专题：线段与角度的有关计算及分类（解析版）

线段与角度的有关计算及分类题型01与线段的中点有关的计算【典例分析】【例1-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，是线段上一点，是中点，是中点，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查根据线段中点计算，解题的关键是线段和差关系及中点意义；根据是线段的中点得到，根据是线段的中点得到，结合即可得到答案．【详解】解：是线段的中点，∴，是线段的中点，，，故选：B．【例1-2】（23-24七年级上·山东聊城·期末）如图，点C是线段上的一点，M、N分别是、的中点，且，则线段．【答案】/48厘米【分析】本题考查了线段中点的性质，先根据M、N分别是、的中点进而求解即可．【详解】∵M、N分别是、的中点，∴，∵，∴，故答案为：．【例1-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，B，C两点把线段分成三部分，P是的中点，已知，求线段的长．【答案】2.5【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是要注意各线段之间的和、差及倍数关系．可设，，，再根据求出k的值，故可得出线段的长度，再根据P是的中点可求出的长，由即可得出结论【详解】解：如图，，可设，，，∵，即∴，∴，∵P为的中点，∴，．【变式演练】【变式1-1】（23-24七年级上·云南曲靖·期末）如图，，为AB的中点，点在线段上，且，则DB的长度为（）A． B． C． D．10【答案】D【分析】本题考查了线段的中点，由线段的中点可得，进而由可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握线段的中点的性质是解题的关键．【详解】解：∵，为AB的中点，∴，∵，∴，∴，∴，故选：．【变式1-2】（23-24七年级上·北京·期末）已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为．【答案】5或11【分析】本题考查的是与线段中点有关的线段计算，掌握线段中点的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．分两种情况：（1）当点在线段上时，当点在线段的反向延长线上时，分别画出图形，结合图形利用线段和差求解即可．【详解】解：（1）当点在线段上时，，又，，点是线段的中点，；（2）当点在线段的反向延长线上时，，又，，点是线段的中点，．综上，的长为5或11．故答案为：5或11．【变式1-3】（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）如图，已知线段，为的中点，点在上，点为的中点，且，求的长．【答案】【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．根据为的中点，且可直接得出的长，再根据与的长可直接得出结论．【详解】解：是的中点，；为的中点，且，；，，

题型02与线段等分点有关的计算【典例分析】【例2-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是线段AB的中点，点是线段的三等分点，若线段AB的长为，则线段的长度是（

）A．10 B．9 C．7或9 D．8或10【答案】D【分析】本题考查了线段的中点、三等分点及线段的和；如图，点为线段的三等分点有，两种情况，分别求解，长度即可．【详解】解：如图，由题意可知，，故选：D．【例2-2】（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为．【答案】9或/或9【分析】本题主要考查了线段的三等分点，线段之间的倍数关系.画出图形分类讨论时解题的关键.分两种情况：①点靠近点；②点靠近点.画出图形分别计算即可.【详解】解：如图1所示：点是的三等分点，．如图2所示：点是的三等分点，．的长度为9或，故答案为：9或．【例2-3】（23-24七年级上·甘肃天水·期末）如图，已知线段，M、N为线段的三等分点．(1)写出图中所有线段；(2)求这些线段长度的和．【答案】(1)线段，线段，线段，线段，线段，线段(2)【分析】本题主要考查了线段的定义、线段的三等分点等知识点，根据三等分点确定各线段的长度成为解题的关键．（1）根据线段的定义确定各线段即可；（2）根据线段的三等分点可得，，，然后求出各线段的和即可．【详解】（1）解：图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段．（2）解：∵线段，M、N为线段AB的三等分点，∴，，，∴这些线段长度的和是【变式演练】【变式2-1】（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（

）A．3 B．9 C．3或6 D．6或9【答案】A【分析】此题考查的是线段的和与差，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键．根据点D为靠近点A或点B的三等分点分类讨论，分别画出对应的图形，根据线段的关系即可求出结论．【详解】解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示，∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，∴，∴；②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示，∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，∴，∴；综上：故选A．【变式2-2】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是．【答案】4或8/8或4；【分析】本题考查有关等分点的计算，根据中点得到，再分类讨论三等分点靠近B点或A点即可得到答案；【详解】解：∵C为线段的中点，，∴，∵D是线段的三等分点，①三等分点靠近B点时，，②三等分点靠近A点时，，故答案为：4或8．【变式2-3】（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边．(1)若，求的长；(2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1(2)存在，画图及理由见解析【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得；（2）以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点．【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点，∴，，∴，∵，∴；（2）存在，理由如下，以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点E，E即为所求作，如图．理由：∵，∴，∴，∴E是的中点，∵，∴，∴，∴C是的中点．

题型03分类讨论求线段长【典例分析】【例3-1】（23-24七年级上·云南昭通·期末）已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（

）A．或 B． C． D．或【答案】D【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．根据题意分两种情况，①如图1，由，，可得的长度，由线段的中点的性质可得即可得出的长度；②如图2，由，，可得，根据线段中点的性质可得，即可得出的长度．【详解】解：①如图1，∵，，∴，∵点D为线段的中点，∴，∴；②如图2，∵，，∴，∵点D为线段的中点，∴，∴；∴的长为或．故选：D．【例3-2】（23-24七年级上·湖北武汉·单元测试）已知线段上有M、N两点，，C为中点，则=．【答案】3.5或8.5【分析】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的倍数关系是解答此题的关键；如图根据线段的中点和线段的倍分关系即可得到结论．【详解】解：∵，∴，分两种情况如下：1°当N在线段上时，，∵C为的中点，∴；

2°当N在线段上时，，∵C为的中点，∴【例3-3】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图．线段，是线段的中点，是线段的中点．(1)求线段的长；(2)在线段上有一点，，求的长．【答案】(1)；(2)或12【分析】本题考查了线段的和差以及中点的有关运算．（1）现根据中点的意义得到，，再由线段的和关系，即可作答；（2）分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可．【详解】（1）∵线段，是线段的中点，∴，∵是线段的中点，∴，∴；（2）∵，∴，当点在点左侧时：；当点在点右侧时：．综上：或12．【变式演练】【变式3-1】（23-24七年级上·山东枣庄·期末）已知线段，为直线AB上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查了线段的中点，线段和差，根据题意分点在线段上时，点在线段延长线上时两种情况分析即可，画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．【详解】解：点在线段上时，如图所示：∵点是的中点，∴，又∵，∴又∵点是的中点，∴，又∵∴，又∵，∴点在线段延长线上时，如图所示，同理可求出，，又∵，∴，综上所述：的长度为或，故选：【变式3-2】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为．【答案】或【分析】本题考查了两点间的距离．认真读懂题意，可知道符合题意的点有两种情况，也有两种可能，分别计算的长．【详解】解：如图，线段，直线上有一点，且，，，，为的中点，，；如图，线段，直线上有一点，且，，，，为的中点，，，综上所述，的长为或．故答案为：或【变式3-3】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）如图，M是线段上一点，，P、Q两点分别从点M、B同时出发向点A运动，且点P的运动速度为，点Q的运动速度为，运动时间为t秒．若时，的长度恰好为，求线段的长．【答案】的值为或．【分析】本题主要考查了线段的和差、绝对值的意义、解绝对值方程等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键．设，则，当时，,即，然后根据的长度恰好为列绝对值方程求解即可．【详解】解：设，则，当时，,∴，∵的长度恰好为，∴，解得：或13，∴的值为或

题型04分类讨论求角度【典例分析】【例4-1】（23-24七年级上·海南儋州·期中）已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（

）A． B． C．或 D．30°或【答案】C【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到在外部和内部两种情况是关键．分在外部和内部两种情况，由、分别平分、可得、度数，在根据两种位置分别求之．【详解】解：①如图，当在外部时，∵，平分，∴，又∵，平分，∴，∴；②如图，当在内部时，∵，平分，∴，又∵，平分，∴，∴，综上所述：为或．故选C．【例4-2】（22-23七年级·安徽淮南）已知，射线平分，则．【答案】或/或【分析】本题主要考查了角的和差、角平分的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．先分两种情况画出图形，再分别运用角的和差求得，然后根据角平分线的定义即可解答．【详解】解：如图：，∴,∵射线平分，∴；如图：，∴,∵射线平分，∴．综上，或．故答案为：或．【例4-3】（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知，．(1)如图1，若，在的左侧，则(2)如图2，平分，平分，求的度数．【答案】(1)或；(2)【分析】本题主要考查了角度的和差运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角度的运算规律和法则．（1）分两种情况进行解答：当在左侧时；当在右侧时；（2）设，先求出，再根据角平分线的定义得出，，最后根据角度之间的和差关系，即可求解．【详解】（1）解：当在左侧时；∵，，∴，∵，∴，当在右侧时；∵，，∴，∵，∴，；故答案为：或；（2）解：如图，设，∵，，，∴，∵平分，∴，∴，∵平分，∴，∴【变式演练】【变式4-1】（23-24六年级下·山东淄博·期中）若，，则的度数为（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本题考查角的计算，解决本题的关键是学会正确画出图形，根据角的和差关系进行计算．分类讨论，即分①在内部；②在外部讨论即可．【详解】解∶①当在内部时，如图，∵，，∴；②当在外部时，如图，∵，，∴；综上，的度数为或，故选∶D．【变式4-2】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若，，则．【答案】或【分析】本题主要考查了角的和差，分类讨论是解题的关键．分两种情况，根据角的和差关系求解即可．【详解】解：分两种情况：不在内，则；在内，则；故答案为：或．【变式4-3】（23-24七年级·全国·假期作业）已知，过点引射线，若，且平分．求的度数．【答案】的度数为或【分析】本题考查角平分线的定义、角的计算等知识点．分射线在的内部、射线在的外部两种情况，画出图形求解．【详解】解：（1）如图①，射线在的内部．设、的度数分别为、，则，，，又平分，所以，．（2）如图②，射线在的外部．设、的度数分别为、，则，，又平分，，．故的度数为或．

题型05角度的计算【典例分析】【例5-1】（23-24七年级上·江苏南通·期末）定义：若两个角差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”如：，，，则和互为“优角”，如图，已知，射线平分，在的内部，若，则图中互为“优角”的共有（

）A．6对 B．7对 C．8对 D．9对【答案】B【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可．【详解】解：∵，射线平分，∴∵∴互为“优角”；∵∴互为“优角”；∵∴互为“优角”；∵∴互为“优角”；∵∴互为“优角”；∵∴互为“优角”；∵∴互为“优角”；故共有7对角互为“优角”故选∶B．【例5-2】（23-24七年级上·安徽六安·期末）我们定义有一条公共边的两个互余的角为“友余角”，现在和为一对“友余角”，，则和的角平分线所成角的度数为．【答案】或【分析】先根据余角的定义求出的度数，再分两种情况画出图形，根据角平分线的定义和角度的计算分别进行解答即可．此题考查了角平分线的相关计算、余角定义，熟练分类讨论和数形结合是解题的关键．【详解】解：∵，和互余，∴，分两种情况进行求解：如图1，是的角平分线，是的角平分线，∴，如图2，是的角平分线，是的角平分线，∴，即和的角平分线所成角的度数为或，故答案为：或【例5-3】（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）如图，已知平分，射线在内，，，求的度数．【答案】【分析】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．根据平分可得出，再由可设，则，，再由可得出的值，进而得出结论．【详解】解：平分，．，设，则，，，，解得，．【变式演练】【变式5-1】（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（

）A．或或 B．或或 C．或或 D．或或【答案】C【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；综上，为或或，故选：C．【点睛】本题考查了角的有关计算