《复变函数》第5章

复变函数（第四版）

第五章留数§1孤立奇点§2留数§3留数在定积分计算上的应用*§4对数留数与辐角原理10/30/20241《复变函数》(第四版)第五章§1孤立奇点1.定义例：

如果函数f(z)在zo处不解析,但在zo的某一去心邻域0<|z－zo|<δ处处解析,则称zo为函数f(z)的孤立奇点.但一系列奇点的极限点(聚点)10/30/20242《复变函数》(第四版)第五章2.孤立奇点的分类和判定法若zo为f(z)的孤立奇点,则必存在δ>0,使得f(z)于圆环0<|z－zo|<δ内解析,从而可展成洛朗级数.z0为f(z)的可去奇点Δ(不含负幂项)z0为f(z)的m级极点Δ(c－m≠0)10/30/20243《复变函数》(第四版)第五章例:z0为f(z)的本性奇点Δ(

)中含无穷多个(z－z0)的负幂项10/30/20244《复变函数》(第四版)第五章∴

z=0分别是(1)(2)本性奇点.zo为f(z)的可去奇点相当于实函可去间断点

f(z)在zo点的某去心邻域内有界.zo为f(z)的极点相当于无穷间断点zo为f(z)的m级极点其中g(z)在z0的邻域内解析,且g(z0)≠010/30/20245《复变函数》(第四版)第五章例:(3)z=1是三级极点,z=±i是一级极点z0为f(z)的本性奇点z0附近性质复杂,实函不可比(对任意复数A,总可以找到一个趋向于zo的数列,当z

沿这个数列趋于zo时，f(z)的值趋于A

).用极限来判别奇点的类型时,若碰到型极限,可用洛必达法则求.维尔斯特拉斯Th10/30/20246《复变函数》(第四版)第五章3.函数的零点与极点的关系例:m为正整数，g(z)在zo点解析,且g(zo)≠0.Δ10/30/20247《复变函数》(第四版)第五章定理:证:10/30/20248《复变函数》(第四版)第五章例1:解:指出它的级.10/30/20249《复变函数》(第四版)第五章一般:例:10/30/202410《复变函数》(第四版)第五章4.函数在无穷远点的性态作变换规定：∞为f(z)的孤立奇点在扩充的复平面上,Δ

f(z)在z=∞的去心邻域

R<|z|<+∞内解析(R>0)对z=∞的讨论t=0的讨论.10/30/202411《复变函数》(第四版)第五章∵(1)

z=∞为f(z)的可去奇点10/30/202412《复变函数》(第四版)第五章(2)∞是f(z)的极点(3)∞是f(z)的本性奇点∞是f(z)的m级极点∞是f(z)的m级极点10/30/202413《复变函数》(第四版)第五章例(P152):10/30/202414《复变函数》(第四版)第五章例2:解:对z=2,什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.而10/30/202415《复变函数》(第四版)第五章∴z=2是f(z)的可去奇点.对于z=∞,z=∞不是f(z)的孤立奇点.从而10/30/202416《复变函数》(第四版)第五章总之,判别奇点类型方法:奇点孤立奇点非孤立奇点可去奇点极点本性奇点1.

定义:展成洛朗级数2.

求极限3.

极点与零点的关系(不恒等于0的解析函数的零点是孤立的)10/30/202417《复变函数》(第四版)第五章§2留数1.留数的定义如果函数f(z)于简单闭曲线C

上及其内部解析,则据柯西定理.有但是,如果C

内含有f(z)的孤立奇点zo,则10/30/202418《复变函数》(第四版)第五章将f(z)作洛朗展开:则由此可见:在zo

点的邻域内,c–1

是个特别值得注意的数,是上述逐项积分中唯一残留下来的系数.10/30/202419《复变函数》(第四版)第五章由上知2.留数定理Th1(留数定理

):c–1

为f(z)在zo

点的留数(residue

残数)设函数f(z)在区域D

内除有限个孤立奇点z1,z2,…,zn

外处处解析,C

是D

内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线.10/30/202420《复变函数》(第四版)第五章由柯西

Th

极容易得到因此,以上的留数Th.更确切地说,留数Th

是柯西Th的一个直接应用.它把计算封闭曲线积分的整体问题,化为计算各孤立奇点处的留数的局部问题.即利用留数计算积分.有必要专门研究留数的计算.10/30/202421《复变函数》(第四版)第五章3.留数的计算(有限远奇点)

基本算法:(1)(2)=c–1C

是zo

某去心邻域内一条简单正向闭曲线.(当z0

是f(z)的本性奇点或孤立奇点类型不清楚时,只能用这一方法求)zo是f(z)的可去奇点.zo是f(z)的本性奇点.

f(z)展成洛朗级数10/30/202422《复变函数》(第四版)第五章(3)(Ⅰ)证明:zo是f(z)的极点.有下面的计算规则:如果zo是f(z)的一级极点.则[]10/30/202423《复变函数》(第四版)第五章(Ⅱ)如果zo为f(z)的m级极点.则证:转下页↓10/30/202424《复变函数》(第四版)第五章则:10/30/202425《复变函数》(第四版)第五章(Ⅲ)证:如果zo是f(z)的一级极点.且都在zo点解析.10/30/202426《复变函数》(第四版)第五章特别地:例:解:

方法一.一级极点二级极点

z=0是的n+1级极点.=10/30/202427《复变函数》(第四版)第五章方法二:方法三:在原点的洛朗展式中z的负一次幂的系数,也即ez

的展式中zn

的系数.∴10/30/202428《复变函数》(第四版)第五章例1:计算积分解:(用规则Ⅰ求)C为正向圆周:|z|=2.的两个一级极点z=±1均在|z|=2内.∴∴10/30/202429《复变函数》(第四版)第五章(用规则Ⅱ求)直接求积分:(较规则Ⅰ简单)∴10/30/202430《复变函数》(第四版)第五章补例1:

计算积分解:(n为正整数)为一级极点.∴10/30/202431《复变函数》(第四版)第五章补例2:

计算解：z

=0为的三级极点,且在|z|=1内.10/30/202432《复变函数》(第四版)第五章P158

例2:计算积分解：被积函数四个一级极点±1，±i均在C内。由规则Ⅲ10/30/202433《复变函数》(第四版)第五章例3:计算积分解：z=0为被积函数的一级极点，z=1为二级极点，均在C内。10/30/202434《复变函数》(第四版)第五章例:Q(z)的六级零点.∵

z=0是P(z)的三级零点.∴

z=0是f(z)的三级极点.较繁注:在用规则Ⅱ

时,有时将m

取得比实际的级数高可使计算简便.10/30/202435《复变函数》(第四版)第五章将

m

取作6.则利用洛朗展开式求c–1也较方便.10/30/202436《复变函数》(第四版)第五章4.关于无穷远点的留数定义:C

为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线.即10/30/202437《复变函数》(第四版)第五章注:例如:规则Ⅳ:若∞为f(z)的可去奇点,则不一定等于0.(这与有限远孤立奇点不同)∞是它的可去奇点,但(∵c–1=1)例:10/30/202438《复变函数》(第四版)第五章定理2：如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么f(z)在所有奇点(包括∞点)的留数的总和必等于零.=0(C包含了所有有限奇点

zk,k=1,2,…,n

)10/30/202439《复变函数》(第四版)第五章例4.(P162)计算积分解:由定理2及规则Ⅳ:C为正向圆周:|z|=2.(上一段例2)在|z|=2的外部,除∞点外没有其他奇点.=010/30/202440《复变函数》(第四版)第五章例5.计算积分解:∴C

为正向圆周|z|=2.被积函数的奇点:–i,1,3,∞.其中–i,1在|z|=2内部.10/30/202441《复变函数》(第四版)第五章而：∴原积分=010/30/202442《复变函数》(第四版)第五章例:(作业题11)解:若直接求.需通过洛朗展式求,涉及幂级数除法.不易求.10/30/202443《复变函数》(第四版)第五章利用定理2.10/30/202444《复变函数》(第四版)第五章利用留数计算积分步骤:(1)(2)求出被积函数f(z)在积分路径C内的有限个孤立奇点

zk

(k=1,2,……,n)判别奇点类型,计算出奇点处的留数.当被积函数f(z)的奇点个数较多或极点的级数较高时,留数的计算较烦,可改成计算无穷远点的留数.10/30/202445《复变函数》(第四版)第五章§3留数在定积分计算上的应用1.形如令留数计算定积分.关键:定积分(添f(x)的路径)沿闭曲线的积分(围线积分)10/30/202446《复变函数》(第四版)第五章当因此10/30/202447《复变函数》(第四版)第五章例1:计算解:令10/30/202448《复变函数》(第四版)第五章∴而在|z|=1内被积函数f(z)有一个二级极点z=0,一个一级极点z=p.10/30/202449《复变函数》(第四版)第五章续上页10/30/202450《复变函数》(第四版)第五章补例:解:先变形.10/30/202451《复变函数》(第四版)第五章令∴10/30/202452《复变函数》(第四版)第五章被积函数的分母有两个根由留数定理其中z1

在|z|=1内.10/30/202453《复变函数》(第四版)第五章思考:解:(偶函数)(周期函数)10/30/202454《复变函数》(第四版)第五章2.形如∵

R(x)是x的有理函数,分母的次数至少比分子的次数高两次,同时要求R(z)在实轴上无奇点.(此时积分一定存在).

取R(z)为被积函数,取积分线路为以原点为圆心,位于上半平面上以R为半径的上半圆周CR与实轴上区间[–R,R]构成的正向闭曲线(R(z)的极点均在其内).R-RCR10/30/202455《复变函数》(第四版)第五章故其中特别,(

如在下半平面计算:)若R(x)为偶函数,有10/30/202456《复变函数》(第四版)第五章例2:

计算积分解:被积函数R(x)分母的次数比分子的次数大2.R(z)在实轴上无孤立奇点,积分存在.10/30/202457《复变函数》(第四版)第五章续上页10/30/202458《复变函数》(第四版)第五章补例:解:被积函数R(x)为偶函数.R(z)在上半平面有两个一级极点10/30/202459《复变函数》(第四版)第五章∴10/30/202460《复变函数》(第四版)第五章3.形如处理方法与2.

一样特别:1.2.

的混合型这里R(x)是x的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(x)在实轴上没有孤立奇点.(此时积分存在)得:10/30/202461《复变函数》(第四版)第五章例3.解:10/30/202462《复变函数》(第四版)第五章4.积分路径上有奇点的积分.例4.解:若被积函数中R(z)在实轴上有奇点,适当选取路径,使积分路线绕开奇点.(与例3

类似)如图选择积分路径,由柯西—古萨基本定理10/30/202463《复变函数》(第四版)第五章令即只需求出极限10/30/202464《复变函数》(第四版)第五章由于又因.10/30/202465《复变函数》(第四版)第五章因而从而有即:且在r充分小时综上:(这个积分在研究阻尼振动中有用)由于而10/30/202466《复变函数》(第四版)第五章解法二.取积分路径:则另一方面RcR–R–rrcrO10/30/202467《复变函数》(第四版)第五章与解法一类似可得∴从而P185习题14积分路径RcR–R–rrcrO10/30/202468《复变函数》(第四版)第五章例5.证明证:如图，即10/30/202469《复变函数》(第四版)第五章而∴上式为:或10/30/202470《复变函数》(第四版)第五章当R→∞时,上式右端的第一个积分为而第二个积分的绝对值10/30/202471《复变函数》(第四版)第五章由此可知,∴当R→∞时第二个积分趋于零,从而有(菲涅耳Fresnel积分,光学中有用)10/30/202472《复变函数》(第四版)第五章利用留数计算定积分应注意哪些问题?首先,由于留数是与求封闭曲线C上的复积分相联系的,而定积分的积分区间是实轴或实轴上的线段,定积分的被积函数是实函数,因此必须改造区间和函数以适应留数定义和定理要求.要拓展定积分的积分区间为简单闭曲线,这可以用代换或添加辅助线路或辅以极限概念来实现.10/30/202473《复变函数》(第四版)第五章其次,最后,定积分的被积函数必须转变为某个解析函数(或仅有有限个孤立奇点).要准确求出积分线路C内的奇点,以利于计算留数:对于在实轴上存在孤立奇点的情形,还需要对积分线路进行适当的变化.10/30/202474《复变函数》(第四版)第五章*§4对数留数与辐角原理1.对数留数留数的重要应用之一是计算积分─

f(z)关于曲线C的对数留数

[lnf(z)]´f(z)的对数留数10/30/202475《复变函数》(第四版)第五章留数有如下计算规则:引理1).2).若

f(z)在z=zo

的邻域内解析,zo为f(z)的n级零点,则

zo为的1级若

z=zo

是f(z)的m

级极点,则z=zo极点,且有10/30/202476《复变函数》(第四版)第五章证:

1).于是:且若

zo

是f(z)的n

级零点,则在zo

点邻域内有f(z)=(z–zo)n

g(z),g(z)在zo点邻域内解析,且g(zo)≠0.由于在zo点邻域内解析,故zo必为的一级极点,10/30/202477《复变函数》(第四版)第五章2).于是:故若zo为f(z)的m

级极点,则在zo的去心邻域内,有h(z)在zo点邻域内解析,且h(z0)≠0.z=zo是的一级极点,且10/30/202478《复变函数》(第四版)第五章Th1.(对数留数定理)其中:如果

f(z)在简单闭曲线C上解析且不为0.在C的内部除去有限个极点以外也处处解析,那么:N

为f(z)在C内零点的总个数,P为f(z)在C内极点的总个数,且C取正向,在计算零点与极点的个数时,m

级的零点或极点算作m

个零点或极点.10/30/202479《复变函数》(第四版)第五章证:例:由留数定理及前面的引理可得.利用公式计算积分.10/30/202480《复变函数》(第四版)第五章解:

1)2)f(z)在|z|<4内有二个一级零点:1,–3.无极点。所以N=2,P=0.10/30/202481《复变函数》(第四版)第五章2.辐角原理考虑对数留数的几何意义.z:沿C正向绕行一周,w=f(z)画出连续封闭曲线Γ.（教材P174图5-5）[当z沿C的正向绕行一周Lnf(z)的改变量]10/30/202482《复变函数》(第四版)第五章对数留数的几何意义是Γ绕原点的回转次数.(z沿C正向绕一周时)分子一定2π的整数倍±2kπ，其中k为w

沿Γ围绕原点的圈数，逆时针围绕时取正号。即:[当z沿C的正向绕行一周ln|f(z)|的改变量＋iArgf(z)的改变量]=010/30/202483《复变函数》(第四版)第五章于是:因此公式可计算f(z)在C

内零点的个数,这个结果称为辐角原理.若f(z)在C

内解析,P=0,此时(零点的个数)10/30/202484《复变函数》(第四版)第五章Th2

(辐角原理):如果f(z)在简单闭曲线C上与C内解析,且在C上不等于零,那么f(z)在C内零点的个数等于乘以当z

沿C的正向绕行一周f(z)的辐角的改变量.10/30/202485《复变函数》(第四版)第五章3.

(路西定理)

(证明)Rouché设f(z)与g(z)在简单闭曲线C上和C内解析,且在C上满足|f(z)|>|g