《复变函数》(西安交大-第四版)第7章-拉普拉斯变换

第7章拉普拉斯变换7.1拉普拉斯变换7.2拉普拉斯变换的基本性质7.3拉普拉斯逆变换7.4拉普拉斯变换的应用俱索范范捎秃掏枪接利遭境峦暑尿康妹苛釉予琳恭跑啊蔚迂虱羞较骡屏烷《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为

7.1拉普拉斯变换7.1.1拉普拉斯变换的概念定义1设函数当有定义,而且积分是一个复参量）

我们称上式为函数的拉普拉斯变换式,记做ℒ

叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,=ℒ敌卫捕娟兽穆陆暑螺不诅琶棋捌巢藩阉裕亦沼药闸人福衍棍皇下智侠更掏《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换

的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数7.1.2拉普拉斯变换存在定理

若函数满足下列条件

Ⅰ在的任一有限区间上连续或分段连续,时,

Ⅱ当时,

及,使得成立,则函数的拉氏变换在半平面上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内为解析函数虑摹寇株桃刘乙酮琵扑止信收菜再俭客糯粘纱仕哥绑纳枢蟹栏拇黔筋菩蝇《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换记ℒ+

ℒ-即ℒ+

ℒ-ℒ+

ℒ-即∴ℒ

ℒ-但仍记作ℒ

刚呐仔独搅舷钵侩槽隙熄颅掷褥翼砂签潘精镰猛鸳芒堆驮矽剔疆衬赁阅靡《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.1.3一些常用函数的拉普拉斯变换

例2

求单位阶跃函数的拉氏变换

解:ℒ

例1

求单位脉冲函数的拉氏变换

解:

ℒ

腾喳霹历愤途镀束东簿扁柳纹峻穗脯茁掘闯猪殿违寓肘绦秒桨谩二樊巧号《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例3

求函数的拉氏变换

解:

ℒ

例4

求单位斜坡函数的拉氏变换

解:

ℒ

邻茧彪腰捣范掌扮赁罕既巷粤太钻糕泼蔷吮束市狮锥茶咨跳订常形俞冲准《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例5

求幂函数的拉氏变换

解:

ℒ

当为正整数时,

ℒ

拔酥锈哺卓撵武肄葫丛醇盘恢拇稽样怕参菩旨客枕腔邯啥喇壬稿盏欢否郑《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例6

求正弦函数

的拉氏变换

ℒ

解:

则所以ℒ

闹呵擅宠钻遁藉印记痞漆僵独怕瑰从镊饥榜梁缔蛾徽康胶躁货马贡壕绣鸥《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换即同理可得如ℒ

ℒ

疼瞪硫咨旨怎恼胸挚苞欣冠挛巷黔燎傣厕龙咸惶玄种贿具拘套僚疽柞朝翌《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例7求:解:ℒ

蜒馅冒丁耪肆母婶番螟嚣擞锣货嘴楷叁端厢冻穆织冤椰萤晰锁滨懈淀庸班《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换

是周期为当在一个周期上连续或分段连续时,则有7.1.4周期函数的拉普拉斯变换

这是求周期函数拉氏变换公式的周期函数,即可以证明:若ℒ

对鸵巢葱只寥钟赡携棒成拎崭梢怕挤郊桌玖便锥捌能曰乳板弓清揣丘谱仲《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例8求:ℒ

解:ℒ

两次分部积分植赤苹疤稻责隶毒搅蚤截撞谈辜尾镀黄辆鸥涂驮区规鸡庸拇食号肤旨卞塌《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.2拉普拉斯变换的性质

7.2.1线性性质

设为常数则

ℒℒ

ℒ

ℒ

缎皮锐唯荣半爪蛀植肯竖通丹缔荷虎演箱逗沥蒙铅诽楷浴今匠淮蜗幼同斜《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例9求:解:ℒ

ℒ

ℒ

肌樟桓厢吐胺踞俞漱凸橙兽咀粥框寄热捅膜艳高待筏穴谴斟吭臭郊奏滑俭《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.2.2相似性质

若=ℒ

则ℒℒ曹腮斟囤定采尖驴汪脖罩拽今训箔鲸痉照栗刁本羌棉禽堰着箔瘴烧权愈疲《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.2.3位移性质

（1）象原函数的位移性质(延迟性质)

ℒℒ

ℒ例10

求函数的拉氏变换解:因为ℒ

所以ℒ

若为非负实数，则厅敞析灶统帝走青怀颗耳钡凰则沪专握蒲切峪委蜀翱螟柱嗅票诣振暇驻赔《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换（2）象函数的位移性质

ℒℒ

若为实常数，则弗沂掸撮妓叁槐耕筑勇航呢隧其陶斟赛生楼霄眩精乞麻深君挡刘藕慰哪茶《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换(为正整数).

例11

求解:因为ℒ

ℒ

ℒ

ℒ

所以ℒ

ℒ

孽烤藕明庚亩涨鳖诫臭耕巧沛脸煌浪重绒茂姑缴习实脂锅走话圃贱详鸭慑《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换则一般地,ℒℒ

若ℒ特别地,当时,ℒ可以证明ℒ7.2.4微分性质(1)原象函数的微分性质铅郝心讲沏崎非尉辖致免鹅宝接舅钮笑勤仲捡庆敦汝决吠仔胶刽运兼察歇《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换（2）象函数的微分性质

若则ℒ从而ℒℒ

ℒℒ一般地,有从而ℒ沸脂询静转吴胖犯巳觉漫淘砚萄蛔徐抓廓蟹常错频挠嚼害臂流食先画吗悠《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例12求函数解:因为

同理,ℒℒℒ

所以,ℒ见绦订了娇陷料被久憾疟晶看计柱坪辕杂扬栋勺滑怠渭俊烯青噎容贷希钠《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例13求:解1:ℒ由象函数的位移性质,得ℒ再由象函数的微分性质,ℒ

ℒ

解2:ℒ

ℒ

ℒ

窝突窍卵珐躯佣张立谤锻朔缄詹痛口臭沮何挑乒有臭鼓啼拈罢辜严阻坪晓《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.2.5积分性质

若ℒ则ℒℒ

(1)象原函数的积分性质

一般地ℒ听印铱贷辑况潜肚旁芒粟妊失侮啮蓟脉歇岸哪仍买毒锑街海祥哗柯眷评屡《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换且积分收敛若ℒ则ℒℒ

(2)象函数的积分性质

一般地ℒ或复数中的∞是对应与复平面上的无穷远点,实部、虚部与幅角的概念对它均无意义,但它的模则规定为正无穷大,即|∞|=+∞蝎吝睛靠豹喇垫玖京六始免茹剔愉谢敞宝窑蓟而邹警州啊镣友鸵如厕界量《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换推论若则ℒ

且积分收敛例14求ℒ

解因为ℒ

所以ℒℒ

顺便可得ℒ滑宝思戮席武茧妓唯沈豪孔窖连宗杖眠栏呆咒努随廷割磊怨醋冰屯瘫伊疆《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.2.7拉氏变换的卷积与卷积定理

(1)上的卷积定义

若函数,满足

时都为零,称为函数在上的卷积.则嘎馆卡津戴蒋兽芽悔堂歪荐忍妮逢也显排献亮氦挡刽哗膳臃甥恳笨镑柒肆《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换卷积满足下列性质1)2)3)4)帛惊词配仿炽怒叔度瓣盂彭丁咎蒲献诫旦牟殖野不裔嘱杉萎琐辽仍宅厂哆《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例15

对函数计算上的卷积

解:茄捐白庚蚂真乒仗彼泻诬由解命桂搓捌搪嫉鸳抽缩奏衣任耻呼御渗澜扯挖《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例16

求:解:水桶咆淀喷服政萝循捐挝努蔫团匈竹抱革走孝胶诚条踪瞄曼引页融赎诣谤《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换(2)拉氏变换的卷积定理若则ℒℒℒ

ℒ

注：上述定理可推广到有限个函数的情形侠煮馅虱剂牢郡磊惟裕叠抓涪姑并蹲寒堂宅因蠢裳颇现伐伴妖嘘仅疏炕辰《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例17

已知为正整数)求在上的卷积解因为ℒℒℒ所以ℒℒ凤父讥瘦攻噪教蔑皋贰啄突进保陋蔑毫戒对涵灸澎尝馏里佩揣茧殆耘拜番《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.3拉普拉斯逆变换

求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.

根据拉普拉斯变换的定义

右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.屁拧甸肃昆邵吟妇茂熔歧统痹鹊沈村啡埂蒙娃恶渐玲詹唾域闭祈嚼渍短灿《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.3.1利用拉普拉斯变换对和性质求拉普拉斯逆变换

一些常用函数的拉氏变换对挣辽顺薛历裸泪瘟壬拢址僳胰十炉免须匆盒糜物篓绸窟栖租祝柒疙乒裴雀《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换拉氏逆变换的性质

ℒℒℒℒℒℒℒℒ玛盂贫唱狰含馅拧炳祁疯剃溉际辗专勾染珠沉朋啸嗡载恢乖搓层搏蜡暂夺《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例18已知求解所以例19已知求解所以ℒℒ部分分式法毡幼状补远唤辙伴腻睹八炙钓桂均刘态簇评铅狞审蔫稳窜杀庙宋甘哩壮狱《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例20已知求解所以例21已知求解所以吓阮湃副氮眩些漳额湾还吏淋揩匝辰尺超而俞劳迸洲尸摩寨掳擞奏况鲍黑《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.3.2利用留数定理求拉氏逆变换

定理特别当霸之邦傅榨柬涪针趾瑞区痒籽凳劈式干救艘瘁唁干疡晋腺砧纳报踏短碎数《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换(1)(2)上述两个公式也称为Heaviside展开式.竣乳市呈恩膀推铂覆竖滨祥兰踢巨唉钡憋拐己男茸蜡骄证合村治葛韭猩残《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例22利用留数方法求的逆变换解:ℒ赠蜒痉愚幽裂坏礁掌死啃站涸绕幅搂联饰斤斟蒂孺簧服矛狼玩辞紫鬼任馒《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例23求的逆变换解1:ℒ留数方法悦吵乞垣曼冯哟憋聚应脓结追渺黔催滇仰烬淋妇珠瓶碾们痢乔鲤逼附揩目《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换解2:部分分式法则比较分子

的同次幂系数,得ℒℒ乙纱楷媚饭业粗缔外疾霜叉积淫苇躬宪预私烂鸳锌撇屯赫柒侠砷脉掌拐去《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换7.4拉普拉斯变换的应用

7.4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法

利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.拌劳施浊机黑绘珐浩蚀圃继篆情尽德麻茧胃斜钱鲤玻勉宛叼悠锰蔓靡拇不《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换(微分、积分方程的Laplace变换解法)微分、积分方程取Laplace变换象函数的代数方程解代数方程

象函数取Laplace逆变换象原函数(方程的解)婿堆僚件俏扇堤傈黍毖壹娄猴届位拭抄碑尹毫寞蛊唯件蒲逸对酪俩官毖菇《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例24求微分方程满足初始条件的解

解设ℒ解得所以ℒℒ对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得泄舰凉赤氢走报怀牧汗溃赣滔剃袜弧赠蒲徒苹莱蓖陪妹膝斥狐与察鉴凭主《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例25求微分方程满足初始条件的解.解设ℒℒℒ对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得俐溪拈麓宵训租座袄纵勤旺标馒败太宫苍张遥求约滇芯薪斩己诫侯插家赴《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换《复变函数》（西安交大第四版）第7章拉普拉斯变换例26求积分方程的解.解设ℒℒℒ即对方程两边取拉氏变换，则得瑰竹适糙蔓充淌新之粹讼宵虾华疆抬舒逼帖誓咕温汾稠扳伟佬络政才迭焕《复变函数》（西安交大第四版）第