(完整版)导数的四则运算法则

§4导数的四则运算法则一、教学目标：1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。过程与方法通过用定义法求函数f(x)=X+X2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。二、 教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明三、 教学方法：探析归纳，讲练结合四、 教学过程(一)、复习：导函数的概念和导数公式表。1.导数的定义：设函数y=f(x)在x二x0处附近有定义，如果AxT0时，Ay与Ax的比Ay Ay(也叫函数的平均变化率)有极限即子无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做TOC\o"1-5"\h\zAx Axf(x+Ax)—f(x)函数y=f(x)在xTx处的导数，记作y/ ，即f/(x)=lim—0 —0 x=x0 0 axto Ax2.导数的几何意义：是曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线的斜率*因此，如果00y=f(x)在点x可导，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线方程为000y—f(x0)=f/(x0)(x—x0)'3.导函数(导数):如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个xe(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x),称这个函数f/(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数,

求函数y=f(x)的导数的一般方法：(1)求函数的改变量Ay=f(X+Ax)-f(x).(2)求平均变化率算=f(x+严)_Ax Ax(3)取极限，得导数y/=f'(x)=lim学-AxtOAx常见函数的导数公式：C'=0；(xn)'二nxn-1、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x) [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)证明：令y=f(x)=u(x)土v(x)，Ay=[u(x+Ax)土v(x+Ax)]-[u(x)土v(x)]=[u(x+Ax)-u(x)]土[v(x+Ax)-v(x)]=Au土Av，AyAxAuAv=AyAxAuAv=+ Ax AxlimG=Axt0AxlimAxt0+Av、Ax丿Au Av=lim土limAxt0AxAxt0Ax即 [u(x)土v(x)]'=u'(x)土v'(x).例1：求下列函数的导数：(1)y=x2+2x； (2)y=px-Inx； (3)y=(x2+1)(x一1)； (4)1-xy= +x2。x2解：(1)y=(x2+2x)=(x2)+(2x)=2x+2xln2。2)y'=(、：2)y'=(、：x-lnx)'=(\x)'-(lnx)'=112^xx( 3 )y'=[x2+1)(x-1)]=(x3-x2+x-1)'=(x3)'-(x2)'+(x)'-(1)'=3x2-2x+1。r1-x)r11)y'=+x2=—一一+x2Ix2 丿(x2x丿(4)C-2-x-1+x2+2x=(x-2)'-(x-1)'+(x2)'=-2x-3+x-2+2+2x例2：求曲线y=x3-上点(1,o)处的切线方程。x解：y解：y=1)x3一一x丿=3x2+丄。x2将X=1代入导函数得即曲线y即曲线y=x3-上点(1,x0)处的切线斜率为4，从而其切线方程为y-0=4(x-1),设函数y=f(x)在x0处的导数为广(x0)，g(x)=x2。我们来求y=f(x)g(x)=x2f(x)在x0处的导数。Ay (xAy (x+Ax)2f(x+Ax)-x2f(x)= 0 0 00—Ax Ax(x + Ax)2[f(x +Ax)-f(x)]+kx + Ax)2- x2 f(x )= 0 0 0 0 0 0—Axf(x+Ax)-f(x)+(x+Ax)2-x20 0+ 0 0f(x)八0=(x+Ax)20AxAx令A令AxT0，由于lim(x+Ax)2=x2AxT0 0 0Axlimf(x0也一f(%)=f'(xAxAxT0 Ax 0十(x+Ax)2-x2lim0 4=2xAxT0 Ax 0知y=f(x)g(x)=x2f(x)在x0处的导数值为x0f'(x0)+2x0f(x0)。因此y二f(x)g(x)二x2f(x)的导数为x2f'(x)+(x2)'f(x)。一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x)，我们有[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g(x)'f(x)g(x)=f'(x)g(x)-f(f(x)g(x)g2(x)特别地，当g(x)=k时，有[[kf(x)]'=kf'(x)例3：求下列函数的导数：(1)y=(1)y=x2ex；I •(2)y=xsinx；(3)y=xlnx。解：(1)y'=(x2ex)=(x2)'ex+x2(ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex；(2)y'=(ixsinx)'=(弋x)'sinx+、x(sinx)'= +、：xcosx；2jx(3)y'=(xlnx)'=(x)'lnx-x(lnx)'=1-lnx-x-—=lnx+1。x例4：求下列函数的导数：sinxsinx(1)y=xx2⑵y=忑解：(1)y'=(2)y'二/x解：(1)y'=(2)y'二/x2、Jnx丿_(sinx)'-x-sinx-(x)'_cosx-x-sinx-1_xcosx-sinxx2x2x2_1_(x2)-lnx-x2-(lnx)'_2x'lnx-x2匚_x(2lnx-1)ln2x(lnx)2ln2x、练习：课本P/练习：1、2.课本P练习1.4446课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。[f(x)+g(x)]'_f'(x)+g'(x) [f(x)-g(x)]'_f'(x)-g'(x)[f(巧推)]'_f'(x)g(x)+f(x)g(x)'[供]'_f'(x)g(x：〈(x)g(x)Lg(x)」 g2(x)、作业：课本P习题2-4：A组2、3B组247五、教后反思：本节课成功之点：从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f(x)=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明由定义法求f(x