高考文科数学人教B版讲义第二章25　指数与指数函数

§2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)的指数函数的图象．4.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N＋，且eq\f(m,n)为既约分数)；正数的负分数指数幂的意义是＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，且eq\f(m,n)为既约分数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα，其中a>0，b>0，α，β∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数知识拓展1．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a(n∈N＋)．(×)(2)分数指数幂可以理解为eq\f(m,n)个a相乘．(×)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(×)(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(√)题组二教材改编2．化简eq\r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)＝________.答案－2x2y3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(－1)＝________.答案eq\r(2)解析由题意知eq\f(1,2)＝a2，所以a＝eq\f(\r(2),2)，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，所以f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))－1＝eq\r(2).4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．答案c<b<a解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x是减函数，∴>>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0，即a>b>1，又c＝<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1，∴c<b<a.题组三易错自纠5．计算×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))0＋×eq\r(4,2)－＝________.答案2解析原式＝×1＋×－＝2.6．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．答案(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))解析由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，得－eq\r(2)＜a＜－1或1＜a＜eq\r(2).7．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．答案[0,8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8).题型一指数幂的运算1.eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是________．答案解析eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝＝＝.2．计算：＋－10(eq\r(5)－2)－1＋π0＝________.答案－eq\f(167,9)解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))－2＋－eq\f(10\r(5)＋2,\r(5)－2\r(5)＋2)＋1，＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).3．(2017·兰州模拟)化简：＝________.(a>0)答案a2解析原式＝＝＝a2.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二指数函数的图象及应用典例(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()答案A解析f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A.(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案[－1,1]解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练(1)已知实数a，b满足等式2018a＝2019b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．答案1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用典例(1)(2017·河南百校联考)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f(a)，f(b)的大小关系是________．答案f(b)＜f(a)解析易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝＞＝b.∴f(a)＞f(b)．(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．答案(－3,1)解析当a<0时，不等式f(a)<1可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－7<1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3，∴a>－3.又a<0，∴－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为eq\r(a)<1.∴0≤a<1，综上，a的取值范围为(－3,1)．命题点2与指数函数有关的复合函数的单调性典例(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________；(2)函数f(x)＝的单调减区间为____________．答案(1)(－∞，4](2)(－∞，1]解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．(3)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．答案[0，＋∞)解析设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3指数函数性质的综合应用典例已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．解(1)当a＝－1时，f(x)＝，令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.思维升华(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a≤x＜0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3] B．[－3,0)C．[－3，－1] D．{－3}答案B解析当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x＜0时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a，－1))，∴eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，－1))[－8,1]，即－8≤－eq\f(1,2a)＜－1，即－3≤a＜0，∴实数a的取值范围是[－3,0)．(2)(2017·江淮十校第三次联考)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)＞f(cx) D．与x有关，不确定答案A解析∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1对称，易知b＝2，c＝3，当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，当x＞0时，3x＞2x＞1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx)<f(cx)，当x＜0时，3x＜2x＜1，f(x)在(－∞，1)上单调递减，∴f(bx)<f(cx)，综上，f(bx)≤f(cx)．指数函数底数的讨论典例已知函数y＝b＋(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))上有最大值3，最小值eq\f(5,2)，试求a，b的值．错解展示：现场纠错解令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，∴t∈[－1,0]．①若a>1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为增函数，∴at∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))，b＋∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,a)，b＋1))，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,a)＝\f(5,2)，,b＋1＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))②若0<a<1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为减函数，∴at∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))，b＋∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b＋1，b＋\f(1,a)))，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,a)＝3，,b＋1＝\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝\f(3,2).))综上知，a＝2，b＝2或a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(3,2).纠错心得在研究指数型函数的单调性或值域问题时，当底数含参数时，要对底数分类讨论．1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0答案D解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.2．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18B．21C．24D．27答案D解析∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.3．(2017·河南南阳、信阳等六市一模)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x＞0时，1＜bx＜ax，则()A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜a D．1＜a＜b答案C解析∵当x＞0时，1＜bx，∴b＞1.∵当x＞0时，bx＜ax，∴当x＞0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x＞1.∴eq\f(a,b)＞1，∴a＞b.∴1＜b＜a，故选C.4．(2018届吉林实验中学月考)设a＝log2eq\f(1,3)，b＝，c＝lnπ，则()A．c<a<b B．a<c<bC．a<b<c D．b＜a＜c答案C解析∵log2eq\f(1,3)<0,0<<1，lnπ>1，∴a<b<c.5．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)答案C解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故选C.6．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案B解析由f(1)＝eq\f(1,9)得a2＝eq\f(1,9)，所以a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.7．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是__________．答案(0,1)解析因为f(x)＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x，且f(－2)>f(－3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以eq\f(1,a)>1，解得0<a<1.8．不等式>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋4的解集为________．答案(－1,4)解析原不等式等价为>2－x－4，又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4，即x2－3x－4<0，∴－1<x<4.9．若直线y1＝2a与函数y2＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析(数形结合法)当0<a<1时，作出函数y2＝|ax－1|的图象，由图象可知0<2a<1，∴0<a<eq\f(1,2)；同理，当a>1时，解得0<a<eq\f(1,2)，与a>1矛盾．综上，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).10．当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是____________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))∪(1，eq\r(2))解析当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，若a>1，y＝ax是增函数，则有a2<2，可得－eq\r(2)<a<eq\r(2)，故有1<a<eq\r(2)；若0<a<1，y＝ax是减函数，则有a－2<2，可得a>eq\f(\r(2),2)或a<－eq\f(\r(2),2)，故有eq\f(\r(2),2)<a<1.综上知a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))∪(1，eq\r(2))．11．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．答案e解析由题意得，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥1，,e|x－2|，x＜1.))当x≥1时，f(x)＝ex≥e(当x＝1时取等号)，当x＜1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x＞e，因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．解(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b·a＝6，,b·a3＝24.))所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－m≥0恒成立，即m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上恒成立．又因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x均为减函数，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x也是减函数，所以当x＝1时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x有最小值eq\f(5,6).所以m≤eq\f(5,6).即m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,6))).13．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－eq\f(1,4x)＋eq\f(1,2x)，则此函数的值域为________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,4)))解析设t＝eq\f(1,2x)，当x≥0时，2x≥1，∴0<t≤1，g(t)＝－t2＋t＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4).∴0≤g(t)≤eq\f(1,4)，故当x≥0时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)