陕西省西安市新城区2016-2017学年八年级(上)期中数学试卷(含解析)

2016-2017学年陕西省西安市新城区八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．下列实数是无理数的是（）A．﹣1 B．0 C．π D．2．下列各组数是勾股数的是（）A．3，4，5 B．7，8，9 C．9，41，47 D．52，122，1323．满足﹣＜x＜的整数x的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．下列二次根式中的最简二次根式是（）A． B． C． D．5．下列计算正确的是（）A．2×3=6;B．+= C．2﹣=2 D．2÷=6．如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（）A．（﹣5，2） B．（﹣5，﹣2） C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣5）7．8．某商店售货时，在进价基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表所示，则售价y与数量x的函数关系式为（）数量x（千克）1234…售价y（元）8+0.416+0.824+1.232+1.6…A．y=8+0.4x B．y=8x+0.4 C．y=8.4x D．y=8.4x+0.49．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A． B． C． D．二、填空题11．的立方根是．12．比较大小：．13．如图，说出数轴上点A所表示的数是．14．15．如图，Rt△ABO中，∠ABO=90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上．若BD⊥AO于点D，OB=，AB=2，则点A的坐标为，点B的坐标为．16．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运运，若∠AOB=45°，OP=2，则△PMN的周长的最小值为．17．如图：A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=2，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为．三、解答题18．计算（1）×﹣3（2）（+）（﹣）﹣（3）+﹣（4）（3﹣2+）÷2．19．解方程（1）4x2﹣1=0（2）8（x+1）3=﹣27．20．如图，在平面直角坐标系中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．（1）如图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．A1：，B1：，C1：；（3）求△ABC的面积．21．如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．22．23．24．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）（1）求△ABC的面积；（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．（3）有一个P（﹣4，a），使得S△PAB=S△ABC，请你求出a的值．四、附加题25．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB=，PC=；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）

2016-2017学年陕西省西安市新城区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列实数是无理数的是（）A．﹣1 B．0 C．π D．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、是整数，是有理数，故A选项错误；B、是整数，是有理数，故B选项错误；C、是无理数，故C选项正确；D、是分数，是有理数，故D选项错误．故选：C．3．满足﹣＜x＜的整数x的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】估算无理数的大小．【分析】先求出和的范围，即可得出答案．【解答】解：∵1，2＜3，∴﹣2＜﹣＜﹣1，∴满足﹣＜x＜的整数x有﹣1，0，1，2，共4个，故选D．4．下列二次根式中的最简二次根式是（）A． B． C． D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；C、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；故选：A5．下列计算正确的是（）A．2×3=6 B．+= C．2﹣=2 D．2÷=【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、D进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式=6，所以A选项错误；B、与不能合并，所以B选项错误；C、原式=，所以C选项错误；D、原式=，所以D选项正确．故选D．7．8．某商店售货时，在进价基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表所示，则售价y与数量x的函数关系式为（）数量x（千克）1234…售价y（元）8+0.416+0.824+1.232+1.6…A．y=8+0.4x B．y=8x+0.4 C．y=8.4x D．y=8.4x+0.4【考点】函数关系式．【分析】根据数量x与售价y如下表所示所提供的信息，列出售价y与数量x的函数关系式y=（8+0.4）x．【解答】解：依题意得：y=（8+0.4）x=8.4x，故选：C．9．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m【考点】勾股定理的应用．【分析】经分析知：可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的斜边是竹竿的长，设为x米．一条直角边是1.5，另一条直角边是（x﹣0.5）米．根据勾股定理，得：x2=1.52+（x﹣0.5）2，x=2.5．那么河水的深度即可解答．【解答】解：若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，由题意得，x2=1.52+（x﹣0.5）2解之得，x=2.5所以水深2.5﹣0.5=2米．故选A．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A． B． C． D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=，ED=AE，从而求得B′D=1，DF=，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=CE，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FD=90°，∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，∴AC•BC=AB•CE，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=，∴EF=，ED=AE==，∴DF=EF﹣ED=，∴B′F==．故选：B．二、填空题11．的立方根是．【考点】立方根．【分析】直接根据立方根的定义求解．【解答】解：的立方根为．故答案为．12．比较大小：＞．【考点】实数大小比较．【分析】先求出的取值范围为3＜＜4，可得1＜﹣2＜2，再比较分子的大小即可求解．【解答】解：∵3＜＜4，∴1＜﹣2＜2，∴＞．故答案为：＞．13．如图，说出数轴上点A所表示的数是﹣．【考点】实数与数轴．【分析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再根据点A在数轴上的位置即可求解．【解答】解：由勾股定理，得斜边的长为：=，则数轴上点A所表示的数是﹣．故答案为﹣．14．15．如图，Rt△ABO中，∠ABO=90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上．若BD⊥AO于点D，OB=，AB=2，则点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（﹣1，2）．【考点】勾股定理；坐标与图形性质．【分析】根据勾股定理求出AO，即可得出A的坐标，证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标．【解答】解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OB=，AB=2，由勾股定理得：OA==5，即A的坐标是（﹣5，0），∵BD⊥OA，∴∠BDO=∠BAO=90°，∵∠BOD=∠BOD，∴△BDO∽△ABO，∴，∴，解得：OD=1，BD=2，即B的坐标是（﹣1，2），故答案为：（﹣5，0），（﹣1，2）．16．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运运，若∠AOB=45°，OP=2，则△PMN的周长的最小值为4．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=OC=×2=4．故答案是：4．17．如图：A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=2，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为2．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【分析】作点B于直线l的对称点B，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值．【解答】解：作点B于直线l的对称点B′，连AB′并延长交直线l于P．∴B′N=BN=2，∵AM∥B′N，∴=，即=，解得：PN=4，PM=4+4=8，∴PA==4，PB′==2，∴|PA﹣PB|的最大值=2．故答案为：2．19．解方程（1）4x2﹣1=0（2）8（x+1）3=﹣27．【考点】立方根；平方根．【分析】根据平方根与立方根的性质即可求出x的值．【解答】解：（1）x2=x=±（2）（x+1）3=﹣x+1=﹣x=﹣20．如图，在平面直角坐标系中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．（1）如图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）．A1：（﹣3，4），B1：（﹣5，1），C1：（﹣1，2）；（3）求△ABC的面积．【考点】作图﹣轴对称变换．【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点，再连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出各点坐标即可；（3）利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）A1（﹣3，4），B1（﹣5，1），C1（﹣1，2）；故答案为：（﹣3，4）；（﹣5，1）；（﹣1，2）；（3）△ABC的面积：3×4﹣2×2﹣2×3﹣1×4=12﹣2﹣2﹣2=6．21．如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；（2）根据S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．【解答】（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形；（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．22．23．24．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）（1）求△ABC的面积；（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．（3）有一个P（﹣4，a），使得S△PAB=S△ABC，请你求出a的值．【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质；勾股定理．【分析】（1）根据AO=1，BC=6，求得△ABC的面积；（2）设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，根据BD=AD=1+a，∠BOD=90°，可得Rt△BOD中，OD2+OB2=BD2，即a2+22=（a+1）2，进而得出点D坐标；（3）分两种情况进行讨论，点P在第二象限或第三象限内，根据S△PAB=S△ABC，求出a的值．【解答】解：（1）∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴AO=1，BC=6，∴△ABC的面积=×6×1=3；（2）存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形．如图所示，设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，∵BD=AD=1+a，∠BOD=90°，∴Rt△BOD中，OD2+OB2=BD2，∴a2+22=（a+1）2，解得a=，∴D（0，）；（3）在x轴负半轴上取点D（﹣4，0），过D作x轴的垂线l，则点P在该垂线l上，过C作CP∥AB，交l于点P，则S△PAB=S△ABC，∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0），∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，设直线CP解析式为y=﹣x+b，把C（4，0）代入，可得0=﹣2+b，解得b=2，∴直线CP解析式为y=﹣x+2，∴F（0，2），当x=﹣4时，y=2+2=4，∴P（﹣4，4）；当点P'在x轴下方时，设过P'且平行于AB的直线交y轴于E，则AE=AF=3，∴OE=4，即E（0，﹣4），∴直线P'E解析式为y=﹣x﹣4，当x=﹣4时，y=2﹣4=﹣2，∴P'（﹣4，﹣2），∴a的值为4或﹣2．四、附加题25．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB=，PC=2；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为PA2+PB2=PQ2；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）【考点】勾股定理的应用；相似形综合题．【分析】（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；②△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，从而可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC﹣PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP﹣BD）=（PD﹣DC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求