2024八年级数学上册第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理3角平分线上课课件新版华东师大版

13.5逆命题与逆定理第3课时

角平分线第13章

全等三角形1、会叙述角平分线的性质及判定;2、能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;3、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

温故知新如图，你能画出∠AOB的对称轴吗？射线OC就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线.AOBC

在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ABC问题情境知识点一

角平分线的性质定理

如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE.角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？DPACBEO下面我们来证明刚才得到的结论.DPACBEO已知:OC平分∠AOB,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB.求证:PD=PE.证明:∵OC平分∠AOB,P是OC上一点，∴∠DOP=∠BOP.∵PD⊥OA,PE⊥OB

，∴∠ODP=∠OEP=90°.在△OPD和△OPE

中，∠DOP=∠EOP,∠ODP=∠OEP,OP=OP,∴△OPD≌△OPE(A.A.S.).∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等．几何语言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.典例精析【例1】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.试说明：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE

≌Rt△CDF.ABCDEF解：

∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，∴△BDE

≌△CDF.∴EB=FC.BD=CD，∠B=∠C，∠DEB=∠DFC，练一练（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，().

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC1、判断下列的写法是否正确？理由：没有垂直，不能确定BD、CD是点D到角两边的距离.(2)∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.

在角平分线上和垂直这两个条件缺一不可．知识点二

角平分线的判定定理

这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？t条件结论性质定理逆命题一个点在角的平分线上这个点到这个角两边的距离相等一个点到角两边的距离相等这个点在这个角的平分线上想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？

逆命题如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.

分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP.已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.BADOPE证明：作射线OP，在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（H.L.）.∴∠AOP=∠BOPBADOPE∴点P在∠AOB的平分线上.判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边距离相等.定理的作用：判断点在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.DPACBEO角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.

利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线交于一点．

做一做怎样证明这个结论呢?A

B

C

P

N

M

点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？AP是∠BAC的平分线BP是∠ABC的平分线PI=PHPG=PIPH=PG点P在∠BCA的平分线上A

B

C

P

F

H

DEIG典例精析【例2】如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，BD与CE相交于点F，BF=CF.求证：点F在∠BAC的平分线上.

证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CDF=∠BEF=90°.在△CDF和△BEF中，∵∠CDF=∠BEF=90°，∠CFD=∠BFE，BF=CF，∴△CDF≌△BEF(A.A.S.)，∴DF=EF，∴点F在∠BAC的平分线上.ABCDFE练一练1.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.ABCDEF证明：作FG⊥AC，FH⊥BC，FM⊥AB﹐垂足分别为G、H、M.GHM∵

CF平分∠ECB，BF平分∠CBD∴

FG＝FH＝FM

∴点F在∠DAE的平分线上.2、如图所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD.求证：AD平分∠BAC.ABCDMN

1.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(

)A.2B.3C.1D.4DEOBA●DPC2.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(

)A．PA＝PB

B．PO平分∠APBC．OA＝OB

D．AB垂直平分OPDO●BPA3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是_____6cmACDBE4.如图，AD为△ABC的角平分线，DF⊥AC于点F，∠B=90°，DE=DC.求证：BE=FC.BADCEF

5、已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG.求证：OC是∠AOB的平分线.OBAECDPFG

6.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.证明：∵AD平分∠CAB,

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴CD＝DE(角平分线的性