2024八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差上课课件新版华东师大版

12.3乘法公式第1课时

两数和乘以这两数的差第12章

整式的乘除1、理解两数和乘以这两数差的几何意义.2、理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.

温故知新多项式与多项式是如何相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？(a+b)(a−b)

=

a2−b2

？

知识点一

两数和乘以这两数的差做一做用多项式乘法法则计算：(a+b)(a-b).(a+b)(a–b)=a·a+a·b-a·b-b·b=a2-b2①(x

＋1)(x－1)；②(m

＋2)(m－2)；③(2m＋1)(2m－1)；④(5y

＋z)(5y－z).计算下列多项式的积，你能发现什么规律？②（m＋2)(m－2）=m2－22③（2x＋1)(2x－1)=4m2－12④（5y

＋z)(5y－z)=25y2－z2①（x

＋1)(x－1）=x2－1，想一想：这些计算结果有什么特点？x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2(a+b)(a-b)=a2-b2

两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.公式变形:1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2=－(a+b)(a－b)a2b2几何解释b2aabb(a-b)(a+b)a2观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：典例精析计算：（1）(a+3)(a-3)（2）(2a+3b)(2a-3b)（3）(1+2c)(1-2c)=a2-9=4a2-9b2=1-4c2例1=a2-32=(2a)2-(3b)2=12-(2c)2（4）(-2x-y)(2x-y)=-(2x+y)(2x-y)=-(4x2-y2)=-4x2+y2-(2x+y)或（4）(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2(-y-2x)计算：1998×2002.1998×2002=(2000-2)×(2000+2)=4000000-4=3999996例2=20002-22写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便.1998=(2000-2)(2000+2)2002计算：(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)=(x2-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)=(x4-1)(x4+1)(x8+1)=(x8-1)(x8+1)=x16-1解补充例题先化简，再求值：(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x).其中x=-2，y=3.(y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x)=[(3x)2-y2]-[(3y)2-x2]=9x2-y2-9y2+x2=10x2-10y2当x=-2，y=3时，原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.补充例题1．下列能用平方差公式计算的式子是(

)A．(a-b)(a-b) B．(-a+b)(a-b)C．(-a-b)(-a+b) D．(-a-b)(a+b)【详解】解：A.(a-b)(a-b)，a,b符号相同，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；B.(-a+b)(a-b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；C.(-a-b)(-a+b)，a符号相同，b符号相反，能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；D.(-a-b)(a+b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意.故选：C．2．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（

）

A．22 B．24 C．30 D．36

3．计算(a-2b)(-a-2b)等于（

）A．a2-4ab-4b2 B．-a2-4ab-4b2 C．4b2-a2 D．a2-4b2【详解】解：原式=-(a-2b)(a+2b)=-(a2-4b2)=4b2-a2故选：C．

5．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，请写出上述过程所揭示的乘法公式

．【详解】解：∵图1中阴影部分的面积为a2-b2，图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，∴可得乘法公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)．6．计算：(1-a)(1+a)(1+a2)=

．【详解】解：(1-a)(1+a)(1+a2)=(1-a2)(1+a2)=1-a4．故答案为：1-a4．（1）(-m2-2m)2（2）(-2x+y)(-2x-y)（3）(2a+1)(-2a-1)=[-(m2+2m)]2=(m2+2m)2=(m2)2+2·m2·2m+(2m)2=m4+4m3+4m2=-(-2x+y)(2x+y)=-[y2-(2x)2]=-y2+4x2=-(2a+1)(2a+1)=-(2a+1)2=-[(2a)2+2·2a·1+12]=-(4a2+4a+1)=-4a2-4a-17.计算：8．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：

(1)如图利用阴影面积可以验证的乘法公式是______；(2)利用（1）中得到的公式，计算：20232-2022×2024．【详解】（1）∵根据图1中阴影的面积为a2-b2；图2中阴影面积为(a+b)(a-b)，根据面积不变性得到a2-b2=(a+b)(a-b)．故答案为：a2-b2=(a+