人教A版必修一课后作业第二章　基本初等函数（Ⅰ）章末复习课

学习目标1.构建知识网络.2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆.3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数.1.知识网络2.要点归纳(1)分数指数幂①＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1).②＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).(2)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a.②当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(3)指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R).②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R).③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).(4)指数式与对数式的互化式logaN＝b⇔ab＝N(a>0，且a≠1，N>0).(5)对数的换底公式logaN＝eq\f(logmN,logma)(a>0，且a≠1，m>0，且m≠1，N>0).推论：bn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，m，n>0，且m≠1，n≠1，b>0).(6)对数的四则运算法则若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).类型一指数、对数的运算例1化简：(1)×÷eq\r(105)；解原式＝＝2－1×103×＝2－1×＝eq\f(\r(10),2).(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－.解原式＝log34－log3eq\f(32,9)＋log38－＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))－＝log39－9＝2－9＝－7.反思与感悟指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.跟踪训练1计算80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(3,2)×eq\r(3))6＋log32×log2(log327)的值为________.答案111解析∵log32×log2(log327)＝log32×log23＝eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg2)＝1，∴原式＝×＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.类型二数的大小比较例2比较下列各组数的大小：(1)27,82；解∵82＝(23)2＝26，由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27即82<27.(2)log20.4，log30.4，log40.4；解∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.44<log0.43<log0.42<log0.41＝0.又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，∴eq\f(1,log0.42)<eq\f(1,log0.43)<eq\f(1,log0.44)，即log20.4<log30.4<log40.4.(3)，log2eq\f(1,3)，eq\f(1,3).解0<<20＝1.log2eq\f(1,3)<log21＝0.eq\f(1,3)>eq\f(1,2)＝1.∴log2eq\f(1,3)<<eq\f(1,3).反思与感悟数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.跟踪训练2比较下列各组数的大小：(1)log0.22，log0.049；解∵log0.049＝eq\f(lg9,lg0.04)＝eq\f(lg32,lg0.22)＝eq\f(2lg3,2lg0.2)＝eq\f(lg3,lg0.2)＝log0.23.又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.(2)a1.2，a1.3；解∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数；当底数0<a<1时在R上是减函数，而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2<a1.3；当0<a<1时，有a1.2>a1.3.(3)30.4,0.43，log0.43.解30.4>30＝1，0<0.43<0.40＝1，log0.43<log0.41＝0，∴log0.43<0.43<30.4.类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用命题角度1函数性质及应用例3已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围.解(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减.(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.①当a<0，b>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>－eq\f(a,2b)，解得x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b)))；②当a>0，b<0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x<－eq\f(a,2b)，解得x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b))).反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究.跟踪训练3已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.解(1)要使函数有意义，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x＋3>0，))解得－3<x<1，∴定义域为(－3,1).(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4].∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4.∵0<a<1，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝＝eq\f(1,2).命题角度2函数图象及应用例4如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A.{x|－1＜x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1＜x≤1}D.{x|－1＜x≤2}答案C解析借助函数的图象求解该不等式.令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换.跟踪训练4若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案B解析由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝(eq\f(1,3))x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称.显然不符.故选B.1.化简eq\f(2lglga100,2＋lglga)为()A.1 B.2C.3 D.0答案B解析eq\f(2lglga100,2＋lglga)＝eq\f(2lg100·lga,2＋lglga)＝eq\f(2[lg100＋lglga],2＋lglga)＝2.2.在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是()答案D解析显然a>0且a≠1.若0<a<1，则只有D符合.若a>1，只有B中y＝xa符合，但B中g(x)不符合.3.函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与函数g(x)＝|x|在区间(－∞,0)上的单调性为()A.都是增函数B.都是减函数C.f(x)是增函数，g(x)是减函数D.f(x)是减函数，g(x)是增函数答案D解析f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在x∈(－∞，0)上为减函数，g(x)＝|x|为偶函数，x∈(0，＋∞)时g(x)＝x为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数.4.已知P＝，Q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3，R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，则P，Q，R的大小关系是()A.P＜Q＜R B.Q＜R＜PC.Q＜P＜R D.R＜Q＜P答案B解析由函数y＝x3在R上是增函数知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，由函数y＝2x在R上是增函数知，＞2－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，所以P＞R＞Q.5.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝eq\f(1,2x)图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝eq\f(1,2x)的图象(图略)，易知有2个交点.1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.课时作业一、选择题1．函数f(x)＝eq\f(1,lnx＋1)＋eq\r(4－x2)的定义域为()A．[－2,0]∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2] D．(－1,2]答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,lnx＋1≠0，,4－x2≥0，))得－1＜x≤2，且x≠0.即x∈(－1,0)∪(0,2]．2．已知x，y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy答案D解析2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)．故选D.3．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x＜1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(log212)等于()A．3B．6C．9D．12答案C解析因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×eq\f(1,2)＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) D．[1,2)答案D解析方法一当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.方法二f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图．由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.5．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是()答案C解析因为f(x)是函数y＝log2x的反函数，所以f(x)＝2x，所以y＝f(1－x)＝21－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，其函数图象可由函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象向右平移1个单位长度得到，故选C.6．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a＝f

，b＝f

，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞a答案C解析因为1＝eq\r(2)＜eq\r(3)＜2＝2,0＜eq\r(2)＜eq\r(3)＝1，所以0<logeq\r(3)eq\r(2)＜eq\r(3)＜2.因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(eq\r(2))＜f(eq\r(3))＜f(2)．因为f(x)是偶函数，所以a＝f

＝f(－eq\r(3))＝f(eq\r(3))，b＝f

＝f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))，c＝f(－2)＝f(2)．所以c＞a＞b.7．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是()A．(0,1) B．(1,2)C．(1,2] D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案C解析设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需x∈(1,2)时，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方即可．当0<a<1时，由图象知显然不成立；当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1<a≤2，故选C.二、填空题8．若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.答案1解析f(x)为偶函数，则ln(x＋eq\r(a＋x2))为奇函数，所以ln(x＋eq\r(a＋x2))＋ln(－x＋eq\r(a＋x2))＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.9．已知＝eq\f(4,9)(a＞0)，则a＝________.答案4解析∵＝eq\f(4,9)(a＞0)，∴()＝eq\f(4,9)＝2，∴eq\f(1,2)a＝2，∴a＝4.10．若函数y＝(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．答案(－8，－6]解析令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝eq\f(a,6).依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)≤－1，,g－1＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－6，,a＞－8.))11．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x<0，))则f(f(－4))＝______.答案4解析f(－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16，又f(16)＝eq\r(16)＝4，∴f(f(－4))＝4.12．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．答案1解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴a＝1.∴f(x)＝2|x－1|在[1，＋∞)上单调递增．∴[m，＋∞)⊆[1，＋∞)．∴m≥1，即m的最小值为1.13．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝x，y＝，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝x的图象上，所以2＝xA，xA＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,2).点B(xB,2)在函数y＝的图象上，所以2＝，xB＝4.点C(4，yC)在函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x的图象上，所以yC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))4＝eq\f(1,4).又xD＝xA＝eq\f(1,2)，yD＝yC＝eq\f(1,4)，所以点D的坐标为eq\b\lc\