山东省青岛市西海岸新区四中学2025届数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共5页山东省青岛市西海岸新区四中学2025届数学九年级第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x＞5 D．x＞﹣52、（4分）环保部门根据我市一周的检测数据列出下表.这组数据的中位数是A． B． C． D．3、（4分）如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13 B．26 C．47 D．944、（4分）正方形的一个内角度数是A． B． C． D．5、（4分）解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正确的是（）A． B． C． D．6、（4分）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A．a2b+ab2＝ab（a+b） B．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1C．x2+1＝x（x+） D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣97、（4分）一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，它的图象是（）A． B． C． D．8、（4分）在正方形中，是边上一点，若，且点与点不重合，则的长可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知正方形的一条对角线长为cm，则该正方形的边长为__________cm．10、（4分）一组数据3、4、5、5、6、7的方差是．11、（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝______°．12、（4分）如果P（2，m）,A(1,1),B(4,0)三点在同一直线上，则m的值为_________.13、（4分）如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=6，AB=12，则AE的长为_______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱x台（33≤x≤40），那么该商店要获得最大利润应如何进货？15、（8分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接．（1）证明：；（2）当点在何处时，的值最小，并说明理由；（3）当的最小值为时，则正方形的边长为___________．16、（8分）先化简，再求值：，其中x＝．17、（10分）计算：（1）

；（2）18、（10分）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF=3，BE=5，AF平分∠DAB，求平行四边形的面积．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）分解因式：______．20、（4分）如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形写出一个正确的等式：_________.21、（4分）若是完全平方式，则的值是__________.22、（4分）关于x的方程=1的解是正数，则m的取值范围是________

．23、（4分）若是整数，则最小的正整数a的值是_________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上.若点，在线段上，且为某个一边与轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点、的“涵矩形”.下图为点，的“涵矩形”的示意图.（1）点的坐标为.①若点的横坐标为，点与点重合，则点、的“涵矩形”的周长为__________.②若点，的“涵矩形”的周长为，点的坐标为，则点，，中，能够成为点、的“涵矩形”的顶点的是_________.（2）四边形是点、的“涵矩形”，点在的内部，且它是正方形.①当正方形的周长为，点的横坐标为时，求点的坐标.②当正方形的对角线长度为时，连结.直接写出线段的取值范围.25、（10分）如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC=∠BED=90°，求证：边形ABCD是矩形.26、（12分）不解方程组，求的值

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】

解：∵若分式有意义，∴x﹣5≠0，∴x≠5；故选A．2、C【解析】

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.【详解】根据中位数的概念，可知这组数据的中位数为:21故答案选：C本题考查中位数的概念，将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或者最中间两个数的平均数叫做这组数据中位数，如果中位数的概念掌握不好，不把数据按照要求重新排列，就会出错.3、C【解析】解：如图根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，，于是，即故选C．4、D【解析】

正方形的内角和为，正方形内角相等，．【详解】解：根据多边形内角和公式：可得：正方形内角和，正方形四个内角相等正方形一个内角度数．故选：．本题考查了多边形内角和定理、正多边形每个内角都相等的性质应用，是一道基础几何计算题．5、C【解析】

根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【详解】∵x2+4x-1=0，

∴x2+4x+4=5，

∴（x+2）2=5，

故选：C．此题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法．6、A【解析】

根据因式分解的格式要求及提公因式法和公式法进行求解，并逐一判断即可得解．【详解】A.，故此选项正确；B.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项错误；C.没把一个多项式转化成几个整式积的形式（含有分式），不是因式分解，故此选项错误；D.是整式的乘法，不是因式分解，故此选项错误；故选：A．本题主要考查了因式分解的相关概念，熟练掌握因式分解的格式及公式法与提公因式法进行因式分解的方法是解决本题的关键．7、C【解析】试题解析：根据题意，有k＞0，b＜0，则其图象过一、三、四象限；故选C．8、B【解析】

且根据E为BC边上一点（E与点B不重合），可得当E与点C重合时AE最长，求出AC即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=3，AC=，又∵E为BC边上一点，E与点B不重合，∴当E与点C重合时AE最长，则3＜AE≤，故选：B.本题考查全正方形的性质和勾股定理，求出当E与点C重合时AE最长是解题的关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、【解析】

根据正方形性质可知：正方形的一条角平分线即为对角线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可得正方形的周长.【详解】解：∵正方形的对角线长为2,设正方形的边长为x,∴2x²=(2)²解得：x=2∴正方形的边长为：2故答案为2.本题考查了正方形的性质，解题的关键是明确正方形的对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形.10、【解析】

首先求出平均数，然后根据方差的计算法则求出方差．【详解】解:

平均数

=（3+4+5+5+6+7）÷6=5

数据的方差

S2=［（3-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（7-5）2］=

故答案为

.11、【解析】

由已知条件可先求得，在Rt△ABE中可求得，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得，即可求得结果；【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴，OA=OB，∵∠EAD＝3∠BAE，∴，∴，∵AE⊥BD，∴，∴，．故答案是．本题主要考查了利用矩形的性质求角度，准确利用已知条件是解题的关键．12、【解析】设直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，∵A(1,1)，B(4,0)，，解之得，∴直线AB的解析式为，∵P(2,m)在直线上，.13、8.4.【解析】

过点C作CG⊥AB的延长线于点G，设AE=x，由于▱ABCD沿EF对折可得出AE=CE=x,再求出∠BCG=30°，BG=BC=3,由勾股定理得到，则EG=EB+BG=12-x+3=15-x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．【详解】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，

∵▱ABCD沿EF对折，∴AE=CE设AE=x，则CE=x，EB=12-x，∵AD=6，∠A=60°，∴BC=6,∠CBG=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=BC=3，在△BCG中，由勾股定理可得：∴EG=EB+BG=12-x+3=15-x在△CEG中，由勾股定理可得：解得：故答案为：8.4本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）每台电冰箱的进价2000元，每台空调的进价1600元．（2）此时应购进电冰箱33台，则购进空调67台．【解析】试题分析：（1）设每台电冰箱的进价m元，每台空调的进价（m﹣400）元，根据：“用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等”列分式方程求解可得；（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100﹣x）台，根据：总利润=冰箱每台利润×冰箱数量+空调每台利润×空调数量，列出函数解析式，结合x的范围和一次函数的性质可知最值情况．解：（1）设每台电冰箱的进价m元，每台空调的进价（m﹣400）元依题意得，，解得：m=2000，经检验，m=2000是原分式方程的解，∴m=2000；∴每台电冰箱的进价2000元，每台空调的进价1600元．（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100﹣x）台，根据题意得，总利润W=100x+150（100﹣x）=﹣50x+15000，∵﹣50＜0，∴W随x的增大而减小，∵33≤x≤40，∴当x=33时，W有最大值，即此时应购进电冰箱33台，则购进空调67台．15、（1）见解析；（2）当点位于与的交点处时，的值最小，理由见解析；（3）．【解析】

(1)

由题意得MB=NB，∠ABN=15°，

所以∠EBN=45°，

容易证出△AMB≌△ENB；

(2)根据"两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；

(3)过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，

设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为.【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，∵，∴，即．又∵，∴；（2）如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小．理由如下：连接，由（1）知，，∴．∵，∴是等边三角形，∴．∴根据“两点之间线段最短”，得最短．当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．（3）正方形的边长为边．过点作交的延长线于，∴．设正方形的边长为，则，．在中，∵，∴，解得，（舍去负值）．∴正方形的边长为．此题是四边形的综合题，考查里正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，最短路径问题，解题中注意综合各知识点.16、，.【解析】

根据分式的运算法则把所给的分式化为最简，再将x的值代入计算即可求值.【详解】===当x＝时，原式=.本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则把所给的分式化为最简是解决问题的关键.17、（1）10；（2）【解析】

根据二次根式的混合运算法则进行计算，即可解答.【详解】（1）原式=；（2）==；此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.18、（1）见解析；（2）32【解析】

（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠FAB＝∠DFA，∴∠DFA＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，在Rt△ADE中，DE＝，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4×8＝32，考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】

根据因式分解的定义:将多项式和的形式转化为整式乘积的形式;先提公因式,再套用完全平方公式即可求解.【详解】,=,=,故答案为:.本题主要考查因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.20、【解析】由图可得，正方形ABCD的面积=，正方形ABCD的面积=，∴.故答案为：.21、【解析】

根据完全平方公式即可求解.【详解】∵是完全平方式，故k=此题主要考查完全平方式，解题的关键是熟知完全平方公式的特点.22、m＜﹣2且m≠﹣1【解析】

首先根据=1，可得x=-m-2；然后根据关于x的方程=1的解是正数，求出m的取值范围即可．【详解】∵=1，∴x=-m-2，∵关于x的方程=1的解是正数，∴-m-2＞0，解得m＜-2，又∵x=-m-2≠2，∴m≠-1，∴m的取值范围是：m＜-2且m≠-1．故答案为：m＜-2且m≠-1．此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．23、1．【解析】

由于41a=1×3×3×a，要使其为整数，则必能被开得尽方，所以满足条件的最小正整数a为1．【详解】解：41a=1×3×3×a，若为整数，则必能被开方，所以满足条件的最小正整数a为1．故答案为：1．本题考查二次根式的化简．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）①．②；（2）①点的坐标为或．②．【解析】

(1)①利用A、B的坐标求出直线AB的解析式，再将P点横坐标代入，计算即可得点、的“新矩形”的周长；②由直线AB的解析式判定是否经过E、F、G三点，发现只经过了F（1，2），能够成为点、的“涵矩形”的顶点的是F（1，2）（2）①①根据正方形的性质可得出∠ABO=45°，结合点A的坐标可得出点B的坐标及直线AB的函数表达式，由的横坐标为，可得出点P的坐标，再由正方形的周长可得出点Q的坐标，进而可得出点Q的坐标；②由正方形的对角线长度为，可得正方形的边长为1，由直线AB的解析式y=-x+6可知M点的运动轨迹是直线y=-x+5，由点在的内部，x的取值范围是0<x<5,OM＜5，OM最小值是由O向直线y=-x+5作垂线段，此时OM=，可得OM的取值范围.【详解】（1）①解：由A(0,6),B(3，0)可得直线AB的解析式为：y=-2x+6，∵P点横坐标是∴当x=时，y=3∴P（，3）．∵点与点重合，∴Q（3，0）∴点、的“涵矩形”的宽为：3-=，长为3-0=3∴点、的“涵矩形”的周长为：故答案为9②．由①可得直线AB的解析式为：y=-2x+6可设Q(a,-2a+6),则成为点、的“涵矩形”的顶点且在AOB内部的一点坐标为M（1，-2a+6）∴PM=4-(-2a+6)=2a-2，MQ=a-1∵点，的“涵矩形”的周长为∴PM+MQ=3∴2a-2+a-1=3解得：a=2∴M