浙江宁波市余姚中学2025届高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析

浙江宁波市余姚中学2025届高一数学第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知关于的方程在区间上存在两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B.C. D.3．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取值范围为（）A. B.C. D.5．直线的倾斜角为()A. B.C. D.6．已知，，则在方向上的投影为（）A. B.C. D.7．已知幂函数在上是增函数，则n的值为（）A. B.1C. D.1和8．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.9．已知是减函数，则a的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知函数在内是减函数，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则值为__________.12．已知函数若，则实数___________.13．等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为_____________．14．已知集合，，则集合________.15．扇形半径为，圆心角为60°，则扇形的弧长是____________16．一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_______cm³.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围；（2）方程有负实数解，求实数k的取值范围.18．已知函数（1）化简并求的值；（2）若是第三象限角，且，求19．在①；②函数为偶函数：③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题问题：已知函数，，且______（1）求函数的解析式；（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20．如图所示，在中，，，与相交于点.（1）用，表示，；（2）若，证明：，，三点共线.21．已知集合，集合当时，求及；若，求实数m的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】本题首先可根据方程存在两个不同的实数根得出、，然后设，分为、两种情况进行讨论，最后根据对称轴的相关性质以及的大小即可得出结果.【详解】因为方程存在两个不同的实数根，所以，，解得或，设，对称轴为，当时，因为两个不同实数根在区间上，所以，即，解得，当时，因为两个不同的实数根在区间上，所以，即，解得，综上所述，实数的取值范围是，故选：C.2、B【解析】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值【详解】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，由点到直线的距离公式得m==4，由勾股定理求得切线长的最小值为=故选B【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用．解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小3、D【解析】由题可得函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，进而可得，即得.【详解】∵函数，定义域为，又，所以函数关于对称，当时，单调递增，故函数单调递增，∴函数在上单调递增，在上单调递减，由可得，，解得，且.故选：D.4、B【解析】画出的图象，根据方程有个相异的实根列不等式，由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图象如图所示，由题意知，当时，；当时，.令，则原方程化为.∵方程有8个相异实根，∴关于t的方程在上有两个不等实根.令，，∴，解得.故选：B5、C【解析】先根据直线方程得斜率，再求倾斜角.【详解】因为直线，所以直线斜率为，所以倾斜角为，选C.【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.6、A【解析】利用向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】，，在方向上的投影为：.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7、C【解析】利用幂函数的定义与单调性即可得解.【详解】因为函数是幂函数，所以解得：或当时，在上是增函数，符合题意.当时，在上是减函数，不符合题意.故选：C【点睛】易错点睛：本题主要考查了幂函数的定义及性质，利用幂函数的定义知其系数为1，解方程即可，一定要验证是否符合在上是增函数的条件，考查了学生的运算求解的能力，属于基础题.8、D【解析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为故选：D9、D【解析】利用分段函数在上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.【详解】因函数是定义在上的减函数，则有，解得，所以的取值范围是.故选：D10、B【解析】由题设有为减函数，且，恒成立，所以，解得，选B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、11【解析】画出函数图像，利用对数运算及二次函数的对称性可得答案.【详解】函数的图像如图：若方程有四个不同的实根，满足，则必有，得，.故答案为：11.12、2【解析】先计算，再计算即得解.【详解】解：，所以.故答案为：213、【解析】分别计算出的长度,然后结合二面角的求法,找出二面角,即可.【详解】结合题意可知,所以,而发现所以,结合二面角找法:如果两平面内两直线分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角,故为所求的二面角,为【点睛】本道题目考查了二面角的求法,寻求二面角方法:两直线分别垂直两平面交线,则该两直线的夹角即为所求二面角14、【解析】根据集合的交集运算，即可求出结果.【详解】因为集合，，所以.故答案为：.15、【解析】根据弧长公式直接计算即可.【详解】解：扇形半径为，圆心角为60°，所以，圆心角对应弧度为.所以扇形的弧长为.故答案为：16、【解析】因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2所以球的半径为：所求球的体积为=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）令，然后分离参数，求出函数的最大值即可得答案；（2）由题意，令，则，原问题等价于：在上有解，即在上有解，利用一元二次方程根的分布即可求解.【小问1详解】解：由题意，令，则原不等式等价于：存在，使成立，即存在，使成立，由二次函数的性质知，当，即时，取得最大值1，所以【小问2详解】解：由题意，因为方程有负实数根，则令，有，原问题等价于：在上有解，即在上有解令，，则或或或或，解得或或或或，即实数k的取值范围为.18、（1）；.（2）【解析】（1）根据三角函数的诱导公式，准确运算，求得，进而求得的值；（2）由，得到，，进而求得.【小问1详解】解：由函数，所以.【小问2详解】解：因为是第三象限角，且，可得，所以，所以.19、（1）（2）单调递增，证明见解析【解析】（1）若选条件①，根据及指数对数恒等式求出的值，即可求出函数解析式；若选条件②，根据，即可得到，从而求出的值，即可求出函数解析式；若选条件③，直接代入即可得到方程，求出的值，即可求出函数解析式；（2）利用定义法证明函数单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；【小问1详解】解：若选条件①．因为，所以，即解得．所以若选条件②．函数的定义域为R．因为为偶函数，所以，，即，，化简得，所以，即．所以若选条件③．由题意知，，即，解得．所以【小问2详解】解：函数在区间上单调递增证明如下：，，且，则因为，，，所以，即又因为，所以，即所以，即所以在区间上单调递增20、（1）,；（2）见解析【解析】（1）首先根据题中所给的条件，可以求得，从而有，将代入，整理求得结果，同理求得；（2）根据条件整理得到，从而得到与共线，即，，三点共线，证得结果.【详解】（1）解：因为，所以，所以.因为，所以，所以.（2）证明：因为，所以.因为，所以，即与共线.因为与的有公共点，所以，，三点共线.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，利用向量共线证得三点共线，属于简单题目.21、（1），或；（2）或.【解析】（1）当时，Q=，由集合的交、并、补运算，即可求解；（2）由集合的包含关系，得Q⊆P，讨论①Q=∅，