专题157轴对称图形中的最值问题十大考点（沪科版）

专题15.7轴对称图形中的最值问题十大考点【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1两点之间线段最短】 1【题型2垂线段最短】 4【题型3平行线之间的距离最短】 9【题型4将军饮马（两定一动）】 14【题型5三点共线（两定一动最大值）】 18【题型6双对称周长最小】 22【题型7两定两动】 29【题型8两定一定长】 36【题型9两动一定】 41【题型10费马点】 45【题型1两点之间线段最短】【例1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．

【答案】4【分析】将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点A'，再连接A【详解】解：将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点A'，再连接A

线段A'B与4号钢梁相交，则从故答案为：4【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，先对A点进行平移．【变式11】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）在同一平面内，线段AB=5cm，C为任意一点，则AC+【答案】5【分析】分三种情况讨论∶当点C在线段AB上时，当点C在线段AB的延长线或反向延长线上时，点C在线段AB外时，结合两点之间，线段最短，即可求解．【详解】解：当点C在线段AB上时，AC+当点C在线段AB的延长线或反向延长线上时，∴AC+点C在线段AB外时，∵两点之间，线段最短，∴AC+综上所述，AC+BC的最小值为5故答案为：5cm【点睛】本题主要考查了线段之间的数量关系，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．【变式12】（2023春·山西运城·八年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）．A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．【详解】解：如图：作点A关于街道的对称点A'，连接A'B∴A'∴AC+在街道上任取除点C以外的一点C'，连接A'C'，∴AC在ΔA∴A'∴AC∴点C到两小区送奶站距离之和最小．

故选：C．【点睛】本题考查轴对称最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点C的位置．【变式13】（2023春·全国·八年级课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短，利用平移思想进行作图即可．【详解】解：如图所示：

（1）过点P作PA⊥l1，垂足为A，过点Q作QB（2）分别在PA和QB上截取PC=（3）连接CD，分别交l2和l3于点E和（4）过点E和M分别作l1和l4的垂线段，垂足分别为F和（5）连接PF和QN．则桥建在FE和MN处才能使两村之间的路程最短．【点睛】本题考查最短路径问题．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用平移思想进行转化求解．【题型2垂线段最短】【例2】（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在线段BC上，CD=3.3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF

【答案】1.3【分析】过D作BD垂线且使得B'D=BD，连接B'E，构造△B'DE≌△BDF得BF=B'E，根据点到直线垂线段最短知B【详解】解：如图，过D作BD垂线且使得B'D=BD，连接B

∵∠EDF=∠B'∴∠BDF+∠B'DF=∠B'DF∴∠BDF=∠B'在△B'DE与△B'∴△B'DE∴BF=B'∵点到直线垂线段最短，∴B'E⊥AC时，B过点B'作B'G⊥AC交∵∠C=∠CDB'=∠CG∴AC∥BD,∴B'G=CD=3.3，CG=∴BF取最小值时AE故答案为：1.3．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，平行线之间的距离相等，作出辅助线构造△B'DE【变式21】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是．

【答案】1【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△【详解】解：取BC的中点G，连接MG，如图所示：

∵旋转角为60°，∴∠MBH又∵∠MBH∴∠HBN∵CH是等边△∴HB∴HB又∵MB旋转到BN∴BM在△MBG和△BG=∴△MBG∴MG根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，此时即∵∠BCH=1在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∴HN故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含30°的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．【变式22】（2023春·全国·八年级课堂例题）如图，OB平分∠MON,A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为E,AE=3,D为OM

【答案】6【分析】根据BC∥OM，OA=AB，可以证明△OAD≌△BAC，得到AD【详解】∵BC∥∴∠DOA∵点A为OB的中点∴OA=∵∠DOA∴△OAD∴AD=∴CD=2∴线段CD的最小值转化为线段DA得最小值，根据垂线段最短，∴DA⊥∵AE⊥ON，OB平分∴AE=∵AE=3∴AD=3∴CD=2故答案为：6．【点睛】本题考查了角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握角的平分线性质定理，三角形全等，垂线段最短是解题的关键．【变式23】（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为AC上一动点，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接

【答案】9.6【分析】过B作BF⊥AC于点F，利用勾股定理建立方程便可求得BF，由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，【详解】解：过B作BF⊥AC于点

∵平行四边形ADBE中，AD∥BE，即∵AB=AC=10设CF=x，则AF∵BF即122解得，x=7.2∴CF=3.6∴BF=B由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，由于平行线间的距离处处相等，AC∥BE，故这个最小值也就是∴DE的最小值为9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识；构造直角形求出BF是解题的关键．【题型3平行线之间的距离最短】【例3】如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是．

【答案】8【分析】根据垂线段最短进行求解即可【详解】解：∵直线，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，∴根据垂线段最短可知，在运动过程中，当时，线段有最小值，∵a，b之间相距，∴线段的最小值为，故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线之间的距离的定义和垂线段最短，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键．【变式31】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．【详解】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式32】（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记．(1)若，则线段与的公共点个数可能为______；(2)若取最小值且，则的取值范围是______．【答案】(1)0或1(2)【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解；（2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可．【详解】（1）解：如图所示，当点A和B均在直线上方且到的距离相等时，此时线段与的公共点个数为0；

当点A和B在直线，之间时，如图所示：此时线段与的公共点个数为1；

故答案为：0或1；（2）当取最小值且时，如图所示：此时点A恰好在，的中间直线上，∴，之间的距离为2，即，

当点P在上方或下方时，如图所示：

此时即为，之间的距离为2；当点P在，之间时，如图所示：

∵，∴当点P在，的中间直线上时，，当点P不在，的中间直线上时，；综上可得：，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．【变式33】（2023春·八年级课时练习）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当时，有最小值，求m的值；（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．【答案】（1）10；（2），见解析；（3）或【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；（2）当t＜m时，过P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论．【详解】解：（1）当点P与E不重合时，在中，，当点P与E重合时，此时最小，∴．∵，，∴．∴．故时，值最小；（2），理由如下：如图，当即时，点P在AE上，过点P作，∵，∴．∴，，∴．∵，∴；（3）当m＜t≤15即10＜t≤15时，点P在线段BE上，过点P作PHa，如图：又∵ab，∴PHab，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即当10＜t≤15时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；当t＞15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PGa，如图：又∵ab，∴PGab，∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，∴∠CPG＝180°－∠PCM，∠DPG＝180°－∠PDA，又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM＝∠PCM－∠PDA，∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．综上所述，当t＞10时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．【点睛】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是解题的关键．【题型4将军饮马（两定一动）】【例4】（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，P为线段AB【答案】5【分析】作C点关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于P点，连接C'B，根据勾股定理即可求出C【详解】解：如图，作C点关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于P点，则PC+PD=P连接C'∵∠∴∠ABC∵C点与C'关于AB∴∴∠∵BC=2,D为∴∴∴PC+PD故答案为：5．【点睛】本题主要考查了轴对称以及求最短路径问题，熟练掌握将军饮马模型是解题的关键.【变式41】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

【答案】17【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点A'，连接A'B，构建直角三角形，则A'B就是最短路线；在Rt△A'DB【详解】如图，做出点A关于小河MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P

由题意知：A'D=4+4+7=15km，在Rt△A'则他要完成这件事情所走的最短路程是17km【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．【变式42】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．【答案】4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，证明△CBD≌△A'BD，得到CD=A'D，推出当A、D、A'三点共线时，AD+CD最小，此时AD【详解】解：如图，连接A'D∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，∴∠ABC=∠A'BC'=60°，A'∴∠CBC'=60°∴∠CBC'=∠A'B∵BD=BD，∴△CBD≌△A'BD∴CD=A'D∴AD+CD=A'D+CD∴当A、D、A'三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A'B+AB=故答案为：4．．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式43】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为【答案】(1)9(2)9【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为【详解】（1）解：∵AB=AC∴∠∵AB边的垂直平分线交AB于点D，∴BE=∴∠∴∠在Rt△CAE∴CE∴BC（2）解：如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B；连接B,C两点，与直线DE交于点∵PA∴PA根据两点之间线段最短则BC即为PA+PC【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．【题型5三点共线（两定一动最大值）】【例5】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质得到MA=【详解】解：∵MN垂直平分AC∴MA又∵C△BMC∴BC在MN上取点P，连接PA、PB、PC，∵MN垂直平分AC∴PA∴PA在△PBC中PC当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，(此时PC-故答案为：8cm【点睛】本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键．【变式51】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值．【答案】（1）见解析；（2）见解析，|PB﹣PA|的最大值为3．【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；（2）由于PA=PA1，则|PB﹣PA|=|PB﹣PA1|，而由三角形的三边关系可得|PB﹣PA1|≤A1B，当P、A1、B三点共线时取等号，从而可得答案．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，点P为所作，|PB﹣PA|的最大值是A1B的长，为3．【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．【变式52】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB=6，则BP【答案】3【分析】连接PC，则BP=CP，BP-PE=CPPE，当点P与点A重合时，CPPE=【详解】解：连接PC，∵在等边△ABC中，AB=6，P是△ABC∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴BP-PE=CP∵在△CPE中，CPPE＜CE∴当点P与点A重合时，CPPE=CE，∵E是AC边的中点，∴BP-PE的最大值故答案是：3．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到BP-PE=CP【变式53】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD=25°，P【答案】5【分析】作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'、B'P．则AB=AB'，PB'=PB，△AB'C是等边三角形，在△PB【详解】解：如图，作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、C则AB=AB'，PB∵AB=∴AB∴△A∴B'在△PB'当P、B'、C在同一直线上时，PB'-PC∴PB'-故答案为：5．【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．【题型6双对称周长最小】【例6】（2023春·福建福州·八年级统考开学考试）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N

【答案】150【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A″，即可得出∠【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N

∵∠DAB∴∠A∵∠A'=∠MAA'，∴∠故答案为：150．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．【变式61】（2023春·辽宁辽阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A-2,3，B(1)请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1(2)△ABC的面积是________(3)在y轴上有一点P，使得△ABP的周长最小，请直接写出点P的坐标及△【答案】(1)画图见解析，A(2)5.5(3)P（0，115），【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点并顺次连接A1、B1（2）利用割补法计算△ABC（3）如图，连接A1B交y轴于点P'，连接P'A，PA1，根据轴对称的性质可推出当A1、B、【详解】（1）解：如图，△A∴A1

（2）解：△ABC的面积=4×5-（3）解：如图，连接A1B交y轴于点P'，连接P∴PA=∴△ABP的周长=∴当A1、B、P三点共线时，PA1+PB设直线A1B解析式为y∴-3解得k=∴直线A1B解析式为在y=25x+∴P'∵A1∴点P的坐标为0，115，△

【点睛】本题考查了，一次函数与坐标轴的交点问题，割补法求面积，坐标与图形变化——轴对称：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路径问题．【变式62】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．【答案】见解析．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，则M′M″即为△PMQ最小周长．【详解】解：如图，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，则M′M″即为△PMQ最小周长．所以点P，点Q即为所求．【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是根据题意找到对称点．【变式63】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8．如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA

(1)求点E的坐标及折痕DB的长；(2)如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设OH=x，GC=y(3)在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=5，取线段BA段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形BMNF【答案】(1)E4,0；(2)y(3)图见解析，周长最小值为22【分析】（1）根据矩形的性质得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根据折叠的性质得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，则