人教A版必修一课后作业第二章 基本初等函数(Ⅰ)章末复习课_第1页
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文档简介

学习目标1.构建知识网络.2.进一步熟练指数、对数运算,加深对公式成立条件的记忆.3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数.1.知识网络2.要点归纳(1)分数指数幂①=eq\f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1).②=(a>0,m,n∈N*,且n>1).(2)根式的性质①(eq\r(n,a))n=a.②当n为奇数时,eq\r(n,an)=a;当n为偶数时,eq\r(n,an)=|a|=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a,a≥0,,-a,a<0.))(3)指数幂的运算性质①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).(4)指数式与对数式的互化式logaN=b⇔ab=N(a>0,且a≠1,N>0).(5)对数的换底公式logaN=eq\f(logmN,logma)(a>0,且a≠1,m>0,且m≠1,N>0).推论:bn=eq\f(n,m)logab(a>0,且a≠1,m,n>0,且m≠1,n≠1,b>0).(6)对数的四则运算法则若a>0,且a≠1,M>0,N>0,则①loga(MN)=logaM+logaN;②logaeq\f(M,N)=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).类型一指数、对数的运算例1化简:(1)×÷eq\r(105);解原式==2-1×103×=2-1×=eq\f(\r(10),2).(2)2log32-log3eq\f(32,9)+log38-.解原式=log34-log3eq\f(32,9)+log38-=log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))-=log39-9=2-9=-7.反思与感悟指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.跟踪训练1计算80.25×eq\r(4,2)+(eq\r(3,2)×eq\r(3))6+log32×log2(log327)的值为________.答案111解析∵log32×log2(log327)=log32×log23=eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg2)=1,∴原式=×+22×33+1=21+4×27+1=111.类型二数的大小比较例2比较下列各组数的大小:(1)27,82;解∵82=(23)2=26,由指数函数y=2x在R上单调递增知26<27即82<27.(2)log20.4,log30.4,log40.4;解∵对数函数y=log0.4x在(0,+∞)上是减函数,∴log0.44<log0.43<log0.42<log0.41=0.又幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,∴eq\f(1,log0.42)<eq\f(1,log0.43)<eq\f(1,log0.44),即log20.4<log30.4<log40.4.(3),log2eq\f(1,3),eq\f(1,3).解0<<20=1.log2eq\f(1,3)<log21=0.eq\f(1,3)>eq\f(1,2)=1.∴log2eq\f(1,3)<<eq\f(1,3).反思与感悟数的大小比较常用方法:(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”,“大于等于0小于等于1”,“大于1”三部分,再在各部分内利用函数的性质比较大小.跟踪训练2比较下列各组数的大小:(1)log0.22,log0.049;解∵log0.049=eq\f(lg9,lg0.04)=eq\f(lg32,lg0.22)=eq\f(2lg3,2lg0.2)=eq\f(lg3,lg0.2)=log0.23.又∵y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,∴log0.22>log0.23,即log0.22>log0.049.(2)a1.2,a1.3;解∵函数y=ax(a>0,且a≠1),当底数a>1时在R上是增函数;当底数0<a<1时在R上是减函数,而1.2<1.3,故当a>1时,有a1.2<a1.3;当0<a<1时,有a1.2>a1.3.(3)30.4,0.43,log0.43.解30.4>30=1,0<0.43<0.40=1,log0.43<log0.41=0,∴log0.43<0.43<30.4.类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用命题角度1函数性质及应用例3已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.解(1)当a>0,b>0时,因为a·2x,b·3x都单调递增,所以函数f(x)单调递增;当a<0,b<0时,因为a·2x,b·3x都单调递减,所以函数f(x)单调递减.(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.①当a<0,b>0时,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>-eq\f(a,2b),解得x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2b)));②当a>0,b<0时,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x<-eq\f(a,2b),解得x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2b))).反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数,它们经过加、减、乘、除、复合、分段,构成我们以后研究的函数,使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究.跟踪训练3已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.解(1)要使函数有意义,则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-x>0,,x+3>0,))解得-3<x<1,∴定义域为(-3,1).(2)函数可化为f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.∵0<a<1,∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4.由loga4=-2,得a-2=4,∴a==eq\f(1,2).命题角度2函数图象及应用例4如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}答案C解析借助函数的图象求解该不等式.令g(x)=y=log2(x+1),作出函数g(x)图象如图.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=2,,y=log2x+1,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=1.))∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点,最值,解不等式的工具,所以要能熟练画出这三类函数图象,并会进行平移、伸缩,对称、翻折等变换.跟踪训练4若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()答案B解析由题意得y=logax(a>0,且a≠1)的图象过(3,1)点,可解得a=3.选项A中,y=3-x=(eq\f(1,3))x,显然图象错误;选项B中,y=x3,由幂函数图象可知正确;选项C中,y=(-x)3=-x3,显然与所画图象不符;选项D中,y=log3(-x)的图象与y=log3x的图象关于y轴对称.显然不符.故选B.1.化简eq\f(2lglga100,2+lglga)为()A.1 B.2C.3 D.0答案B解析eq\f(2lglga100,2+lglga)=eq\f(2lg100·lga,2+lglga)=eq\f(2[lg100+lglga],2+lglga)=2.2.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是()答案D解析显然a>0且a≠1.若0<a<1,则只有D符合.若a>1,只有B中y=xa符合,但B中g(x)不符合.3.函数f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与函数g(x)=|x|在区间(-∞,0)上的单调性为()A.都是增函数B.都是减函数C.f(x)是增函数,g(x)是减函数D.f(x)是减函数,g(x)是增函数答案D解析f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在x∈(-∞,0)上为减函数,g(x)=|x|为偶函数,x∈(0,+∞)时g(x)=x为减函数,所以在(-∞,0)上为增函数.4.已知P=,Q=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3,R=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3,则P,Q,R的大小关系是()A.P<Q<R B.Q<R<PC.Q<P<R D.R<Q<P答案B解析由函数y=x3在R上是增函数知,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3,由函数y=2x在R上是增函数知,>2-3=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3,所以P>R>Q.5.函数f(x)=2x|log0.5x|-1与x轴交点的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析函数f(x)=2x|log0.5x|-1与x轴交点个数即为函数y=|log0.5x|与y=eq\f(1,2x)图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y=|log0.5x|,y=eq\f(1,2x)的图象(图略),易知有2个交点.1.函数是高中数学极为重要的内容,函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程,对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题,一直是常考不衰的热点问题.2.从考查角度看,指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主;对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力;对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.课时作业一、选择题1.函数f(x)=eq\f(1,lnx+1)+eq\r(4-x2)的定义域为()A.[-2,0]∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2]C.[-2,2] D.(-1,2]答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1>0,,lnx+1≠0,,4-x2≥0,))得-1<x≤2,且x≠0.即x∈(-1,0)∪(0,2].2.已知x,y为正实数,则()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx·2lgy答案D解析2lgx·2lgy=2lgx+lgy=2lg(xy).故选D.3.设函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1+log22-x,x<1,,2x-1,x≥1,))则f(-2)+f(log212)等于()A.3B.6C.9D.12答案C解析因为-2<1,log212>log28=3>1,所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,f(log212)=2log212-1=2log212×2-1=12×eq\f(1,2)=6,故f(-2)+f(log212)=3+6=9,故选C.4.下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是()A.(-∞,1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3,2))) D.[1,2)答案D解析方法一当2-x≥1,即x≤1时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数f(x)在(-∞,1]上单调递减.当0<2-x≤1,即1≤x<2时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数f(x)在[1,2)上单调递增,故选D.方法二f(x)=|ln(2-x)|的图象如图.由图象可得,函数f(x)在区间[1,2)上为增函数,故选D.5.已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是()答案C解析因为f(x)是函数y=log2x的反函数,所以f(x)=2x,所以y=f(1-x)=21-x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x-1,其函数图象可由函数y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象向右平移1个单位长度得到,故选C.6.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞)上单调递增,若a=f

,b=f

,c=f(-2),则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a答案C解析因为1=eq\r(2)<eq\r(3)<2=2,0<eq\r(2)<eq\r(3)=1,所以0<logeq\r(3)eq\r(2)<eq\r(3)<2.因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(eq\r(2))<f(eq\r(3))<f(2).因为f(x)是偶函数,所以a=f

=f(-eq\r(3))=f(eq\r(3)),b=f

=f(-eq\r(2))=f(eq\r(2)),c=f(-2)=f(2).所以c>a>b.7.当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,则a的取值范围是()A.(0,1) B.(1,2)C.(1,2] D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))答案C解析设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需x∈(1,2)时,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的图象的下方即可.当0<a<1时,由图象知显然不成立;当a>1时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,∴1<a≤2,故选C.二、填空题8.若函数f(x)=xln(x+eq\r(a+x2))为偶函数,则a=________.答案1解析f(x)为偶函数,则ln(x+eq\r(a+x2))为奇函数,所以ln(x+eq\r(a+x2))+ln(-x+eq\r(a+x2))=0,即ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.9.已知=eq\f(4,9)(a>0),则a=________.答案4解析∵=eq\f(4,9)(a>0),∴()=eq\f(4,9)=2,∴eq\f(1,2)a=2,∴a=4.10.若函数y=(3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是________.答案(-8,-6]解析令g(x)=3x2-ax+5,其对称轴为直线x=eq\f(a,6).依题意,有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)≤-1,,g-1>0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤-6,,a>-8.))11.设函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x),x≥0,,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,x<0,))则f(f(-4))=______.答案4解析f(-4)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))-4=16,又f(16)=eq\r(16)=4,∴f(f(-4))=4.12.若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于________.答案1解析∵f(1+x)=f(1-x),∴y=f(x)关于直线x=1对称,∴a=1.∴f(x)=2|x-1|在[1,+∞)上单调递增.∴[m,+∞)⊆[1,+∞).∴m≥1,即m的最小值为1.13.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=x,y=,y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,4)))解析由图象可知,点A(xA,2)在函数y=x的图象上,所以2=xA,xA=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2=eq\f(1,2).点B(xB,2)在函数y=的图象上,所以2=,xB=4.点C(4,yC)在函数y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x的图象上,所以yC=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))4=eq\f(1,4).又xD=xA=eq\f(1,2),yD=yC=eq\f(1,4),所以点D的坐标为eq\b\lc\

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