人教版八上数学整式的乘法及因式分解单元培优

PAGEPAGE6第1讲整式的乘法知识点梳理：复习回顾：整式的加减：同类项，合并同类项新课要点：（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。(、都是正整数)注意公式逆用。（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘。（、都是正整数)注意公式逆用。（3）积的乘方：（是正整数）注意公式逆用。（4）整式的乘法：①单项式和单项式相乘：把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。例如：=②单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积再相加。即经典例题例1．（1）-x3·x5（2）xm·x3m+1（3）2×24×23（4）（5）例2．计算：①②例3.计算：⑴⑵⑶⑷（5）（6）例4.计算：⑴⑵（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）例5．若，则代数式的值为。例6若(x2＋ax－b)(2x2－3x＋1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为－6，求a，b．经典练习：1.填空：（1）8×4=2x，则x=；3×27×9=3x，则x=；（2）=（3）若,则=________。（4）=（5）=（6）=（7）=（8）(ｘ-ｙ)6·(ｙ-ｘ)5=_______________。（9）10m·10m-1·100=__________________。2.下列各式的计算中，正确的是（）A.B.C.D.3、(-10)3·10+100·(-102)的运算结果是()A.108B.-2×104C.0D.-1044、a与b互为相反数且都不为0，n为正整数，则下列两数互为相反数的是()A..与B.与C.与D.与5.计算(-2)1999+(-2)2000等于()A.-23999B.-2C.-21999D.219996.，则（）A.8B.9C.10D.无法确定7、计算⑴⑵（3）（4）（5）（6）8．已知，求的值。9．若，求x的值.10.已知，求的值。能力提高1、计算(ａ-ｂ)n·(ｂ-ａ)n-1等于()A.(ａ-ｂ)2n-1B.(ｂ-ａ)2n-1C.(ａ-ｂ)2n-1D.非以上答案2、（1）若，则____（2）若，则____（3）若，则3、已知，求的值。4、已知：，求证：。5、（1），当时，求的值.（2）已知，求的值。巩固练习1.计算等于()A.;B.-2;C.;D.2.下列说法中正确的是()A.和一定是互为相反数B.当n为奇数时,和相等C.当n为偶数时,和相等D.和一定不相等3计算（1）。（2）（3）（4）(5)(6)4小明和小刚共同解一道题由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果是小刚漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是。（1）求、的值；（2）计算出正确的结果第2讲整式的除法知识点梳理：（1）同底数幂相除，底数不变，指数相减。（、是正整数，且）（2）任何不等于0的数的0次幂都等于1。（）（3）单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（4）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。经典例题例1．计算（1）（2）（3）（4）(5)(12a3-6a2+3a)÷3a；(6)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y).[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x.(8)例2.已知x=32m+2,y=5+9m,请你用含x的代数式表示y.例3.已知、满足求[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷xy的值例4.（1）已知8m=12,4n=6,求26m-2n+1的值.（2）已知9m·27m-1÷32m的值为27,求m的值.经典练习：1.计算：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3（4）5（2a+b）4÷（2a+b）2 （5）-x9÷(-x)3÷2x2.（6）（7）(15x2y-10xy2)÷5xy（8）(8a2-4ab)÷(-4a)（9）(25x3+15x2-20x)÷(-5x)（10）（11）2.3.一颗人造卫星的速度是一驾喷气飞机的速度是这颗人造地球卫星的速度是这驾喷气式飞机的速度的多少倍？4.已知812x÷92x÷3x=81,求x的值.5.已知，，，求的值。巩固练习：1.计算：（1）（2）（3）（4）（3）（4）（5）（6）(7)(8)(9)(10)（11）（12）2.填空（1）(2)(6a3+4a)÷2a=+=；(3)(12x3-8x2+16x)÷(-4x)=++=.第3讲乘法公式知识点梳理：（1）平方差公式：两个数的和乘这两个数的差，等于这两个数的平方差。即注：平方差公式中的、既可以是数，也可以是代数式（2）完全平方公式：两数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍即：经典例题例1．计算（1）=（2）=（3）=（4）=(5)(6)解：原式=解：原式===（）+例2.先化简，再求值：，其中x=，y=解：原式=当x=，y=时原式=例3.已知求的值。例4.(1)若是完全平方式，求的值等于__________________。(2)若是完全平方式，则M=_______________。（3）多项式加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，请你写出符合条件的这个单项式是________________________．（4）已知，，则________________例5.已知，求的值经典练习：1、选择题（1）下列计算结果是的是（）A．B．C．D．（2）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．B．C．D．（3）下列各式中能用平方差公式计算的是（）,不能用平方差公式的，能否用其他公式,请在横线上写上正确公式的代号.A．可选用公式B．可选用公式C．可选用公式D．可选用公式2、判断下列各题是否正确，并将错误的在“修正意见”栏中改正。原题选择正误修正意见○对○错○对○错○对○错○对○错○对○错○对○错3、计算（直接写出计算结果）：（1）=（2）=（3）=（4）=（5）=（6）=4、计算：（1）（2）解：原式=解：原式=（3）(4)解：原式=解：原式=(5)（6）解：原式=解：原式=（7）(8)解：原式=解：原式=5、利用简便的方法计算(1)(2)1022=（3）提高练习1．计算（a+b）(-a-b）的结果是（）A．a2-b2B．-a2-b2C．a2-2ab+b2D．-a2-2ab-b22．设（3m+2n）2=（3m-2n）2+P，则P的值是（）A．12mnB．24mnC．6mnD．48mn3．若x2-kxy+9y2是一个完全平方式，则k值为（）A．3B．6C．±6D．±814、要使x－６x＋a成为形如（x－b）的完全平方式，则a，b的值（）Ａ.a＝9，b＝9Ｂ.a＝9，b＝3Ｃ.a＝3，b＝3Ｄ.a＝－3，b＝－25、若x＋mx＋4是一个完全平方公式，则m的值为（）Ａ.2Ｂ.2或－2Ｃ.4Ｄ.4或－46、一个长方形的面积为x－y(x>0,y>0)，以它的长边为边长的正方形的面积为（）Ａ.x＋yＢ.x＋y－2xyＣ.x＋y＋2xyＤ.以上都不对7、若（x－y）＋Ｎ＝x＋xy＋y，则Ｎ为（）Ａ.xyＢ.0Ｃ.2xyＤ.3xy8．计算：（-x-y）2=__________；（-2a+5b）2=_________．9．__________=10、观察下列各式：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，……请你把发现的规律用含n（n为正整数）的等式表示为_________.11.计算（1）（a+2b-c）(a-2b-c）（2）（a+b+c）2（3）（a+b）2（a2-2ab+b2）（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）12．已知：a+b=10，ab=20，求下列式子的值：①a2+b2；②（a-b）213．若a2+b2+4a-6b+13=0，试求ab的值．巩固练习1、下列可以用平方差公式计算的是()A、(x－y)(x+y)B、(x－y)(y－x)C、(x－y)(－y+x)D、(x－y)(－x+y)2、下列各式中，运算结果是的是()A、B、C、D、3、若，括号内应填代数式()A、B、C、D、4、等于()A、B、C、D、5、的运算结果是()A、B、C、D、6、运算结果为的是()A、B、C、D、7、已知是一个完全平方式，则N等于()A、8B、±8C、±16D、±328、如果，那么M等于()A、2xyB、－2xyC、4xyD、－4xy9．计算(1)(a+2b-1)2(2)(2x+y+z)(2x-y-z)10、已知a＋b＝5，ab＝－2，求a＋b的值第4讲因式分解知识点梳理：(1)因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算(3)提公因式法分解因式的过程中，找公因式的一般步骤是：首先找各项系数的最大公约数，接着找各项含有的相同字母，相同的字母指数取次数最低的。（4）运用平方差公式分解因式：（5）运用完全平方公式分解因式：，★(6)分组法分解因式的关键是分组之后要有公因式可提归纳点拨:因式分解的一般步骤可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”：经典例题例1．下列由左边到右边的变形，是分解因式吗？为什么？(1)(a+3)(a-3)=a2-9(2)m2-4=(m+2)(m-2)(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)2(4)2mR+2mr=2m(R+r)(5)x2+x=x2(1+)小结：1．分解因式的结果是的形式．2．分解后的每个因式必须是式．3．分解因式必须分解到每个因式都不能再分为止．例2.已知关于x的二次三项式3x2+mx-n=(x+3)(3x-5)，求m、n的值．例3.分解因式（1）9x2-6xy+3xz(2)-10x2y-5xy2+15xy(3)4a2+6ab+2a(4)-8amb3+12am+1b2+16am+2b（5）2x(y+z)-3(y+z)(6)6(x-y)3-9y(x-y)2(7)x(x-y)+y(y-x)(8)x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a)小结：当n为正整数时（x-y)2n=(y-x)2n,(x-y)2n-1=-(y-x)2n-1例4.分解因式（1）16x2-25y2(2)9a2-b2(3)(a+b)2-9(4)9(m+n)2-(m-n)2(5)2x3-8x（6）9x2-12xy2+4y4(7)(x+y)2+4(x+y)+4(8)-6a-a2-9(9)3ax2+6axy+3ay2(10)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2★（11）★（12）例5.已知,求的值.经典练习:1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）（A）（B）(（C）（D）2.下列各式，分解因式正确的是（）A．a3+b2=(a+b)2B．xy+xz+x=x(y+z)C．x2+x3=x3·(+1)D．a2-2ab+b2=(a-b)23．多项式的公因式是（）（A）（B）（C）（D）4、若是一个完全平方式，那么的值是（）（A）10（B）-10（C）（D）5.把下列各式分解因式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)-(7)(8)(9)(10)6.用适当的方法计算：（1）（2）（3）（4）7.在分解因式时时，甲看错了a的值，分解的结果是；乙看错了b的值，分解的结果是。那么分解因式正确的结果是多少？为什么？能力提高1.关于x的多项式6x2-11x+m分解因式后有一个因式是2x-3，试求m的值．2.n为整数，n2+n能被2整除吗？巩固练习1、提公因式法因式分解（1）＝(2)4x2+6xy==（3）＝(4)=___________________（5）=(6)2、利用平方差公式因式分解（1）＝（2）＝（2）＝(4)=________________________(5)=__________________(6)=____________________3、利用完全平方公式因式分解（1）＝（2）=（3）＝（4）＝（5）（6）=_______________4.把下列各式分解因式（1）（a2+4)2-16a2;(2)x3+2x2-9x-18（3）4x3-4x2-9x+9(4)x2-2xy+y2-z25、已知，求的值课题学习十字相乘法分解因式型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？观察=，可知=。这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。下面举例具体说明怎样进行分解因式。例1、因式分解。分析：因为

7x

+

(-8x)=-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。分析：因为

-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）例3、

因式分解。分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。

因为

9y+

10y=19y解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、因式分解。分析：因为

21x+(-18x)=3x解：原式=（2x+3）（7x-9）练习:利用十字相乘法因式分解（1）=（2）=（3）=（4）=(5)8x2+6x－35=(6)4x2+15x+9=(7)18x2－21x+5=(8)20－9y－20y2=(9)2x2+3xy+=(10)2y2+y－6=(11)(12)☆(13)(14)=第6讲因式分解的方法—配方法和拆添项法知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。补充公式：A卷一、填空题1、分解因式：.（拆项法）2、分解因式：.（添项法）3、分解因式：.（添项法）4、（“希望杯”初二试题）分解因式：.5、（天津市竞赛试题）已知，则.6、（“希望杯”初二竞赛试题）已知，（），且，则或.（配方法）二、选择题7、（“五羊杯”竞赛试题）若x是自然数，设，则（）A、y一定是完全平方数B、存在有限个x，使y是完全平方数C、y一定不是完全平方数D、存在无限个x，使y是完全平方数8、若a、b、c满足，则代数式的最大值是（）A、27B、18C、15D、12B卷一、填空题9、（全国联赛）已知，且，则.（配方法）10、整数a、b满足，则.（拆项法）11、正数a、b、c满足，则，，.二、选择题12、（“五羊杯”竞赛试题）a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（）A、若，则B、若，则C、若，则