江苏省南京市鼓楼区第五十中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

2023-2024学年第一学期期中学情调研八年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列图形是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的识别，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，，不能组成直角三角形，故A不符合要求；，不能组成直角三角形，故B不符合要求；，能组成直角三角形，故C符合要求；，不能组成直角三角形，故D不符合要求；故选：C．3.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查全等三角形判定，先分析已知条件，再根据三角形的判定方法逐项判断即可，掌握，和等判定方法是解题的关键．【详解】解：由图可得和中，有一条公共边，有一组对角相等，A选项，添加后，满足两组对边相等，一组对角相等，但该组对角不是两组对边的夹角，无法判定；B选项，添加后，满足两组对边相等，且两组对边的夹角相等，根据可判定；C选项，添加后，满足一组对边相等，两组对角相等，根据可判定；D选项，添加后，满足一组对边相等，两组对角相等，根据可判定；故选A．4.如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出．【详解】解：如图，连接，，根据题意得，，，在和中，，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．5.如图，在中，为边上的高，为边上的中线，，则的长度是（）A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质；先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求得，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：在中，，为边上的中线，，∴，∵，∴，∵为边上的高，∴，∴由勾股定理得：，∴，∴，故选：D．6.如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的变形，算术平方根．根据题意确定满足的等量关系式是解题的关键．由题意知，，，根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，，∴，，∴，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7.如图，，且，，则______．【答案】【解析】【分析】根据三角形的内角和定理计算出的度数，再根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：在中，，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形的内角和，全等三角形的性质的综合，理解并掌握三角形的内角和等于，全等三角形中对应角的度数相等是解题的关键．8.已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上中线的长是__．【答案】##【解析】【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：斜边长，∴斜边上中线的长是，故答案为：．9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为_____________．【答案】18【解析】【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点作于点，，，又平分，，，，的面积是，故答案为：18．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__.【答案】【解析】【详解】解：∵把长方形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故答案为：115°．11.若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为______．【答案】或【解析】【分析】根据等腰三角形的性质定理与三角形内角和定理，即可求解．掌握等腰三角形底角相等是解题的关键．【详解】∵等腰三角形的一个外角为，∴等腰三角形有一个内角为，当等腰三角形底角为时，另两个角为或，符合题意，当等腰三角形顶角为时，两个底角为，故答案是：或12.如图，为等边三角形．若以BC为直角边向外作等腰，，则______．【答案】【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得，，进而可得，，问题随之解得．【详解】∵为等边三角形，∴，，∵等腰，，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，得出，，是解答本题的关键．13.如图，在四边形中，，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．【答案】29【解析】【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．【详解】如图，连接AC，由题意得：，在中，，，中，，，则正方形丁的面积为，故答案为：29．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．14.如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有_________________个．【答案】5【解析】【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．【详解】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确掌握轴对称图形的性质．15.如图,在，，，，点A到的距离是______________．【答案】12【解析】【分析】过点A作交的延长线于点D，由勾股定理得出，代入数据得出的长，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点D，在和中，由勾股定理得，，即，解得，∴，∴点A到的距离是12，故答案为12．【点睛】本题考查勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．16.如图，中，，的面积12．点D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值为__．【答案】8【解析】【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题、三角形的面积、等边三角形的判定与性质；作，作点E关于的对称点，作点E关于的对称点，根据可以证明是等边三角形，连接，交于点D，交于点F，连接，对称性可得周长的最小值为的长，即可求解．【详解】解：作，作点E关于的对称点，如图，∴，作点E关于的对称点，∴，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，连接，交于点D，交于点F，连接，∴，∴周长的最小值为的长，∵，即，解得：，∴，∴周长的最小值为8，故答案为：8．三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，△ABC与△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，，求证：AC＝DF．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定证明△ABC≌△DEF即可证得结论解答．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC=DF．【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．18.如图，某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量，∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m.若每平方米草皮需要200元，则种植这片草皮需要多少元？【答案】种植这片草皮需要234×200=46800元.【解析】【分析】先连接AC，根据勾股定理计算出AC,再根据勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形,然后根据面积公式计算．【详解】解：如图,连接AC，如图所示，∵∠B=90°，AB=20m，BC=15m，∴AC==25m，∵AC=25m，CD=7m，AD=24m，∴AD2+DC2=AC2，∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°，∴S△ABC=×AB×BC=×20×15=150m2，S△ACD=×CD×AD=×7×24=84m2,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=234m2.所以种植这片草皮需要234×200=46800元．【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理,解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理及其逆定理．19.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点在格点上．（1）画出关于直线l对称的；（2）在直线l上找一点P，使的长最短；（不写画法，保留画图痕迹）；（3）求的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查了作图-轴对称变换，最短路径问题，网格中求三角形面积；（1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点、、即可；（2）连接交直线l于P，则利用两点之间线段最短可判断点P满足条件；（3）利用割补法求解即可．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，点P即为所求；【小问3详解】解：的面积为：20.两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，．请回答以下问题：（1）填空：°，；（2）请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质；（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论．【小问1详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴【小问2详解】解：∵四边形的面积，四边形的面积，∴，即21.如图，四边形中，，，E、F分别是的中点．请你猜想与的位置关系，并给予证明．【答案】【解析】【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的三线合一的性质；连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据F是的中点，即可求解．【详解】解：连接，如图，∵，E是的中点，∴，∵，E是的中点，∴，∴，∵F是的中点，∴22.如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE=AB．（1）求证：∠B=2∠C；（2）若AC=10，AD=6，求△ABC的周长．【答案】（1）见解析（2）26【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB=∠B和∠C=∠EAC，再根据外角性质即可得出答案；（2）根据勾股定理求出CD=8，由已知能推出AB+BC=2DE+2EC=2×8=16，即可得出答案．【小问1详解】∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，∠B=∠AEB，∴∠B=∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C．【小问2详解】在直角三角形ACD中，∵∠ADC=90°，∴，∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，DE=BE，∴AB+BC=AB+BD+DE+CE=2DE+2CE=2CD=2×8=16，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=16+10=26．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．23.已知，线段a，直线l及l外一点A，求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，且点B、C在直线l上．【答案】见解析.【解析】【分析】先做线段a的垂直平分线，再过点A作l的垂线AO，O点为垂足，然后以点O为圆心，为半径画弧交l于B、C两点，则△ABC满足条件．【详解】如图所示，△ABC即为所求．【点睛】本题考查的知识点是作图—复杂作图，等腰三角形的性质，解题关键是熟记作图的步骤.24.小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点．求证：△ABC是等腰三角形．小明的证法：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵①，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D为BC中点，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴②．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．请把小明的证法补充完整，并用不同的方法完成证明．【答案】AD平分∠BAC；∠B=∠C．证法2见解析【解析】【分析】根据题意和全等三角形的判定、等腰三角形的判定可以证明结论成立．证法2：延长AD至E，使得DE＝AD，利用SAS证明△ACD≌△EBD．推出AC＝BE，∠CAD＝∠DEB，再根据角平分线的定义，推出∠BAD＝∠DEB，即可证明AB＝AC．【详解】证明：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∵D为BC中点，∴BD=CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴∠B=∠C．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．故答案为：AD平分∠BAC；∠B=∠C．证法2：延长AD至E，使得DE＝AD，∵D为BC中点，∴BD＝CD，在△ACD与△EBD中，∵AD＝DE，∠CDA＝∠EDB，CD＝BD，∴△ACD≌△EBD．∴AC＝BE，∠CAD＝∠DEB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠DEB，∴AB＝BE，∵AC＝BE，∴AB＝AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25.已知：如图1，射线，点C从M出发，沿射线运动，．

（1）当等腰三角形时，求；（2）当为直角三角形时，求的长；（3）点C在运动的过程中，若为钝角三角形，则的长度范围是；若为锐角三角形，则的长度范围是．【答案】（1）3或（2）（3）见解析【解析】【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质；（1）分三种情况：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质求解即可；（2）当时，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，由此即可求解；（3）根据（2）中即可求解．【小问1详解】解：当时，∵，∴，∴；当时，；当时，C在的垂直平分线上，与条件不合；

【小问2详解】解：当时，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，∵，，∴，解得；

【小