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文档简介
线段与角度的有关计算及分类题型01与线段的中点有关的计算【典例分析】【例1-1】(22-23七年级上·湖北武汉·期末)如图,是线段上一点,是中点,是中点,若,,则(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查根据线段中点计算,解题的关键是线段和差关系及中点意义;根据是线段的中点得到,根据是线段的中点得到,结合即可得到答案.【详解】解:是线段的中点,∴,是线段的中点,,,故选:B.【例1-2】(23-24七年级上·山东聊城·期末)如图,点C是线段上的一点,M、N分别是、的中点,且,则线段.【答案】/48厘米【分析】本题考查了线段中点的性质,先根据M、N分别是、的中点进而求解即可.【详解】∵M、N分别是、的中点,∴,∵,∴,故答案为:.【例1-3】(23-24七年级上·安徽合肥·期末)如图,B,C两点把线段分成三部分,P是的中点,已知,求线段的长.【答案】2.5【分析】本题考查的是两点间的距离,解题的关键是要注意各线段之间的和、差及倍数关系.可设,,,再根据求出k的值,故可得出线段的长度,再根据P是的中点可求出的长,由即可得出结论【详解】解:如图,,可设,,,∵,即∴,∴,∵P为的中点,∴,.【变式演练】【变式1-1】(23-24七年级上·云南曲靖·期末)如图,,为AB的中点,点在线段上,且,则DB的长度为()A. B. C. D.10【答案】D【分析】本题考查了线段的中点,由线段的中点可得,进而由可得,再根据线段的和差关系即可求解,掌握线段的中点的性质是解题的关键.【详解】解:∵,为AB的中点,∴,∵,∴,∴,∴,故选:.【变式1-2】(23-24七年级上·北京·期末)已知是直线上的点,线段,,是线段的中点,则线段的长为.【答案】5或11【分析】本题考查的是与线段中点有关的线段计算,掌握线段中点的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.分两种情况:(1)当点在线段上时,当点在线段的反向延长线上时,分别画出图形,结合图形利用线段和差求解即可.【详解】解:(1)当点在线段上时,,又,,点是线段的中点,;(2)当点在线段的反向延长线上时,,又,,点是线段的中点,.综上,的长为5或11.故答案为:5或11.【变式1-3】(23-24七年级上·湖北恩施·单元测试)如图,已知线段,为的中点,点在上,点为的中点,且,求的长.【答案】【分析】本题考查的是两点间的距离,熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键.根据为的中点,且可直接得出的长,再根据与的长可直接得出结论.【详解】解:是的中点,;为的中点,且,;,,
题型02与线段等分点有关的计算【典例分析】【例2-1】(23-24七年级上·河北邯郸·期末)如图,点是线段AB的中点,点是线段的三等分点,若线段AB的长为,则线段的长度是(
)A.10 B.9 C.7或9 D.8或10【答案】D【分析】本题考查了线段的中点、三等分点及线段的和;如图,点为线段的三等分点有,两种情况,分别求解,长度即可.【详解】解:如图,由题意可知,,故选:D.【例2-2】(23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习)已知M为线段的三等分点,且,则线段的长为.【答案】9或/或9【分析】本题主要考查了线段的三等分点,线段之间的倍数关系.画出图形分类讨论时解题的关键.分两种情况:①点靠近点;②点靠近点.画出图形分别计算即可.【详解】解:如图1所示:点是的三等分点,.如图2所示:点是的三等分点,.的长度为9或,故答案为:9或.【例2-3】(23-24七年级上·甘肃天水·期末)如图,已知线段,M、N为线段的三等分点.(1)写出图中所有线段;(2)求这些线段长度的和.【答案】(1)线段,线段,线段,线段,线段,线段(2)【分析】本题主要考查了线段的定义、线段的三等分点等知识点,根据三等分点确定各线段的长度成为解题的关键.(1)根据线段的定义确定各线段即可;(2)根据线段的三等分点可得,,,然后求出各线段的和即可.【详解】(1)解:图中的线段有:线段,线段,线段,线段,线段,线段.(2)解:∵线段,M、N为线段AB的三等分点,∴,,,∴这些线段长度的和是【变式演练】【变式2-1】(23-24七年级上·河北沧州·期末)已知点是线段的中点,点是线段的三等分点,若,则的长为(
)A.3 B.9 C.3或6 D.6或9【答案】A【分析】此题考查的是线段的和与差,掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键.根据点D为靠近点A或点B的三等分点分类讨论,分别画出对应的图形,根据线段的关系即可求出结论.【详解】解:①若点D为靠近点A的三等分点,如图1所示,∵,点C是线段的中点,点D是线段的一个三等分点,∴,∴;②若点D为靠近点B的三等分点,如图2所示,∵,点C是线段的中点,点D是线段的一个三等分点,∴,∴;综上:故选A.【变式2-2】(23-24七年级上·浙江丽水·期末)如图,C为线段的中点,,D是线段的三等分点,则的长是.【答案】4或8/8或4;【分析】本题考查有关等分点的计算,根据中点得到,再分类讨论三等分点靠近B点或A点即可得到答案;【详解】解:∵C为线段的中点,,∴,∵D是线段的三等分点,①三等分点靠近B点时,,②三等分点靠近A点时,,故答案为:4或8.【变式2-3】(23-24七年级上·福建厦门·期末)如图,已知线段,点C是的中点,点D是的三等分点,且点D在点C的右边.(1)若,求的长;(2)在线段上是否存在一点E,使得点E是的中点,同时点C也是的中点?若存在,请用圆规找出点E的位置,并说明理由;若不存在,请说明理由.【答案】(1)1(2)存在,画图及理由见解析【分析】(1)根据中点定义,三等分点定义,得到,,根据,,即得;(2)以点D为圆心,长为半径画弧,交于点E,E即为的中点,C为的中点.理由:根据,得到,得到,得到E是的中点,根据,得到,得到C是的中点.【详解】(1)∵点C是的中点,点D是的三等分点,∴,,∴,∵,∴;(2)存在,理由如下,以点D为圆心,以长为半径画弧,交于点E,E即为所求作,如图.理由:∵,∴,∴,∴E是的中点,∵,∴,∴,∴C是的中点.
题型03分类讨论求线段长【典例分析】【例3-1】(23-24七年级上·云南昭通·期末)已知线段,点是直线上一点,,点是线段的中点,则的长为(
)A.或 B. C. D.或【答案】D【分析】本题主要考查了两点间的距离,熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键.根据题意分两种情况,①如图1,由,,可得的长度,由线段的中点的性质可得即可得出的长度;②如图2,由,,可得,根据线段中点的性质可得,即可得出的长度.【详解】解:①如图1,∵,,∴,∵点D为线段的中点,∴,∴;②如图2,∵,,∴,∵点D为线段的中点,∴,∴;∴的长为或.故选:D.【例3-2】(23-24七年级上·湖北武汉·单元测试)已知线段上有M、N两点,,C为中点,则=.【答案】3.5或8.5【分析】本题考查了两点间的距离,熟知各线段之间的倍数关系是解答此题的关键;如图根据线段的中点和线段的倍分关系即可得到结论.【详解】解:∵,∴,分两种情况如下:1°当N在线段上时,,∵C为的中点,∴;
2°当N在线段上时,,∵C为的中点,∴【例3-3】(23-24七年级上·湖南娄底·期末)如图.线段,是线段的中点,是线段的中点.(1)求线段的长;(2)在线段上有一点,,求的长.【答案】(1);(2)或12【分析】本题考查了线段的和差以及中点的有关运算.(1)现根据中点的意义得到,,再由线段的和关系,即可作答;(2)分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可.【详解】(1)∵线段,是线段的中点,∴,∵是线段的中点,∴,∴;(2)∵,∴,当点在点左侧时:;当点在点右侧时:.综上:或12.【变式演练】【变式3-1】(23-24七年级上·山东枣庄·期末)已知线段,为直线AB上的一点,且,,分别是,的中点,则的长度是(
)A. B. C.或 D.或【答案】D【分析】本题考查了线段的中点,线段和差,根据题意分点在线段上时,点在线段延长线上时两种情况分析即可,画出图形,利用数形结合求解是解题的关键.【详解】解:点在线段上时,如图所示:∵点是的中点,∴,又∵,∴又∵点是的中点,∴,又∵∴,又∵,∴点在线段延长线上时,如图所示,同理可求出,,又∵,∴,综上所述:的长度为或,故选:【变式3-2】(22-23七年级上·湖北武汉·期末)已知线段,直线上有一点,且,为的中点,则的长为.【答案】或【分析】本题考查了两点间的距离.认真读懂题意,可知道符合题意的点有两种情况,也有两种可能,分别计算的长.【详解】解:如图,线段,直线上有一点,且,,,,为的中点,,;如图,线段,直线上有一点,且,,,,为的中点,,,综上所述,的长为或.故答案为:或【变式3-3】(23-24七年级上·甘肃定西·期末)如图,M是线段上一点,,P、Q两点分别从点M、B同时出发向点A运动,且点P的运动速度为,点Q的运动速度为,运动时间为t秒.若时,的长度恰好为,求线段的长.【答案】的值为或.【分析】本题主要考查了线段的和差、绝对值的意义、解绝对值方程等知识点,掌握数形集合思想成为解题的关键.设,则,当时,,即,然后根据的长度恰好为列绝对值方程求解即可.【详解】解:设,则,当时,,∴,∵的长度恰好为,∴,解得:或13,∴的值为或
题型04分类讨论求角度【典例分析】【例4-1】(23-24七年级上·海南儋州·期中)已知,其角平分线为,,其角平分线为,则的大小为(
)A. B. C.或 D.30°或【答案】C【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力,能考虑到在外部和内部两种情况是关键.分在外部和内部两种情况,由、分别平分、可得、度数,在根据两种位置分别求之.【详解】解:①如图,当在外部时,∵,平分,∴,又∵,平分,∴,∴;②如图,当在内部时,∵,平分,∴,又∵,平分,∴,∴,综上所述:为或.故选C.【例4-2】(22-23七年级·安徽淮南)已知,射线平分,则.【答案】或/或【分析】本题主要考查了角的和差、角平分的定义等知识点,掌握分类讨论思想成为解题的关键.先分两种情况画出图形,再分别运用角的和差求得,然后根据角平分线的定义即可解答.【详解】解:如图:,∴,∵射线平分,∴;如图:,∴,∵射线平分,∴.综上,或.故答案为:或.【例4-3】(23-24七年级上·山东济宁·期末)已知,.(1)如图1,若,在的左侧,则(2)如图2,平分,平分,求的度数.【答案】(1)或;(2)【分析】本题主要考查了角度的和差运算,角平分线的定义,解题的关键是熟练掌握角度的运算规律和法则.(1)分两种情况进行解答:当在左侧时;当在右侧时;(2)设,先求出,再根据角平分线的定义得出,,最后根据角度之间的和差关系,即可求解.【详解】(1)解:当在左侧时;∵,,∴,∵,∴,当在右侧时;∵,,∴,∵,∴,;故答案为:或;(2)解:如图,设,∵,,,∴,∵平分,∴,∴,∵平分,∴,∴【变式演练】【变式4-1】(23-24六年级下·山东淄博·期中)若,,则的度数为()A. B. C. D.或【答案】D【分析】本题考查角的计算,解决本题的关键是学会正确画出图形,根据角的和差关系进行计算.分类讨论,即分①在内部;②在外部讨论即可.【详解】解∶①当在内部时,如图,∵,,∴;②当在外部时,如图,∵,,∴;综上,的度数为或,故选∶D.【变式4-2】(23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末)若,,则.【答案】或【分析】本题主要考查了角的和差,分类讨论是解题的关键.分两种情况,根据角的和差关系求解即可.【详解】解:分两种情况:不在内,则;在内,则;故答案为:或.【变式4-3】(23-24七年级·全国·假期作业)已知,过点引射线,若,且平分.求的度数.【答案】的度数为或【分析】本题考查角平分线的定义、角的计算等知识点.分射线在的内部、射线在的外部两种情况,画出图形求解.【详解】解:(1)如图①,射线在的内部.设、的度数分别为、,则,,,又平分,所以,.(2)如图②,射线在的外部.设、的度数分别为、,则,,又平分,,.故的度数为或.
题型05角度的计算【典例分析】【例5-1】(23-24七年级上·江苏南通·期末)定义:若两个角差的绝对值等于,则称这两个角互为“优角”,其中一个角是另一个角的“优角”如:,,,则和互为“优角”,如图,已知,射线平分,在的内部,若,则图中互为“优角”的共有(
)A.6对 B.7对 C.8对 D.9对【答案】B【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系,掌握角的和差是解题的关键.根据互为“优角”的定义进行解答即可.【详解】解:∵,射线平分,∴∵∴互为“优角”;∵∴互为“优角”;∵∴互为“优角”;∵∴互为“优角”;∵∴互为“优角”;∵∴互为“优角”;∵∴互为“优角”;故共有7对角互为“优角”故选∶B.【例5-2】(23-24七年级上·安徽六安·期末)我们定义有一条公共边的两个互余的角为“友余角”,现在和为一对“友余角”,,则和的角平分线所成角的度数为.【答案】或【分析】先根据余角的定义求出的度数,再分两种情况画出图形,根据角平分线的定义和角度的计算分别进行解答即可.此题考查了角平分线的相关计算、余角定义,熟练分类讨论和数形结合是解题的关键.【详解】解:∵,和互余,∴,分两种情况进行求解:如图1,是的角平分线,是的角平分线,∴,如图2,是的角平分线,是的角平分线,∴,即和的角平分线所成角的度数为或,故答案为:或【例5-3】(23-24七年级上·湖北恩施·单元测试)如图,已知平分,射线在内,,,求的度数.【答案】【分析】本题考查的是角的计算,熟知角平分线的定义是解答此题的关键.根据平分可得出,再由可设,则,,再由可得出的值,进而得出结论.【详解】解:平分,.,设,则,,,,解得,.【变式演练】【变式5-1】(22-23七年级上·浙江湖州·期末)定义:从的顶点出发,在角的内部引一条射线,把分成的两部分,射线叫做的三等分线.若在中,射线是的三等分线,射线是的三等分线,设,则用含x的代数式表示为(
)A.或或 B.或或 C.或或 D.或或【答案】C【分析】分四种情况,分别计算,即可求解.【详解】解:如图:射线是的三等分线,射线是的三等分线,则,,;如图:射线是的三等分线,射线是的三等分线,则,,;如图:射线是的三等分线,射线是的三等分线,则,,;如图:射线是的三等分线,射线是的三等分线,则,,;综上,为或或,故选:C.【点睛】本题考查了角的有关计算
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