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文档简介

20232024学年甘肃省武威市凉州区高一(下)期中数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,−1),b=(m,3),若a//bA.32 B.−32 C.62.已知是i虚数单位,则复数1+2i1+i的虚部是(

)A.−32 B.−12 C.3.八卦是中国文化中的哲学概念,图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,给出下列结论:①BF−②OA+③AE+④OA其中正确的结论为(

)A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③4.cos163∘cosA.−12 B.−32 5.在△ABC中,A=120∘,C=15∘A.4 B.23 C.3 6.一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用,两力大小都为53A.103N B.0N C.57.已知a,b是单位向量,|2a+b|=3,则aA.π6 B.π3 C.2π38.在△ABC中,若AB=4,BC=5,B=60∘,则AC=(

)A.21 B.31 C.51二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.关于复数,给出下列命题正确的是(

)A.3>3i B.16>(4i)2 C.2+i>1+i 10.下列命题的判断正确的是(

)A.若向量AB与向量CD共线,则A,B,C,D四点在一条直线上B.若A,B,C,D四点在一条直线上,则向量AB与向量CD共线C.若A,B,C,D四点不在一条直线上,则向量AB与向量CD不共线D.若向量AB与向量BC共线,则A,B,C三点在一条直线上11.下列函数中,以π为最小正周期,且在区间(π2,π)上单调递增的是A.y=tanx B.y=|sinx| C.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.复数3i−1的共轭复数是______.13.若tanα=−2,则tan2α=______,tan(2α+14.已知A(−2,4),B(1,3),C(m,n),若A,B,C三点共线,则m,n的关系式为______.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z=(m2−m)+(m−3)i,(1)当m=2时,求复数zz(2)若复数z在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围.16.(本小题15分)已知|a|=4,|b(1)向量a与b平行时;(2)向量a与b的夹角为60∘(3)向量a与b垂直时.17.(本小题15分)已知α∈(π2(1)求sin((2)求cos(5π18.(本小题17分)已知sin(α+β)=23,sin(α−β)=−119.(本小题17分)已知f(x)=2(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)已知α,β均为锐角,f(α+π6)=85,cosβ=答案和解析1.【答案】D

【解析】解:向量a=(2,−1),b=(m,3)则−1×m=2×3,所以m=−6.故选:D.利用向量共线的坐标表示,列式计算作答.本题主要考查了平行向量的坐标关系,属于基础题.2.【答案】C

【解析】解:1+2i1+i∴复数1+2i1+i的虚部为故选:C.根据复数的乘除法运算法则,计算可得答案.本题主要考查复数的四则运算,以及复数的概念,属于基础题.3.【答案】C

【解析】解:①:BF−②:由正八边形性质知:OA⊥OC,OA=OC=OB=1,设OB∩AC=M,如图所示:因为∠AOB=∠COB=45∘,所以M为AC中点,所以因为OM=12AC=2又OB=−OF,所以③:由正八边形性质知:AG//CE且AG=CE,即AG=所以AE+又FE=AB,所以④:OA+故选:C.根据图形关系,根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可.本题主要考查平面向量基本定理,命题真假的判断,考查运算求解能力,属于中档题.4.【答案】D

【解析】解:cos=故选:D.利用诱导公式及和差角公式即得.本题考查诱导公式及两角和的余弦公式的应用,属于基础题.5.【答案】C

【解析】解:△ABC中,A=120所以B=180由正弦定理得ACsin即6sin故选:C.由三角形内角和可得角B的大小,然后由正弦定理可得BC的大小.本题考查正弦定理的应用,属于基础题.6.【答案】C

【解析】解:根据平行四边形定则,两个合力的大小为:F=故选:C.根据向量加法的平行四边形法则,结合勾股定理,即可得出答案.本题考查向量的运算,属于基础题.7.【答案】C

【解析】解:由|2a+b即4a又|a|=|b∴cos∵<a∴<故选:C.由数量积性质,直接将向量的模转化为向量的数量积进行运算,解出夹角余弦值,进而根据范围求角.本题考查平面向量数量积运算及性质,属基础题.8.【答案】A

【解析】解:∵AB=4,BC=5,B=60∴由余弦定理可得:AC=故选:A.由已知及余弦定理即可求值得解.本题主要考查了余弦定理的应用,属于基础题.9.【答案】BD

【解析】解:不全是实数的两个复数不能比较大小,故AC错误;因为(4i)2=−16,因此16>(4i因为|2+3i|=22+3故选:BD.利用复数的意义判断AC;利用复数的乘方计算判断B;计算复数的模判断D作答.本题主要考查了复数的运算和模长公式,属于基础题.10.【答案】BD

【解析】解:对于A,在平行四边形ABCD中,CD=AB,满足AB与CD共线,而A,B,C,D四点不共线,故对于B,A,B,C,D四点在一条直线上,则AB与CD方向相同或相反,即AB与CD共线,故B正确;对于C,平行四边形ABCD中,满足A,B,C,D四点不共线,有AB=DC,即向量AB与CD共线,故对于D,向量AB与BC共线,而向量AB与BC有公共点B,因此A,B,C三点在一条直线上,故D正确.故选:BD.根据给定条件,利用共线向量的意义逐项判断作答.本题考查的知识点:向量共线的充要条件,主要考查学生的运算能力,属于基础题.11.【答案】AC

【解析】解:对于A:函数y=tanx的最小正周期为π,在区间(π对于B:函数y=|sinx|的最小正周期为π,在区间(π对于C,函数y=cos2x=1+cos2x2对于D:函数y=−sinxcosx=−12sin故选:AC.直接利用函数的周期性和单调性的应用求出结果.本题主要考查了三角函数的周期性和单调性,属于基础题.12.【答案】−1−3i

【解析】解:∵复数3i−1=−1+3i,∴根据复数共轭复数的定义可知复数的共轭复数为−1−3i.故答案为:−1−3i.根据共轭复数的定义即可得到结论.本题主要考查复数的有关概念,比较基础.13.【答案】43

−7【解析】解:因为tanα=−2,所以tan所以tan故答案为:43;利用正切的和角及倍角公式,再利用条件即可求出结果.本题主要考查二倍角的正切公式及两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题.14.【答案】3n+m=10

【解析】解:由A(−2,4),B(1,3),C(m,n)可得:AB=(3,−1),因为A,B,C三点共线,所以AB//所以3(n−3)=1−m,整理得:3n+m=10.故答案为:3n+m=10.由A,B,C三点共线,可得AB//BC,利用向量共线的充要条件即可得到m,本题考查的知识点:向量共线的充要条件,主要考查学生的运算能力,属于基础题.15.【答案】解:(1)当m=2时,z=2−i,故zz(2)若复数z在复平面内对应的点(m则m2−m<0m−3<0∴m的取值范围为(0,1).

【解析】(1)代入m=2,根据复数的乘法求解即可;(2)根据第三象限实部为负,虚部为负求解不等式即可.本题考查了复数的基本概念,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.16.【答案】解:(1)当向量a与b平行时,向量a与b的夹角为0∘或180当向量a与b的夹角为0∘时,a当向量a与b的夹角为180∘时,a综上,a(2)当向量a与b的夹角为60∘时,(3)当向量a与b垂直时,向量a与b的夹角为90∘所以a⋅【解析】根据向量数量积的定义逐一求解即可.本题考查平面向量数量积的运算,考查逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.17.【答案】解:(1)∵α∈(π2,π)∴cos∴sin(2)∵α∈(π2,π)∴α∈(π2,∵sin∴cos∴cos【解析】本题考查由一个三角函数值求其他三角函数值、两角和与差的余弦公式、两角和与差的正弦公式、二倍角正弦公式,属于中档题.(1)利用同角三角函数平方关系求出cosα(2)先根据sinα=255>3218.【答案】解:sin(α+β)=2得sin所以sin从而得tanα【解析】利用正弦的和差角公式,弦化切化简即可求解.本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用,属

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