高考总复习文数（人教版）讲义第09章平面解析几何第9节第01课时圆锥曲线中的最值与范围问题

第九节圆锥曲线的综合应用考点高考试题考查内容核心素养圆锥曲线的综合应用2017·全国卷Ⅱ·T20·12分定点、定值问题数学运算逻辑推理2015·全国卷Ⅱ·T20·12分定值问题命题分析高考对本节内容的考查以解答题为主，难度较大，考题大多围绕直线与圆锥曲线的位置关系展开对定值，最值，参数取值范围等问题的考查.第一课时圆锥曲线中的最值与范围问题圆锥曲线中的最值问题[明技法]圆锥曲线中求解最值问题的常用方法(1)建立函数模型：利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．(2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值．(3)数形结合：利用相切、相交的几何性质求最值．[提能力]【典例】(2018·安阳月考)设椭圆M：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝eq\r(2)x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，eq\r(2))为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．解：(1)由题可知，双曲线的离心率为eq\r(2)，则椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，由2a＝4，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝eq\r(2)，b＝eq\r(2)，故椭圆M的方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1．(2)联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x＋m，,\f(x2,2)＋\f(y2,4)＝1，))得4x2＋2eq\r(2)mx＋m2－4＝0，由Δ＝(2eq\r(2)m)2－16(m2－4)＞0，得－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2)．且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(\r(2),2)m，,x1x2＝\f(m2－4,4)，))所以|AB|＝eq\r(1＋2)|x1－x2|＝eq\r(3)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(3)·eq\r(\f(1,2)m2－m2＋4)＝eq\r(3)·eq\r(4－\f(m2,2))．又P到直线AB的距离为d＝eq\f(|m|,\r(3))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(\r(3),2)·eq\r(4－\f(m2,2))·eq\f(|m|,\r(3))＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(m2,2)))·m2)＝eq\f(1,2\r(2))eq\r(m28－m2)≤eq\f(1,2\r(2))·eq\f(m2＋8－m2,2)＝eq\r(2)．当且仅当m＝±2∈(－2eq\r(2)，2eq\r(2))时取等号，所以(S△PABmax)＝eq\r(2)．[刷好题]1．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF的面积的最大值为________.解析：不妨设点F的坐标为(eq\r(4－b2)，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×2b×eq\r(4－b2)＝beq\r(4－b2)＝eq\r(b24－b2)≤eq\f(b2＋4－b2,2)＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2．答案：22．(2018·长春模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．解：(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.因为eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，所以y1＝－2y2.②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±eq\f(\r(2),4)．所以直线AB的斜率是±2eq\r(2)．(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．因为2S△AOB＝2·eq\f(1,2)·|OF|·|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝4eq\r(1＋m2)，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．圆锥曲线中的范围问题[明技法]圆锥曲线中求解范围问题的常用方法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[提能力]【典例】(2018·贵阳监测)已知椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为eq\r(3)－eq\r(2)．(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a－c＝\r(3)－\r(2)，))解得a＝eq\r(3)，c＝eq\r(2)，∴b2＝1，故椭圆C的方程为eq\f(y2,3)＋x2＝1．(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：y＝kx＋2代入eq\f(y2,3)＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，Δ＝12k2－12，x1＋x2＝eq\f(－4k,3＋k2)，x1x2＝eq\f(1,3＋k2)．∴x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－2k,3＋k2)，y0＝kx0＋2＝eq\f(6,3＋k2)，|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)eq\f(\r(12k2－12),3＋k2)＝eq\f(2\r(3)\r(k4－1),3＋k2)，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝12k2－12＞0，,\f(6,3＋k2)≤\f(1,2)|AB|，))解得k4≥13，即k≥eq\r(4,13)或k≤－eq\r(4,13)．故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－eq\r(4,13)]∪[eq\r(4,13)，＋∞)．[刷好题](2018·贵阳月考)设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,8－a2)＝1(a＞0)的焦点在x轴上，且椭圆E的焦距为4．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角为eq\f(5π,6)的直线l与椭圆交于C，D两点，若椭圆E的右焦点F在以弦CD为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．解：(1)∵椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,8－a2)＝1(a＞0)的焦点在x轴上，a2＝b2＋c2，∴a2＞8－a2，即a2＞4，又∵a2－(8－a2)＝4，∴a2＝6，所以椭圆方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1．(2)因为直线l的倾斜角为eq\f(5π,6)，则直线l的斜率k＝taneq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),3)，∴直线l的方程为y＝－eq\f(\r(3),3)(x－m)(m＞eq\r(6))，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(\r(3),3)x－m，,x2＋3y2＝6，))消去y得2x2－2mx＋m2－6＝0，∴x1＋x2＝m，x1x2＝eq\f(m2－6,2)，且Δ＝(－2m)2－8(m2－6)＞0，即m2∵椭圆的右焦点F在以弦CD为直径的圆的内部，∴e