153分式方程（原卷版）

八年级上册数学《第十五章分式》15.3分式方程知识点一知识点一分式方程的概念◆1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π是常数)．知识点二知识点二分式方程的解法◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.◆2、“去分母法”解分式方程的步骤（1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；（4）写出原方程的解.简记为：“一化二解三检验”.◆3、检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解.◆4、分式方程的增根增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．知识点三知识点三分式方程的应用◆列分式方程解应用题的一般步骤：1.审清题意；2.设出未知数；3.找相等关系；4.列出方程；5.解这个分式方程；6.检验(包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；7.作答.题型一题型一分式方程的概念【例题1】（2022秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．2x＝解题技巧提炼分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．【变式11】（2022秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．3x＝【变式12】（2023春•渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是（）A．x+1x B．C．x+23=5 【变式13】（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+1x，②1a−3＝a+4，③x2+5xA．1 B．2 C．3 D．4【变式14】（2023春•宜宾月考）在方程1x+1=3y−2，3+1x=2，x【变式15】下列方程：①3−x7=2，②xπ=3，③4x−13−x+12=54，④题型二题型二解分式方程【例题2】（2022春•濮阳期末）解分式方程xx−3A．x＝5﹣2（x﹣3） B．x＝﹣5﹣2（x﹣3） C．x＝5﹣2（3﹣x） D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）解题技巧提炼1、解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．2、解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．【变式11】关于x的分式方程mx−5A．方程的解是x＝m+5 B．m＞﹣5时，方程的解是正数 C．m＜﹣5时，方程的解为负数 D．无法确定【变式12】（2022春•南岸区期末）解分式方程x−1x−2解：方程两边都乘x（x﹣2），得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②解这个方程，得x＝1③检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④以上解答过程中，开始出错的一步是（）A．① B．② C．③ D．④【变式13】（2023•高新区校级模拟）解分式方程x2x−1A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）【变式14】（2023秋•昌黎县期中）分式31−x与2x互为相反数，则A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【变式15】（2023秋•长沙期中）解分式方程：（1）1m+2+1m−4=【变式16】（2023秋•武冈市期中）解方程：（1）2xx−2−2【变式17】（2023秋•宁远县期中）解方程：（1）2x=3x+1；题型三题型三用换元法解分式方程【例题3】（2022秋•仁寿县校级月考）若4x2−A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2解题技巧提炼1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．【变式31】（2023春•万源市校级期末）用换元法解方程x2−12x−A．y−1y−3＝0 B．y−4y−3＝0 C．y−【变式32】（2023春•松江区期末）解方程x−1x−2xx−1=3时，设A．y−2y=3 B．y2﹣2y＝3 C．y2﹣3y﹣2＝0 D．y2【变式33】（2023春•虹口区期末）用换元法解分式方程时x−1x−2xx−1+1=0，如果设A．y2+y﹣2＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．2y2﹣y+1＝0 D．2y2﹣y﹣1＝0【变式34】（2022秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：x−1x解：设y=x−1x，则原方程化为：y方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y−4当y＝2时，x−1x=2，解得：当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x经检验：x1＝﹣1或x2=1∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2=1上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：（1）若在方程x−14x−xx−1=0中，设y（2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2【变式35】在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（xx−1）2﹣4（x学生甲：老师，原方程可整理为x2老师：很好，当然可以这样做．再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？学生乙：老师，我发现xx−1老师：很好，我们把xx−1看成一个整体，用y表示，即可设xx−1=y，那么原方程就变为y2全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y﹣2）2＝0老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y2﹣4y+4＝0的根是y＝2，那么就有xx−1学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x＝2，再验根就可以了！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK，换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：（1）（2xx−1）2−（2）6x−y题型四题型四用分式方程的解确定字母的值【例题4】（2022春•盐城期末）若x＝4是分式方程a−2x=1A．3 B．4 C．5 D．6解题技巧提炼把分式方程的解代入到原方程中，得到关于某个字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可.【变式41】（2023•淄博）已知x＝1是方程m2−x−1A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【变式42】（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程2ax+3a−x=3A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【变式43】（2023•锦江区模拟）若关于x的分式方程mx−2−x−12−x=3A．1 B．2 C．3 D．5【变式44】（2023•驻马店二模）若关于x的分式方程m+xx−1=mA．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【变式45】已知方程1x−1=ax+1的解为【变式46】（2022秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程2x+4=mx与分式方程32x=题型五题型五用分式方程的解确定字母的取值范围【例题5】（2023春•雁塔区校级期末）若关于x的分式方程mx−2−x−1A．m＞﹣5 B．m＞﹣5且m≠﹣1 C．m＞﹣3 D．m＞﹣3且m≠﹣1解题技巧提炼先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根据题中的条件得出关于这个字母的不等式，然后解不等式，从而确定字母的取值范围,同时要注意排除增根.【变式51】（2023春•莲池区校级期末）若关于x的分式方程2x−ax−2=1A．a≥23 B．aC．a≥23且a≠4 D．a≤2【变式52】（2022秋•新抚区期末）若关于x的方程mx+1−2是（）A．m＜2 B．m＜3 C．m＜2且3m≠1 D．m＜3且m≠2【变式53】（2023秋•渝中区校级期中）若整数a使关于x的不等式组2x−7≥x−8a−6x整数解，且使关于y的分式方程ay−3+33−y=−1为（）A．8 B．6 C．10 D．7【变式54】（2022秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程k2x−4−1=x【变式55】若关于x的方程xx−4−3=a【变式56】（2022秋•石家庄期末）若关于x的分式方程xx−2=2−m题型六题型六利用分式方程的增根确定字母的取值【例题6】（2022秋•益阳期末）已知关于x的方程kx−3+3=x−4解题技巧提炼1.增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．2.检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．【变式61】（2022秋•芝罘区期末）若关于x的分式方程1x−2=mA．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2【变式62】（2023秋•慈利县期中）若关于x的分式方程2x−4=3−mA．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【变式63】（2022秋•武冈市期末）关于x的方程：ax+1x−1−2【变式64】（2022秋•娄星区校级期中）若关于x的分式方程xx+1−m+1【变式65】（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程xx−3（1）m为何值时，这个方程的解是5？（2）m为何值时，这个方程有增根？题型七题型七利用分式方程的无解确定字母的取值【例题7】（2022秋•泰山区校级期末）若关于x的分式方程xx−3+3aA．1 B．1或12C．﹣1或12 解题技巧提炼分式方程的无解有两种情况：一是分式方程转化为整式方程无解；二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0.【变式71】（2023秋•海阳市期中）若分式方程2+1−kxx−2=A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2【变式72】（2023•洪雅县模拟）若关于x的方程2x=mA．0 B．4或6 C．4 D．0或4【变式73】（2022秋•岱岳区期末）关于x的分式方程7xx−1+5=2m−1x−1无解，则m【变式74】（2023春•灌云县期末）已知关于x的分式方程x−ax−2（1）若分式方程有增根，求a的值；（2）若分式方程无解，求a的值．【变式75】（2023秋•冷水滩区期中）已知关于x的方程3x（1）当a＝6，b＝1时求分式方程的解；（2）当a＝6时，求b为何值时，分式方程3x题型八分式方程的应用题型八分式方程的应用一是分式方程转化为整式方程无解；二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0.【例题8】（2022秋•巧家县期末）某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊的劳动课，计划九（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名同学调往其他劳动区域，这样剩余同学实际平均每人需要采摘的重量是原计划全班学生平均每人需要采摘重量的43倍，设九（1）班学生的人数为xA．100x−10×43C．100x−10=100解题技巧提炼1、列分式方程解应用题的一般步骤：审题、找等量关系、设未知数、列分式方程、解答、检验、作答．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：路程＝速度×时间；工作量问题：工作总量＝工作效率×工作时间；商品销售问题：总价=单价×销量．【变式81】（2022秋•大洼区期末）某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（）A．1000x−50−800xC．1000x=800【变式82】（2023春•余杭区月考）某班同学假日活动去博物馆参观，博物馆距离学校10千米．一部分同学骑自行车先出发，其余同学20分钟后乘汽车出发，两批同学同时到达．已知乘车速度是骑车速度的2倍，设骑车速度为xkm/h，则可列方程．【变式83】【变式84】（2023•曹县二模）在全民健身运动中，骑行运动颇受人民青睐．甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距离30千米的B地，已知甲骑行的平均速度是乙骑行平均速度的1.2倍，若乙先骑行20分钟，然后甲从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的平均速度是每分钟多少千米？【变式85】（2023秋•海阳市期中）科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时问）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题：信息一：乙科研机构送检车的平均速度是甲科研机构送检车的1.2倍．信息二：甲、乙两科研机构送检车行驶的总时间为2小时．（1）求甲科研机构送检车的平均速度；（2）若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？【变式86】（2023秋•娄底期中）2020年11月20日，娄底市荣获“第六届全