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文档简介
浙江宁波市余姚中学2025届高一数学第一学期期末联考模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知关于的方程在区间上存在两个不同的实数根,则实数的取值范围是()A. B.C. D.2.由直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为()A. B.C. D.3.已知函数,若实数满足,则实数的取值范围是()A. B.C. D.4.已知函数,若方程有8个相异实根,则实数b的取值范围为()A. B.C. D.5.直线的倾斜角为()A. B.C. D.6.已知,,则在方向上的投影为()A. B.C. D.7.已知幂函数在上是增函数,则n的值为()A. B.1C. D.1和8.已知定义在上的偶函数,在上为减函数,且,则不等式的解集是()A. B.C. D.9.已知是减函数,则a的取值范围是()A. B.C. D.10.已知函数在内是减函数,则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知函数,若方程有四个不同的实根,满足,则值为__________.12.已知函数若,则实数___________.13.等腰直角△ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把△ABC折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C—BM—A的大小为_____________.14.已知集合,,则集合________.15.扇形半径为,圆心角为60°,则扇形的弧长是____________16.一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上,则球的体积为_______cm³.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数.(1)存在,使得不等式成立,求实数k的取值范围;(2)方程有负实数解,求实数k的取值范围.18.已知函数(1)化简并求的值;(2)若是第三象限角,且,求19.在①;②函数为偶函数:③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中,并解答下面的问题问题:已知函数,,且______(1)求函数的解析式;(2)判断函数在区间上的单调性,并用定义证明注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分20.如图所示,在中,,,与相交于点.(1)用,表示,;(2)若,证明:,,三点共线.21.已知集合,集合当时,求及;若,求实数m的取值范围
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】本题首先可根据方程存在两个不同的实数根得出、,然后设,分为、两种情况进行讨论,最后根据对称轴的相关性质以及的大小即可得出结果.【详解】因为方程存在两个不同的实数根,所以,,解得或,设,对称轴为,当时,因为两个不同实数根在区间上,所以,即,解得,当时,因为两个不同的实数根在区间上,所以,即,解得,综上所述,实数的取值范围是,故选:C.2、B【解析】要使切线长最小,必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心(4,﹣2)到直线的距离m,求出m,由勾股定理可求切线长的最小值【详解】要使切线长最小,必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心(4,﹣2)到直线的距离m,由点到直线的距离公式得m==4,由勾股定理求得切线长的最小值为=故选B【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式、勾股定理的应用.解题的关键是理解要使切线长最小,必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小3、D【解析】由题可得函数关于对称,且在上单调递增,在上单调递减,进而可得,即得.【详解】∵函数,定义域为,又,所以函数关于对称,当时,单调递增,故函数单调递增,∴函数在上单调递增,在上单调递减,由可得,,解得,且.故选:D.4、B【解析】画出的图象,根据方程有个相异的实根列不等式,由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图象如图所示,由题意知,当时,;当时,.令,则原方程化为.∵方程有8个相异实根,∴关于t的方程在上有两个不等实根.令,,∴,解得.故选:B5、C【解析】先根据直线方程得斜率,再求倾斜角.【详解】因为直线,所以直线斜率为,所以倾斜角为,选C.【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角,考查基本分析求解能力,属基本题.6、A【解析】利用向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】,,在方向上的投影为:.故选:A【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示,考查了基本运算求解能力,属于基础题.7、C【解析】利用幂函数的定义与单调性即可得解.【详解】因为函数是幂函数,所以解得:或当时,在上是增函数,符合题意.当时,在上是减函数,不符合题意.故选:C【点睛】易错点睛:本题主要考查了幂函数的定义及性质,利用幂函数的定义知其系数为1,解方程即可,一定要验证是否符合在上是增函数的条件,考查了学生的运算求解的能力,属于基础题.8、D【解析】根据函数的性质,画出函数的图象,数形结合求出解集【详解】由题意,画出的图象如图,等价于,或,由图可知,不等式的解集为故选:D9、D【解析】利用分段函数在上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.【详解】因函数是定义在上的减函数,则有,解得,所以的取值范围是.故选:D10、B【解析】由题设有为减函数,且,恒成立,所以,解得,选B.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、11【解析】画出函数图像,利用对数运算及二次函数的对称性可得答案.【详解】函数的图像如图:若方程有四个不同的实根,满足,则必有,得,.故答案为:11.12、2【解析】先计算,再计算即得解.【详解】解:,所以.故答案为:213、【解析】分别计算出的长度,然后结合二面角的求法,找出二面角,即可.【详解】结合题意可知,所以,而发现所以,结合二面角找法:如果两平面内两直线分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角,故为所求的二面角,为【点睛】本道题目考查了二面角的求法,寻求二面角方法:两直线分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角14、【解析】根据集合的交集运算,即可求出结果.【详解】因为集合,,所以.故答案为:.15、【解析】根据弧长公式直接计算即可.【详解】解:扇形半径为,圆心角为60°,所以,圆心角对应弧度为.所以扇形的弧长为.故答案为:16、【解析】因为一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2,所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度:2所以球的半径为:所求球的体积为=故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)令,然后分离参数,求出函数的最大值即可得答案;(2)由题意,令,则,原问题等价于:在上有解,即在上有解,利用一元二次方程根的分布即可求解.【小问1详解】解:由题意,令,则原不等式等价于:存在,使成立,即存在,使成立,由二次函数的性质知,当,即时,取得最大值1,所以【小问2详解】解:由题意,因为方程有负实数根,则令,有,原问题等价于:在上有解,即在上有解令,,则或或或或,解得或或或或,即实数k的取值范围为.18、(1);.(2)【解析】(1)根据三角函数的诱导公式,准确运算,求得,进而求得的值;(2)由,得到,,进而求得.【小问1详解】解:由函数,所以.【小问2详解】解:因为是第三象限角,且,可得,所以,所以.19、(1)(2)单调递增,证明见解析【解析】(1)若选条件①,根据及指数对数恒等式求出的值,即可求出函数解析式;若选条件②,根据,即可得到,从而求出的值,即可求出函数解析式;若选条件③,直接代入即可得到方程,求出的值,即可求出函数解析式;(2)利用定义法证明函数单调性,按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可;【小问1详解】解:若选条件①.因为,所以,即解得.所以若选条件②.函数的定义域为R.因为为偶函数,所以,,即,,化简得,所以,即.所以若选条件③.由题意知,,即,解得.所以【小问2详解】解:函数在区间上单调递增证明如下:,,且,则因为,,,所以,即又因为,所以,即所以,即所以在区间上单调递增20、(1),;(2)见解析【解析】(1)首先根据题中所给的条件,可以求得,从而有,将代入,整理求得结果,同理求得;(2)根据条件整理得到,从而得到与共线,即,,三点共线,证得结果.【详解】(1)解:因为,所以,所以.因为,所以,所以.(2)证明:因为,所以.因为,所以,即与共线.因为与的有公共点,所以,,三点共线.【点睛】该题考查的是有关向量的问题,涉及到的知识点有平面向量基本定理,利用向量共线证得三点共线,属于简单题目.21、(1),或;(2)或.【解析】(1)当时,Q=,由集合的交、并、补运算,即可求解;(2)由集合的包含关系,得Q⊆P,讨论①Q=∅,
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