2024八年级数学上册第12章整式的乘除练素养2.因式分解的八种常见应用习题课件新版华东师大版

华师版八年级上第12章整式的乘除集训课堂练素养2.因式分解的八种常见应用

因式分解是整式恒等变换的重要组成部分，它与整式的

乘法互逆，是代数式恒等变形的重要手段，在有理数的计

算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用.应用1简便计算1.

[母题·教材P48复习题T4]利用因式分解计算：(1)1012＋492＋101×98；【解】原式＝1012＋2×101×49＋492＝(101＋49)2＝1502＝22

500.1234567891011(2)8002－1

600×798＋7982.【解】原式＝(800－798)2＝22＝4.1234567891011应用2化简求值2.

[新考法·整体带入法2023十堰]若

x

＋

y

＝3，

xy

＝2，则

x2

y

＋

xy2的值是

⁠.6

1234567891011

(2)已知

x

－

y

＝1，

xy

＝2，求

x3

y

－2

x2

y2＋

xy3的值.【解】原式＝

xy

(

x2－2

xy

＋

y2)＝

xy

(

x

－

y

)2.当

x

－

y

＝1，

xy

＝2时，原式＝2×12＝2.3.

[母题·教材P49复习题T12]1234567891011应用3判断整除4.

[2023·河北]若

k

为任意整数，则(2

k

＋3)2－4

k2的值总能

(

B

)A.

被2整除B.

被3整除C.

被5整除D.

被7整除【点拨】(2

k

＋3)2－4

k2＝4

k2＋12

k

＋9－4

k2＝12

k

＋9＝3(4

k

＋3).因为

k

为任意整数，所以(2

k

＋3)2－4

k2的值总能被3

整除.故选B.

B12345678910115.

当

n

为整数时，(

n

＋1)2－(

n

－1)2能被4整除吗？请说明

理由.【解】能被4整除.理由如下：因为(

n

＋1)2－(

n

－1)2＝(

n

＋1＋

n

－1)(

n

＋1－

n

＋1)＝4

n

，所以当

n

为整数时，(

n

＋1)2－(

n

－1)2能被4整除.12345678910116.

[新考法·阅读类比法]先阅读材料，再解答问题.材料：因为(

x

－2)(

x

＋3)＝

x2＋

x

－6，所以(

x2＋

x

－6)÷(

x

－2)＝

x

＋3，即

x2＋

x

－6能被

x

－2整除.所以

x

－2是

x2＋

x

－6的一个因式，且当

x

＝2时，

x2＋

x

－6＝0.1234567891011(1)[类比思考](

x

＋2)(

x

＋3)＝

x2＋5

x

＋6，所以

x2＋5

x

＋6能被

整除，所以

⁠

是

x2＋5

x

＋6的一个因式，且当

x

＝

时，

x2＋5

x

＋6＝0；x

＋2或

x

＋3

x

＋2或

x

＋3

－2或－3

1234567891011(2)[拓展探究]根据以上材料，已知多项式

x2＋

mx

－14能

被

x

＋2整除，试求

m

的值.【解】因为

x2＋

mx

－14能被

x

＋2整除，所以当

x

＝－2时，

x2＋

mx

－14＝0，即(－2)2＋

m

×(－2)－14＝0，解得

m

＝－5.1234567891011应用4判断正负7.

若

a

，

b

，

c

为三角形的三边长，试说明：(

a2＋

b2－

c2)2

－4

a2

b2的值一定为负.【解】(

a2＋

b2－

c2)2－4

a2

b2＝(

a2＋

b2－

c2)2－(2

ab

)2＝(

a2＋

b2－

c2＋2

ab

)(

a2＋

b2－

c2－2

ab

)＝[(

a

＋

b

)2－

c2][(

a

－

b

)2－

c2]＝(

a

＋

b

＋

c

)(

a

＋

b

－

c

)(

a

－

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

).1234567891011因为

a

，

b

，

c

为三角形的三边长，所以

a

＋

b

＋

c

＞0，

a

＋

b

－

c

＞0，

a

－

b

＋

c

＞0，

a

－

b

－

c

＜0.所以(

a

＋

b

＋

c

)(

a

＋

b

－

c

)(

a

－

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

)＜0，即(

a2＋

b2－

c2)2－4

a2

b2＜0，故(

a2＋

b2－

c2)2－4

a2

b2的值一定为负.1234567891011应用5比较大小8.

[新考法·作差法]已知

P

＝2

x2＋4

y

＋13，

Q

＝

x2－

y2＋6

x

－1，比较

P

，

Q

的大小.【解】

P

－

Q

＝(2

x2＋4

y

＋13)－(

x2－

y2＋6

x

－1)＝

x2－

6

x

＋

y2＋4

y

＋14＝(

x

－3)2＋(

y

＋2)2＋1.因为(

x

－3)2≥0，(

y

＋2)2≥0，所以

P

－

Q

＝(

x

－3)2＋(

y

＋2)2＋1≥1.所以

P

＞

Q

.

1234567891011应用6判断三角形的形状9.

[2024·清华附中期中]已知

a

，

b

，

c

是△

ABC

的三边长，

且

a

，

b

，

c

满足

a2＋2

b2＋

c2－2

ab

－2

bc

＝0，请判断△

ABC

的形状.1234567891011【解】△

ABC

是等边三角形，理由如下：∵

a2＋2

b2＋

c2－2

ab

－2

bc

＝0，∴

a2－2

ab

＋

b2＋

c2－2

bc

＋

b2＝0.∴(

a

－

b

)2＋(

c

－

b

)2＝0.∴

a

－

b

＝0，

c

－

b

＝0.∴

a

＝

b

＝

c

.∴△

ABC

是等边三角形.1234567891011

1234567891011(1)用配方法因式分解：

x2＋2

x

－8；【解】

x2＋2

x

－8＝

x2＋2

x

＋1－1－8＝(

x

＋1)2－9＝

(

x

＋1＋3)(

x

＋1－3)＝(

x

＋4)(

x

－2).1234567891011(2)求多项式

x2＋4

x

－3的最小值；

1234567891011【解】因为

a2＋

b2＋

c2＋50＝6

a

＋8

b

＋10

c

，所以

a2＋

b2＋

c2＋50－6

a

－8

b

－10

c

＝0.所以

a2－6

a

＋9＋

b2－8

b

＋16＋

c2－10

c

＋25－9－16

－25＋50＝0.所以(

a

－3)2＋(

b

－4)2＋(

c

－5)2＝0.所以

a

－3＝0，

b

－4＝0，

c

－5＝0.所以

a

＝3，

b

＝4，

c

＝5.因为3＋4＋5＝12，所以△

ABC

的周长为12.(3)已知

a

，

b

，

c

是△

ABC

的三边长，且满足

a2＋

b2＋

c2＋50＝6

a

＋8

b

＋10

c

，求△

ABC

的周长.1234567891011应用8探究规律11.

[2023·嘉兴]观察下面的等式：32－12＝8×1，52－32＝

8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，…，(1)写出192－172的结果；【解】192－172＝8×9.(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论；(用含

n

的等