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文档简介
第一章集合与常用逻辑用语1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定教学目标
能对全称量词命题与存在量词命题进行否定(重点、难点)01
02
03
04全称量词命题和存在量词命题的否定学科素养
数学抽象
直观想象
对全称量词命题与存在量词命题进行否定逻辑推理
全称量词命题与存在量词命题的应用数学运算
数据分析
数学建模全称量词命题和存在量词命题的否定01知识回顾RetrospectiveKnowledge全称量词与存在量词全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,
并用符号“∀”表示.全称量词命题的表述形式:全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”,
可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”
.存在量词:短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词,
并用符号“∃”表示.存在量词命题的表述形式:全称量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”,
可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”.02新
知
探
索NewKnowledgeexplore
一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定.例如:“56是7的倍数”的否定是:“56不是7的倍数”;“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定是:“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”.
注:一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题,只能一真一假.
写出下列命题的否定
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3)∀x∈R,x+|x|≥0.它们与原命题在形式上有什么变化?探究(1)的否定:“并非所有的矩形都是平行四边形”,
即“存在一个矩形不是平行四边形”;(2)的否定:“并非每一个素数都是奇数”;
即“存在一个素数不是奇数”;全称量词命题的否定(3)的否定:∃x∈R,x+|x|<0.全称量词命题的否定变成了存在量词命题.(1)的否定:“存在一个矩形不是平行四边形”;(2)的否定:“存在一个素数不是奇数”;全称量词命题的否定
写出下列命题的否定
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3)∀x∈R,x+|x|≥0.它们与原命题在形式上有什么变化?探究全称量词命题:
的否定为:即“∃x∈M,¬p(x).”对任意的x∈M,p(x)成立.存在x∈M,p(x)不成立,即存在x∈M,p(x)的对立面成立.“∀x∈M,p(x).”¬p(x)全称量词命题的否定:全称量词命题的否定【例3】写出下列全称量词命题的否定.(1)所有能被3整除的整数都是奇数;存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上;存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上.(3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.存在x∈Z,x2的个位数字等于3.全称量词命题的否定
写出下列命题的否定
(1)存在一个实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3)∃x∈R,x2-2x+3=0.它们与原命题在形式上有什么变化?探究(1)的否定:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,
即“所有实数的绝对值都不是正数”;(2)的否定:“每一个平行四边形都不是菱形”;存在量词命题的否定
写出下列命题的否定
(1)存在一个实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3)∃x∈R,x2-2x+3=0.它们与原命题在形式上有什么变化?探究(3)的否定:∀x∈R,x2-2x+3≠0.存在量词命题的否定变成了全称量词命题.(1)的否定:“所有实数的绝对值都不是正数”;(2)的否定:“每一个平行四边形都不是菱形”;存在量词命题的否定存在量词命题的否定:存在量词命题:
的否定为:即“∀x∈M,¬p(x).”存在x∈M,p(x)成立.不存在x∈M,p(x)成立,即任意x∈M,p(x)不成立任意x∈M,p(x)的对立面¬p(x)成立.“∃x∈M,p(x).”存在量词命题的否定存在量词命题的否定【例4】写出下列全称量词命题的否定.(1)∃x∈R,x+2≤0;∀x∈R,x+2>0;(2)有的三角形是等边三角形;所有的三角形都不是等边三角形;(3)有一个偶数是素数.任意一个偶数都不是素数.【例5】写出下列命题的否定,并判断真假.(1)任意两个等边三角形都相似;(2)∃x∈R,x2-x+1=0;命题的否定:∀x∈R,x2-x+1≠0.因为任意两个等边三角形的三边成比例,所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.因为对于任意x∈R,x2-x+1=
,所以这是一个真命题.命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.03拓展提升ExpansionAndPromotion【例3】已知∀x∈R,不等式x2+4x-1>m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】令y=x2+4x-1,x∈R,则y=(x+2)2-5≥-5,因为∀x∈R,不等式x2+4x-1>m恒成立,所以只要m<-5即可.所以m的取值范围是{m|m<-5}.【例】已知命题:“存在实数x,使不等式-x2+4x-1>m有解”为真命题,求实数m的取值范围.【解析】令y=-x2+4x-1,
因为y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3≤3,
又因为∃x∈R,-x2+4x-1>m有解,
所以只要m小于函数的最大值即可,
所以m的取值范围是{m|m<3}.求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数y的最大值(或最小值),
即a>ymax(或a<ymin).(2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),
即a>ymin(或a<ymax).04归纳总结SumUp全称量词命题的否定:
“∀x∈M,p(x).”的否定为“∃x∈M,¬p(x).”存在量词命题的否定:“∃x∈M,p(x).”的否定为“∀x∈M,¬p(x).”全称量词命题的否定变成了存在量词命题.存在量词命题的否定变成了全称量词命题.05课后作业HomeworkAfterClass1.(多选)关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是()A.¬p:∃x∈R,x2+1=0;B.¬p:∀x∈R
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