4，所以这个正数是m+32（2）解：由（1）得m=4，所以m+21=25，所以m+25=5所以m+5的算术平方根是5．【点睛】本题考查了平方根的性质，算术平方根的求法，理解平方根的性质和算术平方根的求法是解题的关键．【变式2-1】（2025春·河北廊坊·八班级校联考期中）假照实数m没有平方根，那么m可以是（

）A．−32 B．−3 C．−32【答案】A【分析】利用乘方、确定值的性质及去括号法则逐一化简各选项，依据只有非负数有平方根，负数没有平方根即可得答案．【详解】解：−32=−9<0，−3=3>0，∵实数m没有平方根，∴m<0，∴−3故选：A．【点睛】本题主要考查平方根的性质，正确化简各选项，娴熟把握只有非负数有平方根，负数没有平方根是解题关键．【变式2-2】（2025春·上海虹口·八班级校联考期末）已知2025−n是正整数，则n的最大值为（

）A．2025 B．2025 C．2025 D．2025【答案】A【分析】由题意可得n≤2025，要使要使2025−n是正整数，即可得出当n最大取2025时，2025−n是正整数．【详解】解：∵2025−n≥0，∴n≤2025，要使2025−n是正整数，即当n=2025时，2025−n=故选：A．【点睛】本题主要考查了算术平方根，娴熟把握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．【变式2-3】（2025春·福建泉州·八班级福建省泉州第一中学校考期中）已知x=1−2a，(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；(2)假如x，y都是同一个数的平方根，求这个数．【答案】(1)a=−4(2)这个数为1或25【分析】（1）由x的算术平方根为3得到1−2a=9，解方程即可得到答案；（2）分x=y和x+y=0两种状况分别进行求解即可．【详解】（1）解：∵x的算术平方根为3，∴1−2a=9，解得a=−4；（2）①当x=y时，即1−2a=3a−4，解得a=1，∴x=1−2a=−1，y=3a−4=−1，∴这个数为−12②当x+y=0时，即1−2a+3a−4=0，解得a=3，∴x=1−2a=−5，y=3a−4=5，∴这个数为52综上所述，这个数为1或25．【点睛】此题考查了平方根和算术平方根，读懂题意并正确计算是解题的关键．【题型3依据非负性的性质求值】【例3】（2025春·河南驻马店·八班级统考期中）已知3x−y−1和2x+y−4互为相反数，求x+4y的平方根.【答案】±3.【分析】依据题意得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得出x、y的值，代入可求．【详解】由题意得：3x−y−1+2x+y−4=0，所以{3x−y−1=0解得x=1,y=2∴x+4y的平方根=±x+4y=±1+4×2考点：非负数的性质、平方根．【变式3-1】（2025春·四川达州·八班级统考期末）已知x、y，满足x−1+|y+2|=0，则x【答案】±3【分析】利用算术平方根及确定值的非负性求出x、y的值，即可代入求出x2【详解】∵x−1+|y+2|=0∴x-1=0，y+2=0，∴x=1，y=-2，∴x2∴x2−4y的平方根为故答案为：±3.【点睛】此题考查算术平方根及确定值的非负性，求一个数的平方根，能依据题意求出x、y的值是解题关键.【变式3-2】（2025春·四川内江·八班级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知y＝x−7+A．3 B．±3 C．4 D．±4【答案】D【分析】直接利用算术平方根有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，再利用平方根的定义得出答案．【详解】解：由题意可得：x−7≥014−2x≥0解得：x＝7，故y＝9，则y+x＝9+7＝16，故y+x的平方根是：±4．故选：D．【点睛】本题考查算术平方根有意义的条件，解不等式组.能依据算术平方根有意义被开方数大于等于0得出不等式组是解决此题的关键.【变式3-3】（2025春·江苏苏州·八班级统考期中）已知(3−x)2−5与y−2+5A．6 B．5 C．52 【答案】A【分析】依据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再依据非负数的性质列方程求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵(3−x)2−5与∴(x−3)2−5+即(x−3)2所以x−3=0,y−2=0，解得x=3,y=2，所以x+3y−1故选A．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【题型4利用平方根的概念解方程】【例4】（2025春·河南鹤壁·八班级校考期中）若x2−a2=A．2 B．4 C．±2 D．±4【答案】C【分析】先由整式乘法运算公式-平方差公式化简、移项、合并同类项、直接开平方解方程即可得到答案．【详解】解：∵x2∴x移项、合并同类项得a2直接开平方得a=±2，故选：C．【点睛】本题考查解方程，涉及整式乘法运算公式-平方差公式，把握解方程步骤移项、合并同类项、直接开平方等是解决问题的关键．【变式4-1】（2025春·湖南长沙·八班级湖南师大附中博才试验中学校联考期中）假如x−12=4，那么x的值是（A．4 B．3或−1 C．−1 D．3【答案】B【分析】依据平方根的定义解方程即可．【详解】x−12开平方得x−1=±2，解得x=3或−1，故选：B．【点睛】本题考查了利用平方根的定义解方程，娴熟把握平方根的定义是解题的关键．【变式4-2】（2025春·广西梧州·八班级统考期中）在公式y=(−1)2−8中，当y=1【答案】4或−2【分析】将y=1代入，用开平方法，解关于x的方程即可．【详解】解：把y=1代入y=(x−1)2−8移项得：x−12开平方得：x−1=±3，∴x=4或x=−2．故答案为：4或-2．【点睛】本题主要考查了开平方运算，解题的关键是娴熟把握平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数．【变式4-3】（2025春·江西萍乡·八班级校考期中）求下列各式中x的值：(1)9x(2)4【答案】(1)x=53(2)x=2或x=−1【分析】（1）依据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．（2）依据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．【详解】（1）9移项得，9x两边都除以9得，x2由平方根的定义得，x=±5即x=53（2）4两边都除以4得，(2x−1)2由平方根的定义得，2x−1=±3，即x=2或x=−1；【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义，把握等式的性质是正确解答的前提．【题型5依据平方根和算术平方根的概念求值】【例5】（2025春·四川资阳·八班级校考期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．【答案】±17．【分析】分别依据2b+1的平方根是±3，3a+2b-1的算术平方根是4，求出a、b的值，再求出2b+3a的值，求出其平方根即可．【详解】解：由题意可知：2b+1=（±3）2=9，∴b=4，3a+2b-1=42=16，∴3a+8-1=16，∴a=3，∴2b+3a=8+9=17，∴2b+3a的平方根±17．【点睛】本题考查的是平方根和算术平方根的定义，依据题意求出a、b的值是解答此题的关键．【变式5-1】（2025春·广东江门·八班级校考期中）已知a+3=2，则aA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】依据4的算术平方根是2可解答．【详解】解：∵a+3∴a+3=4，∴a=1故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根，把握算术平方根的定义是关键．【变式5-2】（2025春·福建莆田·八班级统考期末）已知x＝1-a，y＝2a-5．（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；（2）假如一个数的平方根是x和y，求这个数．【答案】（1）a=−3，±3；（2）9．【分析】（1）依据x=4，求解方程可得a的值；再通过解方程计算得y的值，从而得到x+y+16的平方根；（2）一个数的平方根是x和y，可得x=−y，通过解方程得a的值，再经计算得x和y，从而完成求解．【详解】（1）∵x=4∴1−a=4∴a=−3∴y=2a−5=2×−3∴x+y+16=4+−11∴x+y+16的平方根为：±3．（2）假如一个数的平方根是x和y即这个数=x2，且∴1−a=−2a−5∴a=4∴x=−3y=3∴这个数=x【点睛】本题考查了平方根等学问；解题的关键是娴熟把握平方根的性质，从而完成求解．【变式5-3】（2025春·陕西西安·八班级校考期中）已知正数x的平方根是m和m+(1)当n=6时，求m(2)若m2x+(【答案】(1)m(2)x【分析】（1）利用正数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到(m+n)2【详解】（1）∵正数x的平方根是m和m+∴m+∵n=6∴2m∴m=−3（2）∵正数x的平方根是m和m+∴(m∵m2∴x2∴x2∵x＞0∴x=4∴x-1【点睛】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，娴熟把握这两个学问点是解题的关键．【题型6估算算术平方根的取值范围】【例6】（2025春·八班级课时练习）估量56的大小应在（

）A．7.1～7.3之间 B．7.3～7.5之间 C．7.5～【答案】B【分析】先把56平方，再把选项中的数分别平方，即可解答．【详解】解：∵7.32=53.29，∴56在7.5～故选：B．【点睛】本题考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．【变式6-1】（2025春·贵州贵阳·八班级校考阶段练习）如图，在数轴上表示数17的点可能是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【分析】估算出17的范围即可得出答案．【详解】解：∵16<17<25，∴16<∴4<17故选：D．【点睛】本题考查算术平方根的大小比较．【变式6-2】（2025春·贵州六盘水·八班级统考期末）数轴上表示下列各数的点，能落在A，B两个点之间的是（

）A．−3 B．C．11 D．13【答案】B【分析】首先确定A，B对应的数，再分别估算四个选项的数值进行推断即可．【详解】解：由数轴得，A点对应的数是1，B点对应的数是3，A.-2＜−3B.2＜7＜3，符合题意；C、3＜11＜4，不符合题意；D.3＜13＜4，不符合题意；故选：B【变式6-3】（2025春·北京东城·八班级北京一七一中校考期中）请写出2与10间的一个整数________．【答案】2（答案不唯一）【分析】估算出2与10的取值范围，即可求解．【详解】解：∵1<2<2，∴2与10间的一个整数为2或3，故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了算术平方根的估算，估算出2与10的取值范围是解题的关键．【题型7求算术平方根的整数部分和小数部分】【例7】（2025·重庆九龙坡·重庆试验外国语学校校考三模）若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】通过算数平方根的算法，计算出正方形边长，再依据估算得出结果．【详解】解：∵正方形的面积是20，∴正方形的边长为20，∵16<20<20.25，故4<20<4.5，则故选A．【点睛】本题考查了求算数平方根、以及估算算数平方根，其中精确     算出算数平方根是关键．【变式7-1】（2025春·全国·八班级专题练习）11的整数部分是______．小数部分是_______．【答案】311【分析】依据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．【详解】解：∵9<11<16，∴3<11∴11的整数部分为3，∴11的小数部分为11−3故答案为3，11−3【点睛】本题主要考查算术平方根，娴熟把握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．【变式7-2】（2025·浙江·八班级假期作业）已知2a−1的算术平方根是3，b−1的平方根是±4，c是13的整数部分，求a+2b−c的平方根．【答案】±6【分析】依据平方根与算术平方根的定义分别求出a、b、c的值；进而得出a+2b−c的值，求出它的平方根即可；【详解】解：∵2a−1的算术平方根是3；b−1的平方根是±4，∴2a−1=9，b−1=16，∴a=5，b=17．∵c是13的整数部分，3<13∴c=3．∴a+2b−c=5+17×2−3=36．∵36的平方根是±6．∴a+2b−c的平方根为±6．【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；娴熟把握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．【变式7-3】（2025春·浙江·八班级专题练习）（1）接受夹逼法，利用2的一系列不足近似值和过剩近似值来估量它的大小的过程如下：由于12所以1<由于1.42=1.96，所以1.4<由于1.412所以1.41<由于1.4142所以1.414<因此2≈1.41使用夹逼法，求出5的近似值(精确到百分位)．（2）我们规定用符号x表示数x的整数部分，例如3①按此规定10+2=②假如3的整数部分是a,5的小数部分是b,求a【答案】（1）2.24；（2）①5，②3−【分析】（1）仿照使用夹逼法求2近似值的方法解答即可；（2）①先使用夹逼法确定10的范围，然后即可确定10+2②先确定3的整数部分a与5的小数部分b的值，再代入所求式子化简计算即可．【详解】解：（1）由于22所以2<由于2.22所以2.2<5由于2.232所以2.23<由于2.2362所以2.236<5因此5≈2.24（2）①由于3.12=9.61，3.22=10.24，所以3.1<10所以5.1<10所以10+2故答案为：5；②由于1<3所以a=1,b=5所以原式==1−=1−=3−5【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的生疏以及实数的简洁计算，属于常考题型，正确理解题意、娴熟把握算术平方根的相关学问是解题关键．【题型8有关算术平方根的探究规律题】【例8】（2025春·四川达州·八班级四川省渠县中学校考阶段练习）探究与应用．先填写下表，通过观看后再回答问题：a．．．0.00010.01110010000．．．a．．．0.01x1y100．．．(1)表格中x＝；y＝；(2)从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：规律：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________①已知10≈3.16，则1000≈②已知3.24=1.8，若a=180，则a=【答案】(1)0.1，10(2)规律见解析，①31.6；②32400【分析】（1）观看表格确定出x与y的值即可；（2）依据表格中的规律“算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍”，据此分别计算①②可得答案．【详解】（1）解：x=0.1，y=10；故答案为：0.1，10；（2）依据表中数据可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；①1000=10②a=3.24×10000=32400．故答案为：①31.6；②32400．【点睛】本题考查了算术平方根的学问，依据表格的数据发觉规律是解题的关键．【变式8-1】（2025春·河南郑州·八班级郑州市第八中学校考期中）观看下列有规律的一组等式：2−25=85=4×2(1)猜想：4−417=(2)你发觉了什么规律？依据你发觉的规律，请用一个含n（n为正整数）的式子表示这一规律．【答案】(1)4(2)被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，n−【分析】（1）依据给定的等式，进行猜想即可；（2）依据给定的等式可以看出，被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，进行表示即可．【详解】（1）解：由给定的等式猜想得：4−4故答案为：44（2）由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，用一个含n（n为正整数）的式子可表示为：n−n【点睛】本题考查算术平方根的性质和数字的规律性探究．娴熟把握算术平方根的概念，从给出的式子中正确的找出规律，是解题的关键．【变式8-2】（2025春·安徽亳州·八班级统考阶