31不等式的基本性质（六大题型）

3．1不等式的基本性质课程标准学习目标1、通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系．掌握不等式的性质；2、会用不等式的性质证明简单的不等式．3、培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力.1、逻辑推理：运用不等式的性质证明不等式；2、数学运算：运用不等式的性质求解证明不等式；3、直观想象：在几何图形中发现不等式；4、数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题．知识点01符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，．比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③．对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．【即学即练1】若，，则、、从小到大的排列为．【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.知识点02不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：（1）对称性：（2）传递性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，运算性质有：（1）可加法则：（2）可乘法则：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．【即学即练2】已知，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】选项A，因为，则，所以，故A正确；选项B，当时，由，则，故B错误；选项C，若，则，所以，故C错误；选项D，若，则，故，故D错误.故选：A.知识点03比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．【即学即练3】设a、b为实数，比较与的值的大小.【解析】由，又a、b为实数，，，则，所以.题型一：用不等式（组）表示不等关系【典例11】（2024·高一·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（

）A．且 B．或C．且 D．或【答案】A【解析】由速度v的最大值为120km/h，故，由车间距d不得小于10m，故，即有且.故选：A.【典例12】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，所以有.故选：B.【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量．（2）用适当的不等号连接．（3）多个不等关系用不等式组表示．【变式11】（2024·高一·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【解析】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c，则，又，若，则，不满足；若，则，不满足；若，则，不满足；若，则，满足；则，，，则.故选：C.【变式12】（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D．【变式13】（2024·高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（

）A．18 B．20 C．22 D．28【答案】C【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且，于是，则，又，解得，因此，此时，所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22.故选：C题型二：作差法比较两数（式）的大小【典例21】（2024·高一·上海·课堂例题）已知，求证：.【解析】，因为，所以，又，所以，所以.【典例22】（2024·高一·上海·课堂例题）原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明.【解析】因为，，所以，所以；又，因为，，所以，，所以，即综上，.【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤【变式21】设x是实数，比较与的值的大小.【解析】，，因为，所以，即.【变式22】已知是实数，(1)求证：，并指出等号成立的条件；(2)求证：如果，那么.【解析】（1）因为，当且仅当，即时，等号成立；（2）因为，则，又（等号不成立），所以，故.题型三：利用不等式的性质判断命题真假【典例31】（2024·高一·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确；对B，当时，满足，但，所以B不正确；对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确；对D，举例，则，则，所以D不正确.故选：C.【典例32】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（

）.A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【解析】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误；对于B，因为，所以，又因为，所以，故B错误；对于C，若，，则不一定成立，如当，时，，此时，故C错误；对于D，，因为，，所以，所以，故，故D正确.故选：D.【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．【变式31】（2024·高一·全国·课后作业）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是．【答案】①④⑥【解析】因为，则，所以，即，故①正确；由，不等式两边同时乘时，，对于，两边同乘，可得，故，即，则②错误；因为，所以，则，所以，即，则③错误；由，不等式边同时乘，得，故④正确；由，因为，所以，又因为，所以，即，故⑤错误；由可得，，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥.故答案为：①④⑥.【变式32】（2024·高一·广东梅州·开学考试）若、、，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，B，取，，则，，故A，B错误；对于C，因为，，所以，故C正确；对于D，取，则，故D错误；故选：C【变式33】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】选项A，若，则结论错误，故选项A错误；选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误；选项C，当时，，故选项C错误；选项D，可知，，故选项D正确.故选：D【变式34】（2024·高三·广西·学业考试）若实数a，b满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，故A正确，B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D错误.故选：A.题型四：利用不等式的性质证明不等式【典例41】已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件．【解析】由题意可知：，因为，则，且，当且仅当时，等号成立，所以，即，等号成立的条件为.【典例42】（1）已知，，求证：；（2）已知，，求证：．【解析】证明：（1）因为，所以．又．所以，所以．又因为，所以．（2）因为，要证，只需证明，展开得，即，因为成立，所以成立．【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有；；．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．【变式41】已知，．求证：．【解析】因为，所以，因为，所以，即，即【变式42】（2024·高一·全国·专题练习），，，，设，证明：.【解析】因为，故，，，.故有；由于，故，同理还有，所以.这就证明了.【变式43】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小；（2）证明：已知，且，求证：.【解析】（1），则；（2）因为，且，则，则，则，则，则，则，又则.命题得证.【变式44】（2024·高一·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；（2）证明：已知，且，求证：【解析】（1）因为，作差得，因为，，所以，，所以，即；（2）因为，且，，，所以，所以所以，所以，所以，故.【变式45】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：；（2）已知，求证：（3）已知，求证：【解析】（1）因为，可得，所以，又因为，可得.（2）因为，所以，又因为，所以，可得，因为，根据不等式的性质，可得，即以.（3）因为，要证，只需证明，展开得，即，即，又因为，所以.题型五：利用不等式的性质比较大小【典例51】（2024·高一·青海玉树·期末）已知，则．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】【解析】，因为，所以，，所以，，又因为，，所以.故答案为：.【典例52】（2024·高二·陕西榆林·期中）设，，则，的大小关系为.【答案】【解析】由结合不等式的性质得出答案.，则，即故答案为：【方法技巧与总结】注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则【变式51】（2024·高一·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是.【答案】【解析】由,有，，则，故,故答案为：.【变式52】（2024·高一·上海·课前预习）已知，有以下说法：①若，则；②若，则；③若，则，其中正确的是．【答案】①【解析】对于①，若，则；①正确，对于②,若，当时，则，故②错误，对于③,若，当时，则，故③错误，故答案为：①【变式53】（2024·高一·上海黄浦·阶段练习）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是．【答案】③【解析】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误；对于②，当时，满足，不满足，故②错误；对于③，由，则，即，故③正确；对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误.故答案为：③【变式54】已知a，，则下列选项中能使成立的是，能使成立的是（填上正确的序号）．①

②

③

④【答案】①④②④【解析】①得，④得，故能使成立的是①④；，则，由②故，由④，故，故能使成立的是②④．故答案为：①④，②④.在下列空格上填适当的不等号：（1）若，则；（2）若，，则1；．【答案】>><【解析】（1）由于，故，即，（2）由于，则，又，，故答案为：>，>，<题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典例61】（多选题）（2024·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，两式相乘得，所以，A正确；由题得，又，两式相乘得，所以，B错误；因为，所以两式相乘得，C正确；因为，所以两式相乘得，D错误．故选：AC【典例62】（多选题）（2024·高一·四川绵阳·阶段练习）已知，则的取值可以为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】ABC【解析】设，则，解得，，，，即，故选：ABC.【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知，要求的范围，不能分别求出的范围，再求的范围，应把已知的“”“”视为整体，即，所以需分别求出的范围，两范围相加可得的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【变式61】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】设，故且，所以，故，由于，，所以，，故最小值为，此时，故选：B.【变式62】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，所以．故选：B.【变式63】（多选题）（2024·高一·河南省直辖县级单位·阶段练习）设为实数，满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，所以，故错误，正确.，所以，故C正确.，所以，故D错误.故选：BC.【变式64】（多选题）（2024·高一·河北·阶段练习）已知，则以下命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A：,故A错误.对于B：,故B正确.对于C：,故C错误.对于D;,故D正确.故选：BD.【变式65】（多选题）（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因为，，则，，故A、C正确；由题，故，B错误；，则，故，D正确；故选：ACD.【变式66】（2024·高三·福建宁德·开学考试）已知，则的取值范围是.【答案】【解析】设，所以，解得，所以，又，所以，又所以上述两不等式相加可得，即，所以的取值范围是，故答案为：.1．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，推不出，而，所以命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选：B2．（2024·高一·贵州·阶段练习）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【解析】选项A：当时，，故A错误；选项B：因，，所以，得，故B正确；选项C：当时，满足，，但，故C错误；选项D：当时，满足，，但，故D错误，故选：B3．（2024·高一·湖北随州·阶段练习）若，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，，因为，故，即，故A错；对于B，不确定符号，取则，故B错误；对于C，，因为，故，即，故C正确；对于D，，因为，故，即，故D错误．故选：C4．（2024·高三·山东潍坊·期末）若则下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，取，则，选项A错误；对于B，由于函数在0,+∞上单调递增，又，则，选项B正确；对于C，取，则，选项C错误；对于D，取，则，选项D错误．故选：B．5．（2024·高一·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（

）A．不等式和均不能成立B．不等式和均不能成立C．不等式和均不能成立D．不等式和均不能成立【答案】B【解析】对于A，因为，所以，所以，即成立，因为，所以，，所以，所以，所以不成立，所以A错误，对于B，由选项A可知不成立，因为，所以，，所以，，所以，所以，所以不成立，所以B正确，对于CD，因为，所以，所以，所以，所以成立，所以CD错误，故选：B6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足，的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】设，，，，∴，.∴赋分是或.故选：D.7．（2024·高三·全国·专题练习）记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故选：A8．（2024·高一·湖北恩施·期末）某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价m+n2%，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断【答案】C【解析】不妨设商品原价格为，则方案甲两次降价后的价格为：；方案乙两次降价后的价格为：；方案丙两次降价后的价格为：.所以，方案甲和方案乙两次降价后的价格相同；又（因为，故不能取“”）所以，方案丙两次降价后的价格最高.故选：C9．（多选题）（2024·高一·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（

）A．，当时，B．，当时，C．，当时，D．，当时，【答案】CD【解析】对于A，取，满足，且，此时，，故A错误；对于B，取，满足，此时，则，故B错误；对于C，因为，当时，，所以，则，故C正确；对于D，存在，，满足，故D正确.故选：CD.10．（多选题）（2024·高一·江苏南京·阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若且，则【答案】BCD【解析】对A：若，则，故A错误；对B：由，则，，即，故B正确；对C：由，则，又，则，故C正确；对D：由，则，因为，则，故，故D正确.故选：BCD.11．（多选题）（2024·高一·江苏南通·期末）若，，则（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】对A：取，，，，则，，故A错误；对B：由，，则，则有，故B正确；对C：由，，则，且等价于，等价于，等价于，即C正确；对D：由，，则，，即等价于，由，即等价于，等价于，即，故D正确.故选：BCD.12．（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】CD【解析】对于A项：因为：，，所以得：，又因为：，所以得：，故A项错误；对于B项：令，，所以得：，但，故B项错误；对于C项：由，得：，所以得：，故C项正确；对于D项：由，m>0，得：，所以得：，故D项正确；故选：CD.13．（2024·高一·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是（填写序号）．①

②

③

④【答案】②【解析】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误；对于②，当时，因为，所以成立；反之，由“”不能推出“”，所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确；对于③，取，满足“”，但“”不成立，故“”不是“”的充分条件，故③错误；对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立，反之，当“”成立时，也有“”成立，故“”是“”的充分必要条件，④不正确.故答案为：②.14．（2024·高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围为.【答案】【解析】设，则，解得，所以，因为，，所以，，所以．则的取值范围为．故答案为：.15．（2024·高一·上海·期中）已知，则的取值范围是．【答案】【解析】可令，即，解得，所以，又，所以，即，可得；所以的取值范围是.故答案为：16．（2024·高一·全国·课后作业）已知x，y为实数，满足，，则的最大值是，此时.【答案】323【解析】∵，∴.∵，∴.由不等式的性质，得，即，故的最大值为32，此时，即，∴.故答案为：32；3.17．（2024·高一·河南驻马店·开学考试）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地