【复变函数】第二章-解析函数(工科2版)

§1解析函数的概念§2解析函数的充要条件§3初等函数第二章解析函数目录上页下页返回结束§1

解析函数的概念1.导数的定义：一.复变函数的导数与微分设w=f(z)在D上有定义,若极限存在，则称w=f(x)在z0处可导.记为第一次课目录上页下页返回结束【例1】设解:目录上页下页返回结束【例2】证明在任意点处不可导证明:平行于x轴平行于y轴目录上页下页返回结束与一元函数一样因此可导与可微是等价的.可导必定连续，连续不一定可导.(1).可导与连续(2).可微与可导(3).求导法则与一元函数一样.2.连续、可导、可微的关系目录上页下页返回结束解析函数（全纯函数、正则函数）.解析可导可导解析二.解析函数的概念1.定义：(1).定义1：若

f(z)在z0及z0的邻域内处处可导.则称f(z)在z0处解析.f(z)在z0处f(z)在D

内解析可导(2).定义2：若

f(z)在D内处处解析，则称f(z)是D内的目录上页下页返回结束(3).定义3:若

f(z)在z0处不可导,则称z0为f(z)的奇点.注：使f(z)无意义的奇点,是奇点.解析函数的和、差、积、商及复合函数2.定理：在解析区间内仍解析目录上页下页返回结束解：f(z)在复平面上处处不可导,处处不解析除

z=0外处处可导,处处解析.【例3】讨论下列函数的解析性,可导性.解：f(z)在复平面上处处可导,处处解析解：解：除

z=1外处处可导,处处解析.目录上页下页返回结束解:(1)【例4】证明f(z)=|z|2

在z=0处可导，但不解析.∴

f(z)在z=0处可导.目录上页下页返回结束解:(2)【例4】证明f(z)=|z|2

在z=0处可导，但不解析.∴

f(z)除z=0外处处不可导,故处处不解析.平行于x轴平行于y轴目录上页下页返回结束§2

解析函数的充要条件一.预备定理（必要条件）在区域D内有定义,且在且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件：点z处可导,则目录上页下页返回结束二.解析函数的充要条件在区域D内有定义,则在z=(x,y)处可微，且满足C-R条件.f(z)在D内一点z处可导的充要条件是u(x,y),v(x,y),1.定理1：目录上页下页返回结束在区域D内有定义,则可微，且满足C-R条件.f(z)在D内解析的充要条件是u(x,y),v(x,y),在D内2.定理2：目录上页下页返回结束解:【例5】判断下列函数的可导性,解析性,并求导数.由C-R条件,x=0,y=0,所以在z=0处可导,处处不解析.目录上页下页返回结束解:∴

f(z)只在(0,0),(3/4,3/4)

处可导,所以处处不解析.目录上页下页返回结束解:方法一:除(0,0)外处处可导,所以除(0,0)外处处解析.目录上页下页返回结束解:方法二:除(0,0)外处处可导,所以除(0,0)外处处解析.目录上页下页返回结束Proof:由导数的计算公式【例6】若f'(x)在D内处处为0,则f(x)在D内为一个常数.∴所以u,v为常数；由f(x)=u+iv，所以f(x)为常数；目录上页下页返回结束【作业】P66

2(1,3);3(1,3);4(1); 8;10(1)目录上页下页返回结束§2

初等函数1.

函数形式：一.指数函数第二次课目录上页下页返回结束2.

运算性质：Proof:目录上页下页返回结束指数函数ez是一个周期函数,周期为2kπi,最小周期为2πi.目录上页下页返回结束(3)在整个复平面上满足C-R条件；且是解析函数.Proof:因为所以在整个复平面上满足C-R条件,从而是解析函数.目录上页下页返回结束解:【例7】求目录上页下页返回结束二.对数函数1.

定义:满足z=e

w的函数w=f(z)称为对数函数.2.

函数形式：因为:目录上页下页返回结束3.

总结:除了原点及负实轴外处处解析.对数函数Lnz是一个多值函数(无穷多个值),Lnz主值:除原点外处处解析；在原点和负实轴上都不连续，在原点和负实轴上都不连续，所以除了原点及负实轴外处处解析.目录上页下页返回结束解:【例8】求【例9】求e

z-2=0的解.解:由目录上页下页返回结束4.

性质:目录上页下页返回结束三.

幂函数1.定义:设α是一个复数,z≠0,特别:当α∈R+时,规定当z=0时zα=0.定义z的α次幂函数为幂函数是一个指数函数与对数函数的复合函数，是一个多值函数.目录上页下页返回结束2.函数表达式：其中主值为目录上页下页返回结束【例10】求i

i的主值,

的值.解:i

i的主值3.性质:目录上页下页返回结束(1)对数函数一般而言是一个多值函数.因此:对同一z≠0,w=zα

的不同数值的个数,

等于不同数值的因子eα2kπi

的个数

.由于目录上页下页返回结束①当α∈N

时,设α=m,所以是单值函数.幂的公式目录上页下页返回结束②当α=1/n,n∈N

+时,求根公式所以是

n个值的函数.目录上页下页返回结束③当α=m/n,m∈N,n∈N

+时,(α是有理数)所以是

n个值的函数.③当α是无理数或虚数时,zα是无穷多值的.目录上页下页返回结束(2)解析性①当α=n∈N

时,单值，解析函数；②当α≠n∈N

时,多值，除了原点及负实数外处处解析.③目录上页下页返回结束引入:对有对所有的复数z,定义正弦函数余弦函数四.三角函数1.

定义及函数形式：2.

性质：(1)sinz,cosz

单值，且处处解析.目录上页下页返回结束(2)sin(-z)=-sinz

,是奇函数；cos(-z)=cosz

,是偶函数.(3)sinz,cosz

都是以2π为周期的周期函数.(4)sinz,cosz

都是无界函数.(5)sinz

只在z=kπ处为0;cosz

只在z=kπ

+π/2处为0.目录上页下页返回结束(6)实的三角函数中的一些公式，如两角和、诱导公式，导数公式，…，等都适用于复变函数.例如：目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束解:【例11】求cosi,sin(1+2i)值.目录上页下页返回结束【例12】求sinz+cosz

=0的全部解.解:目录上页下页返